（2021新人教B版）高一数学下学期期末冲刺满分训练一（原卷+解析）.zip

1 20192020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷一 数学试题 （范围：新教材人教B版 必修三、必修四 考试时间：90分钟 满分：150分） 1、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1. 已知向量，则（ ） (11)a ，( 12)b ，(2)aba A.1B. 0C. 1D. 2 2. 若，且是第二象限角，则的值等于（ ） 2 5 sin 5 cos A. B. C. D. 3 5 4 5 5 5 5 5 3. 设复数z满足，则z= （ ） (2 )(2)5zii A. B. C. D. 23i23i32i32i 4. 2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系. 凸多面体顶点数棱数面数 三棱柱 695 2 四棱柱 8126 五棱锥 6106 六棱锥 7127 根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ） A. 14B. 16C. 18D. 20 5. 已知，则（ ） 4 sin 65 cos 3 A. B. C. D. 4 5 3 5 4 5 3 5 - - 6. 化简的结果是（ ） 2 2sin 2cos4 A. B. C. D. 3cos23cos2cos2sin2 7. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ,m n, A. 若，则 / / ,/ /mn /mn B. 若，则 , / / C. 若，且，则 / / ,/ /mn,mn/ / D. 若，且，则 ,mn mn 8. 已知函数是奇函数，且f(x)的最小正周期为，将的图 ( )sin()(0,0,)f xAxA ( )yf x 3 象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则= ( )g x ()2 8 f () 4 g （ ） A. 2B. C. D. 2 22 9. 设非零向量，满足，则（ ） a b 3ab 1 cos, 3 a b 16aab b A. B. C. 2D. 235 10. 如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA平面ABC，则四面体P- ABC的四个面中，直角三角形的个数有（ ） A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 11. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为( ) 1 cos23sincos21 2 f xxaxxax 0, 2 A. B. 1 1, 5 1 ,1 5 C. D. 1 ,1, 5 1 , 1, 5 12. 如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为h. 4 若在容器内放入一个半径为 1 的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心O（水没有溢出），则h的值为（ ） A. B. C. D. 2 9 3 22 3 2 3 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. （1+tan17）（1+tan28）=_ 14. ，则sin2+2sincos3cos2_ 1 3 tan 15. 在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则A=_. 22 3abbcsin2 3sinCB 16. 如图，已知在长方体ABCD - A1B1C1D1中，点E为CC1上的一个动点，平面与棱AA1交于点F，给出下列命题： 1 3, 4,5ABADAA 1 BED 四棱锥的体积为20； 11 BBED F 5 存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值； 1 BED F 2 74 当E点不与C，C1重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面 / /CG1 BED 存在唯一一点E，使得平面，且 1 B D 1 BED 16 5 CE 其中正确的命题是_（填写所有正确的序号） 三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共7 0分） 17. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，. 3bc 2 cos 3 A （1）若，求a的值； 3b （2）若ABC的面积，求sinB的值. 5S 18. 函数的一段图像过点（0,1），如图所示. ( )sin()(0,0,) 2 f xAxA （1）求f(x)在区间上的最值； 2 , 32 6 （2）若,求的值. 12 (),(0) 21234 f 2 2cossin2() cossin 19. 如图，在四棱锥P- ABCD中，PA平面ABCD，在直角梯形ABCD中，E为线段BC的中点 ADBC90BAD 2BCAD （1）求证：平面PDE平面PAD （2）在线段PB上是否存在点F ，使得EF平面PCD ?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由 （3）若Q 是PC中点，求三棱锥P-ABQ的体积. 1AB 2DC 2PA 22BCEC 20. 在acosB+bcosA=cosC；2asinAcosB+bsin2A=a；ABC的面积为S，且4S=(a2+b2- 2c33 c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b ，c，函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x的最小正周期为，c为f(x)在0，上的最大值，求a- 3 2 b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 21. 在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c且. 222 3abcab （1）求角C的值； （2）若ABC为锐角三角形,且,求的取值范围. 1c 3ab 22. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面O上，AB、A1B1分别为O、O1的直径，且平面PAB 1 A A 7 （1）求证：； 1 BPAP （2）若圆柱的体积， 1 OO 122120VOAAOP， 求三棱锥A1APB的体积 在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明； 2 5 若不存在，请说明理由 1 20192020学年高一年级下学期期末冲刺满分训练卷一 数学试题 （范围：新教材人教B版 必修三、必修四 考试时间：90分钟 满分：150分） 1 1、选择题（本题共选择题（本题共1212道小题，每小题道小题，每小题5 5分，共分，共6060分）分） 1. 已知向量，则（ ） (11)a ，( 12)b ，(2)aba A.1B. 0C. 1D. 2 答案及解析：答案及解析： C 【分析】 由向量的坐标运算表示，再由数量积的坐标运算即可得解. 2ab 【详解】解：因为，则； 1, 1a 1,2b 21,01, 11aba 故选C 【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目 2. 若，且是第二象限角，则的值等于（ ） 2 5 sin 5 cos A. B. C. D. 3 5 4 5 5 5 5 5 答案及解析：答案及解析：C 解析：，由是第二象限角知，所以 3. 设复数z满足，则z= （ ） (2 )(2)5zii 2 A. B. C. D. 23i23i32i32i 答案及解析：答案及解析：A 试题分析： 5 (2 )(2)52223 2 ziiziizi i 考点：复数的运算 4. 2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系. 凸多 面体 顶 点数 棱 数 面 数 三棱 柱 695 四棱 柱 8 1 2 6 五棱 锥 6 1 0 6 六棱 锥 7 1 2 7 3 根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ） A. 14B. 16C. 18D. 20 答案及解析：答案及解析：C 【分析】 分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解. 【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为： 棱数顶点数面数2， 所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数128218. 故选C. 【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律. 5.已知，则（ ） 4 sin 65 cos 3 A. B. C. D. 4 5 3 5 4 5 3 5 - - 答案及解析：答案及解析：C 【分析】将角表示为，再利用诱导公式可得出结果. 3 326 【详解】，故选C. 4 coscossin 32665 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属 于中等题. 6. 化简的结果是（ ） 2 2sin 2cos4 A. B. C. D. 3cos23cos2cos2sin2 答案及解析：答案及解析：B 4 【分析】 先用消去式子中的，再用二倍角公式可进一步对式子进行化简即 22 sin 2cos 21 2 sin 2 2 cos42cos 2 1 得。 【详解】由题得原式， 22 1 cos 2cos43cos 2 2 2 cos20 ，故选B。 2 3cos 23cos2 【点睛】本题主要考查二倍角公式的运用，在开二次根号时需要注意开出的数必须为正数。 7. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ,m n, A. 若，则 / / ,/ /mn /mn B. 若，则 , / / C. 若，且，则 / / ,/ /mn,mn/ / D. 若，且，则 ,mn mn 答案及解析：答案及解析：D 【分析】 根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出. , ,A B C D 【详解】若，则或与异面或与相交，故选项错误； / /m/ /n/mnmnmnA 若，则与可能相交，故选项错误； B 若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误； ,m n, C ， 或，又 ，故选项正确. m / /mmn mnD 本题正确选项：D 【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌 握程度. 5 8. 已知函数是奇函数，且f(x)的最小正周期为，将的图 ( )sin()(0,0,)f xAxA ( )yf x 象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则= ( )g x ()2 8 f () 4 g （ ） A. 2B. C. D. 2 22 答案及解析：答案及解析：C 【分析】 由奇函数求出，由周期性求出，再由求出，结合函数伸缩变换求出，即可求解. ()2 8 f A ( )g x 【详解】函数是奇函数， ( )sin()(0,0,)f xAxA ,的最小正周期为， 0( )f x,2 ( )sin2f xAx ， 2 ()sin2,2 842 fAAA . ( )2sin , ()2 4 g xx g 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数的性质以及函数图象间的变换关系，属于基础题. 9. 设非零向量，满足，则（ ） a b 3ab 1 cos, 3 a b 16aab b A. B. C. 2D. 235 答案及解析：答案及解析：A 【分析】 6 由可得，利用数量积的运算性质结合条件可得答案. 16aab ()0 aab 【详解】，. | 3| |ab 1 cos, 3 a b ， 2 222 ()9|8|16aabaa bbbb . | |2b 故选：A 【点睛】本题考查利用向量垂直其数量积为零求向量的模长，属于中档题. 10. 如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA平面ABC，则四面体P- ABC的四个面中，直角三角形的个数有（ ） A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 答案及解析：答案及解析：A 【分析】 由题意得出三角形ABC是直角三角形，根据线面垂直的性质定理得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角 形，又可证明BC垂直于平面PAC，从而得出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决 【详解】AB是圆O的直径 ACB90即BCAC，三角形ABC是直角三角形 又PA圆O所在平面， PAC，PAB是直角三角形 且BC在这个平面内， 7 PABC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线， BC平面PAC， PBC是直角三角形 从而PAB，PAC，ABC，PBC中，直角三角形的个数是：4 故选：A 【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质定理的应用，要注意转化思想的应用，将线面垂直转化为线线垂直 11. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为( ) 1 cos23sincos21 2 f xxaxxax 0, 2 A. B. 1 1, 5 1 ,1 5 C. D. 1 ,1, 5 1 , 1, 5 答案及解析：答案及解析：A 【分析】 化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f（x）0恒成立，由此解不等式求出a的取值范 0, 2 围 【详解】由函数， 1 cos23sincos21 2 f xxaxxax 且f(x)在区间上单调递减， 0, 2 在区间上,f(x)=sin2x+3a(cosxsinx)+2a10恒成立， 0, 2 设， 2 4 tcosxsinxsin x 8 当x时,t1,1，即1cosxsinx1， 0, 2 44 4 x ， 令t1,1,sin2x=1t20,1， 原式等价于t2+3at+2a20，当t1,1时恒成立， 令g(t)=t2+3at+2a2， 只需满足或或， 3 1 2 (1)510 a ga 3 1 2 ( 1)10 a ga 3 11 2 (1)510 ( 1)10 a ga ga 解得或或， 2 1 3 a 21 35 a 综上，可得实数a的取值范围是， 1 1, 5 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二 次不等式恒成立问题，属于较难题. 12. 如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为h. 若在容器内放入一个半径为 1 的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心O（水没有溢出），则h的值为（ ） A. B. C. D. 2 9 3 22 3 2 3 答案及解析：答案及解析：B 9 【分析】 作ODAC，垂足为D，则球的半径rOD1，此时OA2r2，底面半径R2tan30，可得半球和水的体积 和，从而得水的体积，将水的体积用h表示出来，进而求出h 【详解】作ODAC，垂足为D，则球的半径rOD1，此时OA2r2，底面半径R2tan30，当 2 3 3 锥体内水的高度为h时，底面半径为htan30h， 3 3 设加入小球后水面以下的体积为V，原来水的体积为V，球的体积为V球 所以水的体积为：， 2 3 112 32 21 2333 VVV 球 2 13 33 hh 解得： 3 2h 故选：B 【点睛】本题考查锥体和球的体积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题 2 2、填空题（本题共填空题（本题共4 4道小题，每小题道小题，每小题5 5分，共分，共2020分）分） 13. （1+tan17）（1+tan28）=_ 答案及解析：答案及解析：2 试题分析：由于原式=1+tan17+tan28+tan17tan28，再由tan（17+28）= =tan45=1，可得tan17+tan28=1tan17tan28，代入原式可得结果 10 解：原式=1+tan17+tan28+tan17tan28，又tan（17+28）=tan45=1 ， tan17+tan28=1tan17tan28， 故 （1+tan17）（1+tan28）=2， 故答案为 2 14. ，则sin2+2sincos3cos2_ 1 3 tan 答案及解析：答案及解析： . 16 5 【分析】 根据，所以，再代入，得出， sin1 tan cos3 a a a cos3sinaa 22 sincos1aa 2 1 sin 10 a ，代入所求的表达式可得值. 2 9 cos 10 a 2 3 sincossin ( 3sin )3sin 10 aaaaa 【详解】因为，所以， sin1 tan cos3 a a a cos3sinaa 代入，则， 22 sincos1aa 2 1 sin 10 a 2 9 cos 10 a 2 3 sincossin ( 3sin )3sin 10 aaaaa 所以原式， 22 sin2sincos3cos 162716 1010105 故答案为：. 16 5 【点睛】本题考查同角三角函数的关系，灵活运用其商数关系和平方关系是解决本题的关键，属于基础题. 15. 在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则A=_. 22 3abbcsin2 3sinCB 答案及解析：答案及解析：6 11 【分析】 由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理， sin2 3sinCB2 3cb 222 2cosabcbcA 结合已知联立方程组，即可求得角. A 【详解】sin 2 3sinCB 根据正弦定理：sin sin bc BC 可得 2 3cb 根据余弦定理： 222 2cosabcbcA 由已知可得： 22 3abbc 故可联立方程： 222 22 2 3 2cos 3 cb abcbcA abbc 解得：. 3 cos 2 A 由0 A 6 A 故答案为：. 6 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公 式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 16. 如图，已知在长方体ABCD - A1B1C1D1中，点E为CC1上的一个动点，平面与棱AA1交于点F，给出下列命题： 1 3, 4,5ABADAA 1 BED 12 四棱锥的体积为20； 11 BBED F 存在唯一的点E，使截面四边形的周长取得最小值； 1 BED F 2 74 当E点不与C，C1重合时，在棱AD上均存在点G，使得平面 / /CG1 BED 存在唯一一点E，使得平面，且 1 B D 1 BED 16 5 CE 其中正确的命题是_（填写所有正确的序号） 答案及解析：答案及解析：. 【分析】 根据，再根据等体积转化，求出和，得到答案；判断出截面 11111 E BB DBBEDBFF BD VVV 11 E BB D V 1 F BB D V 四边形为平行四边形，将正方体侧面展开，面和面在同一平面内，得到最小 1 BED F 11 D DCC 11 B BCC 1 D EEB 为内的长度，从而得到截面四边形的周长的最小值；取为中点时，在平面 11 DD B B 1 D B 1 BED F E1 CC 中，延长，交于，可得；以点建立空间直角坐标系，根据线面垂直，得到 11 DD A A 1 D F DAG CGEF DE 点坐标，并求出. CE 【详解】长方体中， 1111 ABCDABC D 1 3,4,5ABADAA 命题， 11111 E BB DBBEDBFF BD VVV 易知平面 1/ / CC 11 BB D 到平面的距离，等于到平面的距离，为， E11 BB D 1 C 11 BB D 12 5 13 同理到平面的距离，等于到平面的距离，为 F11 BB D 1 A 11 BB D 12 5 所以 1111111111 E BB DF BB DCBB DABBBBED FD VVVVV ，故正确. 11121112 5 55 520 325325 命题，易知平面平面， 11 / /DDC C 11 BB A A 平面平面，平面平面 1 BED F 11 DDC C 1 D E 1 BED F 11 BB A A BF 所以，同理， 1 / /D EBF 1 / /D FBE 即四边形为平行四边形 1 BED F 将正方体侧面展开，面和面在同一平面内， 11 D DCC 11 B BCC 可得在内，最小为的长度， 11 DD B B 1 D EEB 1 D B 此时点为与的交点， E 1 D B 1 CC 2 2 1 34574D B 所以四边形的周长取得最小值，故正确. 1 BED F 2 74 命题，取为中点时，易知为中点 E1 CC F 1 AA 在平面中，延长，交于， 11 DD A A 1 D F DAG 通过，得到， 11 D AFFAG 1 D FFG 所以， / /CGEF 即此时平面， / /CG1 BED 而此时点在延长线上，不在棱上，故错误. GDAAD 命题，以点建立空间直角坐标系，设点 D 0,3,E ， 4,0,BE 1 4,3, 5D B 1 4,3,5DB 14 所以，即， 11 4 43 35 50D B DB 11 D BBD 要使平面， 1 B D 1 BED 则需，即 1 B DBE 1 0B D BE 所以，得，即，故正确. 1650 16 5 16 5 CE 故答案为： 【点睛】本题考查等体积转化求四棱锥的体积，棱柱展开图中最短距离问题，线面平行的判定，已知线面垂 直利用空间向量求线段的长，属于中档题. 3 3、解答题（本题共解答题（本题共6 6道小题道小题, ,第第1717题题1010分分, ,第第1818题题1212分分, ,第第1919题题1212分分, ,第第2020题题1212分分, ,第第2121题题1212分分, ,第第2222题题1212分分, ,共共8080 分）分） 17. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，. 3bc 2 cos 3 A （1）若，求a的值； 3b （2）若ABC的面积，求sinB的值. 5S 答案及解析：答案及解析：（1）；（2） 6 30 6 【分析】 15 （1）把的值代入求出，利用余弦定理表示出，将各自的值代入即可求出的值. bccos Aa （2）利用平方关系求出，结合三角形的面积求出，的值，再由余弦定理求得，最后由正弦定理 sin Abca 求得的值. sin B 【详解】（1）由，代入可得： 3bc3b 1c 由余弦定理得：， 2222 9 12 cos 263 bcaa A bc 解得. 6a （2）， 2 cos 3 A ， 45 sin1 93 A 由，得， 2 115 sin35 223 ABC SbcAc 2c 3 2b 由，得， 222 2 2cos1822 3 2212 3 abcbcA 2 3a 由，得 sinsin ab AB 3 2530 sinsin 362 3 b BA a 所以. 30 sin 6 B 【点睛】本题考查了正、余弦定理，三角形的面积公式以及同角三角函数的平方关系，熟记公式是关键，属 于基础题. 18. 函数的一段图像过点（0,1），如图所示. ( )sin()(0,0,) 2 f xAxA 16 （1）求f(x)在区间上的最值； 2 , 32 （2）若,求的值. 12 (),(0) 21234 f 2 2cossin2() cossin 答案及解析：答案及解析：(1)最小值-1，最大值1 (2) 4 2 3 【分析】 (1) 由三角函数的图象和性质求出函数解析式，根据结合正弦函数图象和性质 2 111 1sin 2 2tan2tan S 求其值域即可 (2) 由可求利用同角三角函数关系及诱导公式即可求值. 12 (),(0) 21234 f 1 sin 3 【详解】（1）由题图知，于是 ,T 2 2 T 将的图像向左平移个单位长度，得到的图像. sin2yAx 12 sin(2)yAx 因为，所以，将代入，得， | 2 2 126 (0,1) sin(2) 6 yAx 2A 故. ( )2sin(2) 6 f xx 因为，所以， 2 32 x 75 2 666 x 所以所以， 11 sin(2), 262 x 1( )1f x 17 即 . minmax ( )1,( )1f xf x （2）因为且 ( )2sin(2), 6 f xx 12 (), 2123 f 所以，即. 2 2sin 3 1 sin 3 又因为，所以， 0 4 2 2 2 cos1 sin 3 所以 22 2cossin2()2cossin24 2 2cos cossincossin3 【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的图象及性质，三角函数值域的求法，同角三角函数的关系及诱导 公式，属于中档题 19. 如图，在四棱锥P- ABCD中，PA平面ABCD，在直角梯形ABCD中，E为线段BC的中点 ADBC90BAD 2BCAD （1）求证：平面PDE平面PAD （2）在线段PB上是否存在点F ，使得EF平面PCD ?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由 （3）若Q 是PC中点，求三棱锥P-ABQ的体积. 1AB 2DC 2PA 22BCEC 答案及解析：答案及解析： 19.（1）见证明；（2）见解析；（3） 1 V 3 P ABQ 【分析】 （1）先证明四边形为矩形，得出，进而得出平面，最后得证面面垂直。 ABEDPADEDE PAD 18 （2）先取中点，证明，进而得出线面平行。 PBFEFPC （3）衔接，先平面，进而得出证明平面最后求解体积即可。 QF BCPAB QF PAB 【详解】，E是BC中点 ADBC2BCAD ， ADBEADBE 四边形ABED是平行四边形 四边形 为矩形 90BAD ABED 平面， PA ABCDPADE ， DEADADPAA 平面 DEPAD 平面 DE PDE 平面平面 PDE PAD （2）取中点F连接 PBEF 在 中， BPCEFPC 平面，平面 PC PCDEF PCD 平面 EFPCD 当 为中点时，使得平面； FPB EF PCD （3）连接 ， 是 的中点 QF Q PC ， 1AB 2DC DEBC1EC22BCEC ， / /FQBC 1 2 FQBC 平面 PA ABCD 19 ， PABCABBCPAABA 平面 ，平面 BCPAB QF PAB 1111 V1 2 1 3263 PABQQABP VABPA QF 【点睛】本题考查线线垂直证明线面垂直再得面面垂直的证明过程，学生要熟练掌握；线面平行的证明的关 键是线线平行，构造中位线是常见的处理方法。对于探索型问题，先猜想后证明。 20. 在acosB+bcosA=cosC；2asinAcosB+bsin2A=a；ABC的面积为S，且4S=(a2+b2- 2c33 c2)，这三个条件中任意选择一个，填入下面的问题中，并求解，在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b ，c，函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x的最小正周期为，c为f(x)在0，上的最大值，求a- 3 2 b的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分. 答案及解析：答案及解析：三种情况，a-b的取值范围都是 3, 3 【分析】 对于，利用正弦定理结合条件得到角C的大小，再用正弦定理用角A表示边a，b，从而得到三角函数式，进 而用三角恒等变换和三角函数有界性得到结果；对于，利用正弦定理，结合条件得到角C的大小，同得到结果 ；对于，利用余弦定理，结合条件得到角C的大小，同得到结果. 【详解】函数=2sinxcosx+2cos2x f x 3 2+2+1= 3sinx cosx ， 2+1= 6 2sinx 函数的最小正周期为，则， f x =1 2 +1 6 =2f xsinx 当0， x2 7 2 + 666 x ， ，故c=3, max=3f x 20 若选，acosB+bcosA=cosC, 2c 由正弦定理得sin sin2sinAcosBBcosACcosC 可得， sinsin2sinABCCcosC , 1 cos 2 C 又C为三角形内角，则， 3 C 由正弦定理得， 3 =2 3 sinsin3 2 ab AB ， =2 3sinaA=2 3sinbB 则 2 =2 3sin2 3sin2 3sin2 3sin 3 abABAA , 3sin3cos2 3sin 3 AAA 因为 , 6 236 6 AA ， 故. 2 3sin3, 3 3 A 若选，2asinAcosB+bsin2A=a， 3 由正弦定理得， 2 22sinsincos3sinsin AcosBBAAA ， 22sincos2+2sin3sinAcosBBAsin A BC ， 3 sin 2 C 又C为三角形内角，则，（舍去）， 3 C 2 3 C 21 由正弦定理得， 3 =2 3 sinsin3 2 ab AB ， =2 3sinaA=2 3sinbB 则 2 =2 3sin2 3sin2 3sin2 3sin 3 abABAA , 3sin3cos2 3sin 3 AAA 因为 , 6 236 6 AA ， 故. 2 3sin3, 3 3 A 若选，ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)， 3 可得, 222 2sin3abCabc , 222 3 s=coi 32 sn abc C ab C , tan3C 又C为三角形内角，则， 3 C 由正弦定理得， 3 =2 3 sinsin3 2 ab AB ， =2 3sinaA=2 3sinbB 则 2 =2 3sin2 3sin2 3sin2 3sin 3 abABAA , 3sin3cos2 3sin 3 AAA 22 因为 , 6 236 6 AA ， 故. 2 3sin3, 3 3 A 【点睛】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等知识，考查考生的转化与化归能力、运算求解能力，属于 中等题. 21. 在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c且. 222 3abcab （1）求角C的值； （2）若ABC为锐角三角形,且,求的取值范围. 1c 3ab 答案及解析：答案及解析：（1）；（2）. 6 1, 3 试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现 边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应 用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角形中，注意隐含条件，（3）注意锐角三角 形的各角都是锐角.（4）把边的关系转化成角，对于求边的取值范围很有帮助 试题解析：（1）由，得， 222 3abcab 222 3abcab 所以，则，由，。 2cos3abCab 3 cos 2 C (0, )C 6 C （2）由（1）得，即， 5 6 AB 5 6 BA 又ABC为锐角三角形，故从而 5 0, 62 0, 2 A A 32 A 23 由，所以 所以, 所以 因为 所以 即 考点：余弦定理的变形及化归思想 22. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面O上，AB、A1B1分别为O、O1的直径，且平面PAB 1 A A （1）求证：； 1 BPAP （2）若圆柱的体积， 1 OO 122120VOAAOP， 24 求三棱锥A1APB的体积 在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明； 2 5 若不存在，请说明理由 答案及解析：答案及解析：（1）见解析；（2），见解析 2 3 【分析】 （1）根据，得出平面，故而；（2）根据圆柱的体积计算 BPAP 1 BPAA BP 1 A AP 1 BPAP 1 AA ，根据计算，代入体积公式计算棱锥的体积；先证明就是异面直线与 120AOPBPAP1 ABP OM1 AB 所成的角，然后根据可得，故为的中点 1 2 cos 5 ABP OMBP MAP 【详解】（1）证明：P在O上，AB是O的直径， APBP， 平面 又， 1 AA 1 PABAABP， 1 APAAA 平面，又平面，故 BP1 PAA 1 AP 1 PAA 1 BPAP （2）由题意，解得， 2 11 412VOAAAAA 1 3AA 由，得， 2120OAAOP，302BAPBP， 2 3,AP 1 2 2 32 3 2 PAB S 三棱锥的体积 1 AAPB 1 11 2 3 32 3 33 PAB VSAA 在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为 1 AB 2 5 证明：O、M分别为的中点，则， ABAP、/ /OMBP 就是异面直线OM与所成的角， 1 ABP 1 AB 又， 11 345AAABAB， 1 BPAP 在中， 1 Rt APB 1 1 BP2 cos A B5 APB 25 在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为 1 AB 2 5 【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算以及异面直线所成的角，属于中档题