（2021新人教B版）高中数学必修第四册第十一章空间几何体-综合提升 ppt课件.zip

人教B版必修第四册 11.1空间几何体 初步探究四面体的展开与折叠问题 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 问题引入 四面体也叫三棱锥，是比较常见的几何 体. 问题引入 大家都知道，正四面体的一种表面展开图是正三角形， 但一般四面体的表面展开图不一定是三角形. 那么什么样的四面体，它的表面展开图可以恰好是一个三角形 呢？ 反之，什么样的三角形可以折成一个四面体呢？ 四面体的展开图可以是四边形吗？ 什么样的四边形可以折成四面体呢？ （注：本节课提到的四边形均指凸四边形） （注：本节课提到的展开图只是指从某一个顶点沿侧棱剪开得到的展开图， 折叠也是类似的限制） 问题引入 1 什么样的三角形可以折成四面体 ？ 2 什么样的四边形可以折成四面体 ？ 3 一张A4纸可以恰好折成四面体吗 ？ CONTENTS 目 录 什么样的三角形可以折成四面体 01 如果四面体展开图是三角形 问题1 如果四面体的展开图是三角形，那么该四面体的角有什么性质呢？ 如果四面体展开图是三角形 问题2 反之，如果四面体有三个顶点处的三面角之和均为180，那么其展开图就可以是三角形吗？ 如果四面体展开图是三角形 问题3 如果四面体的展开图是三角形，那么该四面体的边有什么性质呢？ 如果四面体三组对棱分别相等 问题4 反之，如果四面体三组对棱分别相等，那么其展开图就可以是三角形吗？ 综上，四面体的表面展开图可以为三角形的充要条件是 四面体的三组对棱分别相等. 四面体展开图中的三角形一定是锐角三角形吗 ？ 问题5 若四面体的展开图是三角形，那么一定是锐角三角形吗？ 锐角三角形一定可以折成一个四面体吗？ 问题6 反之，锐角三角形一定可以折成一个四面体吗？ 1 什么样的三角形可以折成四面体 ？ 2 什么样的四边形可以折成四面体 ？ 3 一张A4纸可以恰好折成四面体吗 ？ CONTENTS 目 录 02 什么样的四边形可以折成四面体？ 如果四面体的展开图是四边形 问题1 如果四面体的表面展开图是四边形，那么该四面体的角有什么性质呢？ 如果四面体存在两个顶点处的三面角之和为180 问题2 如果四面体有两个顶点处的三面角之和均为180，那么其展开图就可以是四边形吗？ 综上，四面体表面展开图为四边形的充要条件是 存在两个顶点上的三面角之和均为180. 四面体展开图为四边形 问题3 若四面体的展开图是四边形，那么该四边形有什么特征呢？ 满足上述条件的四边形可以折成四面体吗？ 问题4 反之，满足上述条件的四边形ABCD，一定可以折成四面体吗？ 1 什么样的三角形可以折成四面体 ？ 2 什么样的四边形可以折成四面体 ？ 3 一张A4纸可以恰好折成四面体吗 ？ CONTENTS 目 录 03 一张A4纸可以恰好折成四面体吗？ 用一张A4纸可以恰好折成一个四面体吗？ 展开与折叠问题是内容非常丰富的问题，上面的结论只是在某些限制条件下得到的部分 结果. 还有很多的问题等待着大家去探究. 比如，如果没有刚才的限制，你可以用一张A4纸恰好折成一个四面体吗？ 1 什么样的三角形可以折成四面体 ？ 2 什么样的四边形可以折成四面体 ？ 3 一张A4纸可以恰好折成四面体吗 ？ 小结 人教B版必修第四册 11.1空间几何体 如何用平面图形直观表达立体图形 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 投影及其分类 一、投影法 在日常生活中，灯光和阳光照射物体时，会在地面、墙面上产生影子. 人们把这种投 影现象加以抽象，总结出投影理论，用以解决立体图形与平面图形的转化问题 . 二、分类 1. 中心投影 2. 平行投影 投射线汇交于一点(投影中心)的投影法叫 做中心投影法. 例如：电影、照相和人的眼睛 看物体都是中心投影现象. 若将投影中心移到离投影面无穷远处， 则所有的投射线相互平行，这种投射线相互 平行的投影方法，叫做平行投影法。 中心投影画法及其优缺点 如图1表示一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的 影子就是它在这个平面上的中心投影. 中心投影后的图形具有很强的立体感，看起来与人的视觉效果一致 ，最像原来的物体，所以画家常用中心投影的方法绘画（如图2），但 它的缺点是作图复杂和不能直接度量，因此在立体几何中很少用中心投 影原理来画图. 图1 图2 平行投影的性质 观察图1中窗户的影子，容易观察到，当图中的直线或 线段不平行于投射线时，平行投影都具有以下性质： （1）直线或线段的平行投影仍是直线或线段； （2）平行直线的平行投影是平行或重合的直线； （3）平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长. 如图2中，AB与AB，CD与CD都平行且相等. （4）与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等 ； （5）在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比仍 等于这两条线段的比. 如图3中，A M ：M B = AM：MB. 图1 图 3 图2 接下来要学习的三视图和斜二测 画法都是平行投影的重要应用. 1 三视图 2 斜二测画法 3 正等测画法 CONTENTS 目 录 三视图 01 三视图 初中我们已经学过用三视图来表示立体图形. 基本几何体的三视图 基本几何体的三视图 基本几何体的三视图 基本几何体的三视图 三视图的应用 下图所示是一个零件，我们可以画出这个几何体的三视图来表示它的基本信息. 三视图的应用 下图所示是一个奖杯的三视图，我们可以根据三视图提供的条件，还原它的相关信息. 三视图的优缺点 三视图能够准确地表达物体的形状，具有较好的度量性，绘图也比较简 单，因此被广泛应用于工程的设计及生产制造中. 但它缺乏立体感，不易想象出物体的形状. 接下来，我们学习轴测图. 轴测图的特点是富有立体感，因此生产上用 的图样经常将轴测图和三视图配合起来运用，以弥补三视图的缺点. 轴测图 下图显示了立方体在投影面上的轴测图. 为了使这种图便于度量和反映点在空间的确切位置， 首先在空间确定了三条互相垂直的坐标轴OX、OY、OZ. 并自O起在每条轴上标上刻度. 然后，按选定的投影方向，将各坐标轴连同物体一起投射到投影面上. 根据投影面上的坐标轴的刻度，就可以测量物体各个轴向的长度， 因此这种投影称为轴测图. 轴测图 在轴测图中，物体与任一坐标轴平行的长度均可按一定的比率来量度. 三轴向的 比率都相同时称为“等测投影”，其中两轴向比率相同时称为“二测投影”，三轴向比率均不相 同时称为“三测投影”. 轴测投影中投射线与投影面垂直的称为“正轴测投影”，倾斜的称为“斜轴测投影”. 接下来，我们重点学习一下常用的斜二测画法，并简要介绍一下正等测画法. 1 三视图 2 斜二测画法 3 正等测画法 CONTENTS 目 录 02 斜二测画法 正方形水平放置的直观图 要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形. 我们先学习用斜 二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 例1. 如图1所示是梯形ABCD，下面我们用斜二测画法来作出这个梯形水平放置时的直观图. 图1 梯形水平放置时的直观图 例1. 如图1所示是梯形ABCD，下面我们用斜二测画法来作出这个梯形水平放置时的直观图. 梯形水平放置时的直观图 图2 图3 图4 斜二测画法作水平放置平面图形直观图的步骤 一般地，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下. 由此可知，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x 轴和y轴平行（或重合）的线段. 长方体的直观图 例2. 下面我们来画一个水平放置的长为4，宽为3，高为2的长方体的直观图. 图1 图2 图3 正五棱锥的直观图 例3. 用斜二测画法画正五棱锥的直观图. 图 1 图2 图3 斜二测画法作立体图形直观图的步骤 一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下. 斜二测画法小结 你能说出其中的确切含义吗？ 有人将斜二测画法总结如下： 平行依旧垂改斜， 横等纵半竖不变； 眼见为实遮为虚， 空间观感好体现. 1 三视图 2 斜二测画法 3 正等测画法 CONTENTS 目 录 03 正等测画法 用正等测画法画圆柱与球的直观图 需要注意的是，立体几何中的直观图，不都是用斜二测画法作出的. 例如，水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆. 因此，圆柱，圆锥，圆台与球的直观图分别如下图所示. （选学）正等测画法的具体步骤 图4 图5 图3 图2 图1 1 三视图 2 斜二测画法 3 正等测画法 小结 11.1空间几何体 探索作过正方体棱上三点的截面 2020年海淀区空中课堂 高一年级数学学科 一、知识回顾 前面学习了空间中关于平面的基本事实（也称为公理） ，我们先来回顾一下： 基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条 直线在这个平面内. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共直线. 二、知识应用 问题1 这些基本事实有什么作用呢，能帮助我们解决哪些问题 呢？带着这个思考请大家完成下面的问题. 如图，在正方体 中, 分别是棱 上的点，如果用一个刀片去切正方体，截面同时过 3个 点，能不能实现？ 二、知识应用 分析： 是不在一条直线上的3点 根据 基本事实1 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面 截面可以同时过不共线的 3点 问题：你能画出截面与正方体的交线吗？ 二、知识应用 问题：你能画出截面与正方体的交线吗？ 顺次连接 3点，所得的 即为截面与正方体的交线. 理理 论论 依依 据据 二、知识应用 问题2 如图，在正方体 中, 分别是 棱 上的点，如果用一个刀片去切正方体，截面同时 过 3个点，你能画出截面与正方体的交线吗？ 二、知识应用 分析： 根据问题1 根据 基本事实3 两个平面一定有一条经过点 的公共直线， 那么这条直线怎样画出来呢？ 二、知识应用 思考： 两个平面的交线 l 有什么特点呢 ？ 交线是由无数个点构成的 一个平面内的直线与另一个平面的交点来确定的 两个平面内直线与直线的交点确定的 两平面交线是由两个平面内 无数组相交直线的交点组成 二、知识应用 分析： 两个平面内所有相交直线的交点，一定都在两个 平面的交线上；只要找到交线上的两个点，就可 以确定这条交线. 基本事实3 基本事实2 二、知识应用 分析： Q E 三、反思提升 怎样确定 一个平面呢？ 基本事实的应用价值 基本事实1 怎样判定两个不重合 的平面是否相交呢？ 基本事实3 怎样做出两个相 交平面的交线呢？ 基本事实2 交线是由无数个点构成的，由平面内的直线与平面的交点来确定的，而 直线与平面的交点，又是直线与直线的交点确定的，所以两平面交线是由两 个平面内无数组相交直线的交点组成. 四、作业巩固