（2021新人教B版）高中数学必修第一册素养等级测评3练习.doc

1、素养等级测评三素养等级测评三 一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1已知 f(x)3x2，则 f(2x1)等于(B) A3x2B6x1 C2x1D6x5 解析：在 f(x)3x2 中，用 2x1 替换 x，可得 f(2x1)3(2x1)26x3 26x1. 2函数 y 2x 2x23x2的定义域为( B) A(，2 B ，1 2 1 2，2 C ，1 2 1 2，2 D(，1 解析：若使函数有意义，则 2x0， 2x23x20， 由此可得 x2， x2 且 x1 2. 所以，函 数的定义域为 ，1 2 1 2，2.

2、故选 B 3如图，点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动，M 是 CD 的中点，则当点 P 沿着路径 ABCM(不包含 A，M 点)运动时，APM 的面积 y 关于点 P 经过的路程 x 的函数 y f(x)的图像的大致形状为(A) 解析：根据题意，得 yf(x) 1 2x，0 x1， 3 4 1 4x，1x2， 5 4 1 2x，2x0. 若 f(a)4，则实数 a 等于(B) A4 或2B4 或 2 C2 或 4D2 或 2 解析：当 a0 时，有 a24，a2；当 a0 时，有a4，a4.因此 a4 或 a2. 5已知二次函数 f(x)x2(m1)x2m 在0,1上有且只有一个零点，则

3、实数 m 的取值 范围为(D) A(2,0)B(2,0 C2,0)D2,0 解析：当方程 x2(m1)x2m0 在0,1上有两个相等的实数根时， 有 m128m0， 0m1 2 1， 此时无解 当方程 x2(m1)x2m0 有两个不相等的实数根时，分下列三种情况讨论 有且只有一根在0,1上时，有 f(0)f(1)0， 即 2m(m2)0，解得2m0； 当 f(0)0 时，m0，方程化为 x2x0，解得 x10，x21，满足题意； 当 f(1)0 时，m2，方程可化为 x23x40，解得 x11，x24，满足题意 综上所述，实数 m 的取值范围为2,0 故选 D 6设函数 f(x)(xR)为奇函

4、数，f(1)1 2，f(x2)f(x)f(2)，则 f(5)等于( C) A0B1 C5 2 D5 解析：令 x1，得 f(1)f(1)f(2)f(x)为奇函数，f(1)f(1)，f(1) f(1)f(2)，1 2 1 2f(2)，f(2)1.令 x1，得 f(3)f(1)f(2) 1 21 3 2.令 x3，得 f(5) f(2)f(3)5 2. 7已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，在0，)上单调递减，且 f(2a)f(1a)0， 则实数 a 的取值范围是(D) A 3 2，2B 3 2， C 1，3 2D ，3 2 解析：f(x)在0，)上单调递减且 f(x)为奇函数， f(x)在(，

5、0)上单调递减，从而 f(x)在(，)上单调递减，f(2a)f(a1)， 2aa1，a3 2，故选 D 8已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方 程 f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4等于 (C) A6B6 C8D8 解析：f(x)在 R 上是奇函数，所以 f(x4)f(x)f(x)，故 f(x)关于 x2 对称，f(x) m 的根关于 x2 对称，x1x2x3x44(2)8. 二、多选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有 多个选项符合题目

6、要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分) 9下列各组函数表示的是同一个函数的是(BD) Af(x) 2x3与 g(x)x 2x Bf(x)|x|与 g(x) x2 Cf(x)x1 与 g(x)xx0 Df(x)x x与 g(x)x 0 解析：对于 A，f(x) 2x3与 g(x)x 2x的对应关系不同，故 f(x)与 g(x)表示的不 是同一个函数； 对于 B，f(x)|x|与 g(x) x2的定义域和对应关系均相同，故 f(x)与 g(x)表示的是同一个 函数； 对于 C，f(x)的定义域为 R，g(x)的定义域为x|x0，故 f(x)与 g(x)表示的不是同一

7、个函 数； 对于 D，f(x)x x与 g(x)x 0的对应关系和定义域均相同，故 f(x)与 g(x)表示的是同一个 函数 10下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是(BD) Af(x)1 x Bf(x)x3 Cf(x)x|x|Df(x)3x 解析：Af(x)1 x在定义域(，0)(0，)上是奇函数，且在每一个区间上是减函 数，不能说函数在定义域上是减函数，不满足题意；对于 B，f(x)x3在定义域 R 上是 奇函数，且是减函数，满足题意，对于 C，f(x)x|x| x2，x0， x2，x0 在定义域 R 上是奇 函数，且是增函数，不满足题意；对于 D，f(x)3x在定义域 R 上是奇函

8、数，且是减函 数，满足题意故选 BD 11已知函数 f(x) 1x x3，则(ABD) Af(x)的定义域为3,1Bf(x)为非奇非偶函数 Cf(x)的最大值为 8Df(x)的最小值为 2 解析：由题设可得函数的定义域为3,1，f 2(x)42 x22x34 2 4x12，而 0 4x122，即 4f 2(x)8，f(x)0，2f(x)2 2，f(x) 的最大值为 2 2，最小值为 2，故选 ABD 12下列说法正确的是(AD) A若方程 x2(a3)xa0 有一个正实根，一个负实根，则 a0 B函数 f(x) x21 1x2是偶函数，但不是奇函数 C若函数 f(x)的值域是2,2，则函数 f

9、(x1)的值域为3,1 D曲线 y|3x2|和直线 ya(aR)的公共点个数是 m，则 m 的值不可能是 1 解析：设方程 x2(a3)xa0 的两根分别为 x1，x2，则 x1x2a0，故 A 正确；函 数 f(x) x21 1x2的定义域为 x210， 1x20， 则 x1，f(x)0，所以函数 f(x)既是 奇函数又是偶函数，故 B 不正确；函数 f(x1)的值域与函数 f(x)的值域相同，故 C 不正确； 曲线 y|3x2|的图像如图， 由图知曲线 y|3x2|和直线 ya 的公共点个数可能是 2,3 或 4， 故 D 正确 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分

10、将答案填在题中横线上) 13若 f(x) a x，x1. x3a，x1 是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是 _ 1 2，_. 解析：f(x)x3a 在 x(，1)上是单调递减的，且 f(x)在 R 上是单调函数， f(x)在 R 上一定单调递减， a0， a13a， 解得 a1 2.a 1 2，. 14函数 f(x)1x 1x的定义域为_(，1)(1，)_，单调递减区间为_( ，1)和(1，)_. 解析：函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)任取 x1，x2(1，)且 x1 x2，则 f(x1)f(x2) 2x2x1 1x11x20，即 f(x 1)f(x2)，故 f(x)在(1

11、，)上为减函数； 同理，可得 f(x)在(，1)上也为减函数 15函数 yf(x)是 R 上的增函数，且 yf(x)的图像经过点 A(2，3)和 B(1,3)，则不 等式|f(2x1)|3 的解集为_ 1 2，1_. 解析： 因为 yf(x)的图像经过点 A(2， 3)和 B(1,3)， 所以 f(2)3， f(1)3.又|f(2x 1)|3，所以3f(2x1)3，即 f(2)f(2x1)f(1)因为函数 yf(x)是 R 上的增函数， 所以22x12， 2x11 2， x1， 所以1 2x0，所以方程有两根，相应地，函数 f(x)x2ax1(a(4,5)有 2 个不动点 四、解答题(本大题共

12、 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10 分)已知函数 f(x)2x1 x1 . (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在(1，)上的单调性，并给予证明； (3)求函数在3,5上的最大值和最小值 解：(1)函数 f(x)2x1 x1 ，x10，x1.函数的定义域是x|x1 (2)函数 f(x)在(1，)上是增函数 证明如下：任取 x1，x2(1，)，且 x1x2，f(x)2x1 x1 2 3 x1， 则 f(x1)f(x2) 2 3 x11 2 3 x21 3 x21 3 x11 3x1x2 x11x21. 1x1x2，x1x20， f(x1)f(x2)0

13、，即 f(x1)1，求证：|x1x2|1. 解：(1)证明：对任意实数 x，有 f(x) x2 x21 x2 x21f(x)，故函数 f(x)是偶函数 (2)当 x0 时，f(x)f 1 x x2 x21 1 x2 1 x21 x2 x21 1 x211， ABf(1)f(1) f2f 1 2 f2 020f 1 2 0202 020. (3)证明：由 f(x1)f(x2)1，得 x21 x211 x22 x2211，即 x 2 1(x221)x22(x211)(x211)(x221)， 所以 x21x221，所以|x1x2|1. 20(12 分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，

14、出厂单价定为 60 元该厂为 了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出 厂单价就降 0.02 元，但实际出厂单价不能低于 51 元 (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为 51 元？ (2)当销售商一次订购 x 个零件时，该厂获得的利润为 P 元，写出 Pf(x)的表达式 解析： (1)设每个零件的实际出厂价格恰好为 51 元时， 一次订购量为 x0个， 则 600.02(x0 100)51，解得 x0550，所以当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际出厂价恰好为 51 元 (2)设一次订量为 x 个时，零件的实际出厂单价为

15、W，工厂获得利润为 P，由题意 P(W 40)x， 当 0 x100 时，W60； 当 100 x550 时，W600.02(x100)62 x 50； 当 x550 时，W51. 当 0 x100 时， f(x)(6040)x20 x； 当 100 x550 时， f(x)(22 x 50)x22x 1 50 x 2； 当 x550 时， f(x)(5140)x11x. 故 f(x) 20 x0 x100，xN 22xx 2 50 100 x550，xN 11xx550，xN . 21(12 分)已知函数 f(x)xm x ，且此函数图像过点(1,5) (1)求实数 m 的值； (2)判断

16、f(x)的奇偶性； (3)讨论函数 f(x)在2，)上的单调性 解：(1)函数 f(x)的图像过点(1,5)，1m5， m4. (2)由(1)知 f(x)x4 x， x0，f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称 f(x)x 4 xf(x)，f(x)是奇函数 (3)任取 x1，x22，)，且 x1x2，f(x1)f(x2) x14 x1x 2 4 x2(x 1x2)4x 2x1 x1x2 x1x2x1x24 x1x2 . x1，x22，)且 x1x2，x1x24， f(x1)f(x2)0，f(x)在2，)上单调递增 22(12 分)设函数 f(x)的定义域为 Ux|xR 且 x0，且满

17、足条件 f(4)1.对任意的 x1，x2U，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当 x1x2时，有fx2fx1 x2x1 0. (1)求 f(1)的值； (2)如果 f(x6)f(x)2，求 x 的取值范围 解：(1)因为对任意的 x1，x2U，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)， 所以令 x1x21，得 f(11)f(1)f(1)2f(1)，所以 f(1)0. (2)设 0 x1x2，则 x2x10. 又因为当 x1x2时，fx2fx1 x2x1 0， 所以 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，所以 f(x)在定义域内为增函数 令 x1x24，得 f(44)f(4)f(4)112，即 f(16)2. 当 x60， x0， 即 x0 时，原不等式可化为 fx(x6)f(16) 又因为 f(x)在定义域上为增函数，所以 x(x6)16，解得 x2 或 x8. 又因为 x0，所以 x2. 所以 x 的取值范围为(2，)