（2021新人教B版）高中数学必修第一册2.2.4 第1课时均值不等式 练习.zip

第二章第二章2.22.2.4第第 1 课时课时 1设 ab0，则下列不等式中一定成立的是(C) Aab0B0 1 a b Cab ab ab 2 解析：因为 ab0，由均值不等式知1)取得最小值 b，则 ab(C) 9 x1 A3B2 C3D8 解析：yx4x15，由 x1，得 x10，0，所以由均值不等 9 x1 9 x1 9 x1 式得 yx15251，当且仅当 x1，即(x1)29，所 9 x1 x1 9 x1 9 x1 以 x13，即 x2 时取等号，所以 a2，b1，ab3. 3已知 x0，y0，且满足 1，则 xy 的最大值为_3_，取得最大值时 y 的值为 x 3 y 4 _2_. 解析：因为 x0，y0 且 1 2，所以 xy3.当且仅当 ，即 x ，y2 x 3 y 4 xy 12 x 3 y 4 1 2 3 2 时取等号 4已知 x0，y0，且 xy100，则 xy 的最小值为_20_. 解析：xy220，当且仅当 xy10 时取“” xy 5求 tx 的取值范围. 1 x 解析：当 x0 时，x 22， 1 x x1 x 当且仅当 x 即 x1 时， “”成立， 1 x 所以 x 2. 1 x 当 x0 时，x (x) 1 x 1 x 22， x 1 x 当且仅当x，即 x1 时“”成立 1 x 所以 x 2 故 tx 的取值范围为t|t2 或 t2 1 x 1 x 第二章第二章2.22.2.4第第 1 课时课时 请同学们认真完成 练案 15 A 级基础巩固 一、单选题(每小题 5 分，共 25 分) 1下列说法错误的是(D) A若 a0，b0，则 ab 2ab B若，则 a0，b0 ab 2ab C若 a0，b0，且，则 ab ab 2ab D若，且 ab，则 a0，b0 ab 2ab 解析：A 选项为均值不等式，故正确；若，说明 a，b 为正数且可以取 0，故 B ab 2ab 正确；若 a0，b0，且，则 ab，因为均值不等式中等号成立的条件是两数相等， ab 2ab 故 C 正确；D 选项中，当 a0，b1 时，符合，且 ab，但不符合 a0，b0.故 D 选 ab 2ab 项错误 2已知 x0，则 x 的最小值为(A) 9 x A6B5 C4D3 解析：x0， x26， 9 x x9 x 当且仅当 x ，即 x3 时取得最小值 6，故选 A 9 x 3已知 a，b 都为正实数，2ab1，则 ab 的最大值是(B) A B 2 9 1 8 C D 1 4 1 2 解析：因为 a，b 都为正实数，2ab1， 所以 ab ()2 ， 2ab 2 1 2 2ab 2 1 8 当且仅当 2ab，即 a ，b 时，ab 取最大值 . 1 4 1 2 1 8 4若 yx(x2)在 xn 处取得最小值，则 n(B) 1 x2 A B3 5 2 C D4 7 2 解析：yx(x2)2 1 x2 1 x2 224， x2 1 x2 当且仅当 x2，即 x3 时，等号成立， 1 x2 当 n3 时，yx(x2)取得最小值 1 x2 5已知 a0，b0，且 2ab1，则 的最小值为(C) 2 a 1 b A7B8 C9D10 解析：依题意 ( )(2ab)552549(当且仅当 2 a 1 b 2 a 1 b 2b a 2a b 2b a 2a b 2b a 时，等号成立)，故选 C 2a b 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6若 a0，b0，a2b5，则 ab 的最大值为_. 25 8 解析：因为 a0，b0，a2b5， 所以 ab a2b ()2， 1 2 1 2 a2b 2 25 8 当且仅当 a2b 时，取等号 7已知 a3，则a 的最小值为_7_. 4 a3 解析：根据题意，当 a3 时，a(a3)3237，当 4 a3 4 a3 4 a3 a3 且仅当 a5 时，等号成立，即a 的最小值为 7. 4 a3 8当 x0 时，函数 y的最大值为_1_. 2x x21 解析：因为 x0，所以 y 1， 2x x21 2 x1 x 2 2 当且仅当 x ，即 x1 时，取等号， 1 x 故函数 y的最大值为 1. 2x x21 三、解答题(共 20 分) 9(10 分)设 x1，求的最小值 x5x2 x1 解析：因为 x1，所以 x10， 设 x1t0，则 xt1，于是有： x5x2 x1 t4t1 t t25t4 t t 5259. 4 t t4 t 当且仅当 t ，即 t2 时取等号，此时 x1. 4 t 所以当 x1 时，函数取得最小值是 9. 10(10 分)(1)已知 a0，b0，且 4ab1，求 ab 的最大值； (2)若正数 x，y 满足 x3y5xy，求 3x4y 的最小值 解析：(1)14ab24， 4abab ，ab， ab 1 4 1 16 当且仅当 a ，b 时，取等号，故 ab 的最大值为. 1 8 1 2 1 16 (2)x3y5xy，x0，y0， 1. 1 5y 3 5x 3x4y(3x4y)()325， 1 5y 3 5x 13 5 3x 5y 4y 5x 13 5 3x 5y 12y 5x 当且仅当，即 x2y1 时，取等号 3x 5y 12y 5x B 级素养提升 一、单选题(每小题 5 分，共 10 分) 1 几何原本第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学 家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称 之为无字证明现有如图所示的图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OFAB. 设 ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为(D) A(a0，b0) ab 2ab Ba2b22ab(a0，b0) C(a0，b0) 2ab abab D(a0，b0) ab 2 a2b2 2 解析：由图形可知 OF AB，OC. 1 2 ab 2 ab 2 在 RtOCF 中，由勾股定理可得 CF. ab 2 2ab 2 2 a2b2 2 CFOF，(a0，b0) ab 2 a2b2 2 2已知正数 x，y 满足 x2yxy0，则 x2y 的最小值为(A) A8B4 C2D0 解析：由 x2yxy0，得 1，且 x0，y0.所以 x2y(x2y)( ) 2 x 1 y 2 x 1 y 4448，当且仅当 x2y 时等号成立 4y x x y 二、多选题(每小题 5 分，共 10 分) 3下列不等式一定成立的是(BC) Ax2 x(x0)Bx 2(x0) 1 4 1 x Cx212|x|(xR)D1(xR) 1 x21 解析：对于 A，当 x 时，x2 x，所以 A 不一定成立；对于 B，当 x0 时，不等式成 1 2 1 4 立，所以 B 一定成立；对于 C，不等式显然恒成立，所以 C 一定成立；对于 D，x211，00 时，2 x 1 x B当 x2 时，x 的最小值是 2 1 x C当 x0，y0 时， 2 x y y x D若 a0，则 a3的最小值为 2 1 a2a 解析：在 A 中，当 x0 时，0，2，当且仅当 x1 时取等号，结论成立；在 B xx 1 x 中，当 x2 时，x 22，当且仅当 x1 时取等号，但 x2，等号取不到，因此 x 的 1 x x1 x 1 x 最小值不是 2，结论错误， 显然 C 正确；在 D 中，2不是定值，结论错误故选 AC a 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5若 0ab 且 ab1，则 ，a，b,2ab，a2b2的大小关系为 1 2 _a2ab a2b2b_.(用“”连接) 1 2 解析：因为 0ab，ab1，所以 a b， 1 2 2ab2()2 ， ab 2 1 2 a2b2aab2abb2(1b)bb2b， 所以 a2b2b. 1 2 又 2ab2 aa， ab 2 1 2 1 2 所以 a2ab ，所以 a2ab a2b20 时，y， 1 2t1 t 1 2 2t1 t 2 4 当且仅当 2t ，即 t时等号成立， 1 t 2 2 即当 x 时，y 的最大值为. 3 2 2 4