(2021新人教B版)高中数学必修第四册9.2正弦定理与余弦定理的应用ppt课件.ppt
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1、第九章第九章 解三角形解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用正弦定理与余弦定理的应用 在测量工作中.经常会遇到不方便宜接测量的 精形.例如,如图所示故宫角楼的高度.因为顶 端和底部都不便到达,所以不能直 接测量. 假设给你米尺和測量角度的工具,你能在故 宫角楼对面的岸边得 出角楼的高度吗?如果能. 写出你的方案.并给出有关的计算方法;如果不 能,说明理由. 图中角楼的高度问题可以转化为:用米尺与测量 角度的仪器来怎样得到不便到达的两点之间的距离? 思考?思考? 如何把上述实际问题转化为数学模型, 同学们讨论,设计出合理的测量AB高度的方案。 如图(1)所示,设线段AB表示不便到达的两点之间
2、的距离.在能 到 达的地方选定位置C进行测量。用测量角度的仪器可以测量出 ACB的大小 ,但是因为点A, B都不便到达,所以ABC的3条边都 无法用米尺测量. 角楼的高度 (1) 如图(2)所示,在可到达的地方再选定一点D,并使得CD的长m 能用米尺测量。用测量角度的仪器测出 BCD=,BDC=,ACD=,ADC=. 然后,利用,以及m即可求出AB的长. (2) 在 BCD中,因为CBD=-,所以由正弦定理可得 , sinsin BCm ; sin sin sin sin mm BC因此 在 ACD中,因为CBD=-,所以由正弦定理可得 , sinsin ACm ; sin sin sin s
3、in mm AC因此 在 ABC中,由余弦定理可得 cos2 222 ACBCACBCAB AC,BC,都已求出,是已知的。从而能求出AB的长。 如图所示,沿着BC方向走一段距离到达D点,用米尺测量出 CD的长度为m.用测量角度的仪器测量出ACB=, ADC=. 在ADC中,CAD=-,由正弦定理得 , sinsin ACm . sin sin m AC因此 在 RtABC中可得AB=ACsin sin sinsinm AB即 A 高度测量问题有以下两个关注点. (1) 空间向平面的转化. 髙度测量问题往往是空间中的问题.为了方便观察,减小 误差,需要 将空间问题转化为平面问题. (2) 解直
4、角三角形与解斜三角形结合。 全面分析所有三角形,仔细规划解题思路. 选取合理的方案。 3. 方位角与方向角 (1)从正北方向顺时针转到目标方向线的最小角叫方位角(取值范围: 0360).如图(1),目标A的方位角为135. (2)从指定方向线到目标方向线所成的小于90的角叫方向角. 如图 (2),目标A的方向角为北偏东30,目标B的方向角为南偏东45. 1.基线 : 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 2.铅锤平面:与地面垂直的平面 4. 仰角与俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角叫仰角. 视线在水平线下方时与水平线的夹角叫俯角(如图(1)所示). 5.坡角与坡度
5、 坡面与水平面的夹角叫坡角, 坡面的铅直高度与水平宽度 之比叫坡度(如图(2),坡度 (2) (1) 例1 如图所示.A, B是某沼泽地上不便到达的两点,C, D是可到达 的两点.已知A,B,C,D 4点都在水平面上,而且已经测得ACB = 45, BCD= 30. CDA =45. BDA = 15, CD = 100 m.求 AB 的长. 因为A. B, C, D 4点都在水平面上,所以 BDC =BDA + CDA = 15 + 45 = 60, 因此 CBD =180-30-60 = 90,所以在 RtBCD中 BC = 100cos 30 = (m).350 在ACD 中.因为CAD
6、 = 180-45-30c-45 = 60,所以由 正弦定理可知 , 60sin 100 45sin AC 因此AC = m 3 6100 在ABC中.由余弦定理可知 , 3 12500 45cos350 3 6100 2350 3 6100 2 2 2 AB . 3 350 mAB 从而 例2 如图所示,在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据监测.目前台风中心 位于城市A的东偏南60方向、距城市A 300 km的海面点P 处. 并以20 km/h的速 度向西偏北30方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域.半 径为 km,将问题涉及范围内的地球表面看成平面,判断城市A是否会
7、受到上 述台风的影响.如果会,求出受影响的时间;如果不会,说明理由. 3100 解:如图所示,设台风的中心xh后到达位置Q.且此时AQ = km.3100 在AQP 中,有 P =6030 = 30,且AP = 300 km, PQ = 20 x km. 因此由正弦定理可得 . sin 20 sin 300 30sin 3100 A x Q , 2 3 3100 30sin300 sin Q从而可解得 所以Q=60或Q=120. 当Q=60时,A=180-30-60=90 ; 310, 30sin 90sin3100 20 xx 因此 当Q=120时,A=180-30-120=30, ; 35
8、, 30sin 30sin3100 20 xx 因此 城市A在 h后会受到影响,持续的时间为 35 h3535310 60 30 A Q 法 一 用正弦定理求解 法 二 用余弦定理求解 解:设台风的中心 x h后到达位置Q.且此时AQ = km.3100 在AQP 中,有 P =6030 = 30,且AP = 300 km, PQ = 20 x km. 因此由余弦定理可得 AQ2=AP2+PQ2-2APPQcosP. 代入化简得 受到台风影响时,城市当.A3100kmAQ , 0150315 2 xx . 31035 x解得 城市A会受到影响,持续的时间为 h3535310 60 30 A Q
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