（2021新人教B版）高中数学必修第四册 11.1.2构成空间几何体的基本元素ppt课件.pptx

1、11.1.2构成空间几何体的基本元素 一、空间中的点、线、面 1.思考 宁静的湖面、海面;生活中的课桌面、黑板面;一望无垠的草原给 你什么样的感觉? (1)生活中的平面有大小之分吗? 提示:有. (2)几何中的“平面”是怎样的? 提示:从物体中抽象出来的,绝对平,无大小之分. 2.填空 (1)几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物 体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的. (2)长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也称为“体”),包 围着几何体的是“面”,面与面相交给人“线”的形象,线与线相交给人 “点”的形象.这就是说,可以将点、线、面看作构成空间几何体的基 本元

2、素. 另外,点运动的轨迹可以是线,线运动的轨迹可以是面,面运动的轨 迹可以是体. (3)一些文字语言与数学符号的对应关系: 3.做一做 (1)图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD. (2)在图中,AAB,BAB,CAB, (3)在图中,EEF,EAB,则ABEF=E. EF ,EF ,则=EF. 二、空间中点与直线、直线与直线的位置关系 1.思考 同一个平面内的两条直线,如果不相交,就一定平行.这一结论可以 推广到空间中的两条直线吗? 提示:不能,还存在异面的情况,即不同在任何一个平面内的两条直 线叫做异面直线. 2.填空 (1)空间中点与直线的位置关系. (2)空间中直线与

3、直线的位置关系. 温馨提示:不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线. 如图所示, 虽然有a,b,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为ab=O, 所以a与b不是异面直线. 3.做一做 (1)判断正误. 没有公共点的两条直线是平行直线. ( ) 互相垂直的两条直线是相交直线. ( ) 既不平行又不相交的两条直线是异面直线. ( ) 不在同一平面内的两条直线是异面直线. ( ) 解析:异面直线既不平行,也不相交,故选项错误;互相垂直不一定 相交,因为有异面垂直,故选项错误; 选项正确;不在同一平面 内的两条直线平行或异面,故选项错误. 答案: (2)若空间两条直线a和b没有公共点,则a与

4、b的位置关系是() A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 解析:若直线a和b共面,则由题意可知ab;若a和b不共面,则由题意 可知a与b是异面直线. 答案:D (3)一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关 系是() A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 解析:如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AA1与BC是异面直线, 又AA1BB1,AA1DD1, 显然BB1BC=B,DD1与BC是异面直线. 答案:B 三、空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 1.思考 (1)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义 吗? 提示:(1)

5、不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情 况;而后者仅指直线与平面平行. (2)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系? 提示:这两条直线没有公共点,故它们的位置关系是平行或异面. 2.填空 (1)直线在平面内 不难看出,图中,点A,B确定的直线l上的所有点都在平面内,这称为 直线l在平面内(或平面过直线l),记作l; (2)直线在平面外 点确定的直线m上至少有一个点不在平面内,这称为直线m在平面 外,记作m;图中的m与有且只有一个公共点(称为直线m与平面 相交),一般简写为m=B. (3)直线与平面平行 一般地,如果l是空间中的一条直线,是空间中的一个平面,则l 与l=有且

6、只有一种情况成立.而且,当l时,要么l,要么l与 只有一个公共点;当l=时,称直线l与平面平行,记作l. (4)平面与平面相交 如图与有公共点,这称为平面与平面相交,记作. 更进一步可以看出,一个点是与的公共点,当且仅当这个点在直 线k上,这可记作=k. (5)平面与平面平行 如果与是空间中的两个平面,则与=有且只有一种情 况成立.而且,当时,与的公共点组成一条直线;当=时, 称平面与平面平行,记作. (6)直线与平面的位置关系列表比较 温馨提示:一般地,直线a在平面内时,应把直线a画在表示平面的 平行四边形内,切勿画出来;直线a与平面相交时,应画成直线a与平 面只有一个公共点,被平面遮住的部

7、分画成虚线或不画; 直线a与平面平行时,应画成直线a与表示平面的平行四边形的一 条边平行,并画在表示平面的平行四边形外. (7)两个平面的位置关系列表比较 温馨提示:画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平 行四边形的对应边平行,两个平行四边形上下放置. 3.做一做 (1)判断正误. 若直线l上有无数个点不在平面内,则l. ( ) 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这 个平面平行. ( ) 若直线l与平面平行,则l与平面内的任意一条直线都没有公共 点. ( ) 答案: 解析:由直观想象有e情况,不正确;中有另一条在这个平 面内情况不正确;正确. (2)若M平面,M平

8、面,则与的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 解析:因为M平面,M平面,所以与相交于过点M的一条直线. 答案:B (3)空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有 条. 解析:空间三个平面两两相交,则有一条交线或三条交线,三条交线 平行或相交于一点. 答案:1或3 四、直线与平面垂直 1.思考 鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有 关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁 班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查 一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反 的方向)检查两次,如图.如

9、果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒 和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直. (1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗? 提示:不能. (2)上述内容说明了直线与平面垂直的条件是什么? 提示:直线垂直于平面内的两条相交直线. (3)若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与平面垂直吗? 提示:不一定. 2.填空 (1)直线与平面垂直的定义 自然语言:一般地,如果直线l与平面相交于一点A,且对平面内 的任意一条过点A的直线m,都有lm,则称直线l与平面垂直(或l是 平面的一条垂线,是直线l的一个垂面),记作l. 其中,点A称为垂足. 图形语言:如图. 画直线l与平面垂直时,通常把直线画成与

10、表示平面的平行四边形 的一边垂直. 符号语言:任意a,都有lal. (2)投影，点到平面的距离，直线到平面的距离，两平行平面之间 的距离的定义 给定空间中一个平面及一个点A,过A可以作而且只可以作平面 的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面内的射影(也称为投 影),线段AB为平面的垂线段,AB的长为点A到平面的距离. 特别地,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为 这条直线到这个平面的距离;当平面与平面平行时,一个平面上任 意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离. 3.做一做 直线l平面,直线m,则l与m不可能() A.平行 B.相交C.异面D.垂直 解析:直线l

11、平面,l与相交. 又m,l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知lm. 故l与m不可能平行. 答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 文字、图形、符号三种语言的转化文字、图形、符号三种语言的转化 例1用符号语言表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面,相交于一点P,且平面与平面交于PA,平面与平 面交于PB,平面与平面交于PC; (2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC. 解:(1)符号语言表示:=P,=PA,=PB,=PC. 图形表示:如图所示. (2)符号语言表示:平面ABD平面BCD=BD,平面ABC平面 ADC=AC.图形表示:如图所

12、示. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 反思感悟学习几何问题,三种语言间的互相转换是一种基本技能. 要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能 用“”或“”,直线与平面间的位置关系只能用“”或“”.由图形语 言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 变式训练1(1)若点M在直线a上,a在平面内,则M,a,间的关系可记 为. (2)根据右图,填入相应的符号:A平面ABC,A 平面BCD,BD平面ABC,平面ABC平面ACD= . (3)根据下列条件画出图形:平面平面=MN,ABC的三个顶点 满足条件AMN,B

13、,BMN,C,CMN. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 解:(1)Ma,a,M (2)AC (3)如下图所示. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 空间两条直线位置关系的判定空间两条直线位置关系的判定 例2a,b,c是空间中的三条直线,下面给出的几种说法: 若ab,bc,则ac; 若ab,bc,则ac; 若a与b相交,b与c相交,则a与c相交; 若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线; 其中正确的是.(填序号) 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 解:对于,由平行公理知正确. 对于,如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中,令AB所在直线为b,AA1所 在直

14、线为a. 若BC所在直线为c, 则a与c异面. 若AD所在直线为c,则a与c相交, 若BB1所在直线为c,则ac,故不正确. 对于,若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行、异面、相交,故 不正确. 对于,a,b,则a与b可能平行、相交、异面,故不正确. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 反思感悟判定两条直线是异面直线的方法 定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内. 排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交). 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 例3下列五个命题中正确命题的个数是() 如果a,b是两条直线,ab,那么a

15、平行于经过b的任何一个平面; 如果直线a和平面满足a,那么a与平面内的任何一条直线平 行; 如果直线a,b满足a,b,那么ab; 如果直线a,b和平面满足ab,a,b,那么b; 如果a与平面上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面. A.0B.1 C.2D.3 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 解析:如图所示, 答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 变式训练2下列命题中的真命题是() A.若点A,点B,则直线AB与平面相交 B.若a,b,则a与b必异面 C.若点A,点B,则直线AB平面 D.若a,b,则ab 解析:对于选项B,如图显然错误. 对于选项C,如图显然

16、错误. 对于选项D,如图显然错误,故选A. 答案:A 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 两个平面的位置关系两个平面的位置关系 例4,是两个不重合的平面,下面说法正确的是 ( ) A.平面内有两条直线a,b都与平面平行,那么 B.平面内有无数条直线平行于平面,那么 C.若直线a与平面和平面都平行,那么 D.平面内所有的直线都与平面平行,那么 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 解析: 答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 反思感悟判断两平面之间的位置关系时,可把自然语言转化为图形 语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于直观想 象能力,确定平面

17、间的位置关系. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 变式训练3如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平 行,那么两个平面的位置关系一定是 ( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.不能确定 解析:由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或 平行.解答本题可逆向考虑画两平行面,看是否能在此两面内画两 条平行线.同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线,再 作出选择(如图所示). 答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义 例5直线l与平面内的无数条直线垂直,则直线l与平面的关系是( ) A.l和平面平行

18、 B.l和平面垂直 C.l在平面内 D.不能确定 解析:如图所示,直线l和平面平行,或直线l和平面垂直或直线l在 平面内都有可能.故选D. 答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 反思感悟直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要 注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与 平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如 果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定 不与这个平面垂直. 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 变式训练4设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确 的是() A.若lm,m,

19、则l B.若l,lm,则m C.若l,m,则lm D.若l,m,则lm 解析:对于A,直线lm,m并不代表平面内任意一条直线,所以不能 判定线面垂直;对于B,因l,则l垂直内任意一条直线,又lm,由 异面直线所成角的定义知,m与平面内任意一条直线所成的角都 是90,即m,故B正确;对于C,也有可能是l,m异面;对于D,l,m还可 能相交或异面. 答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 线、面位置关系图形的画法线、面位置关系图形的画法 例6作出下列各题的图形. (1)画直线a,b,使a=A,b. 解: (2)画平面,使,=m,=n. 解: 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂

20、检测 变式训练5在图中画出三个两两相交的平面. 解:如图所示: 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 1.与同一平面平行的两条直线() A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面 解析:与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况:平行、 相交或异面. 答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另 一平面的位置关系为() A.平行 B.相交 C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内 解析:由题知这条直线可能在另一平面内也可能与另一平面平行. 答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 3.长方体

21、的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对. 解析:如图所示, 在长方体AC1中,与对角线AC1成异面直线位置的是:A1D1、BC、 BB1、DD1、A1B1、DC,所以组成6对异面直线. 答案:6 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合; 若l,m是异面直线,l,m,则. 其中命题错误的序号为. 解析:对于,两个平面相交,也有无数多个公共点,故错误;对于, 借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB平面DCC1D1,B1C1平面 AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故 错误. 答案: 4.下列命题: 探究一探究二探究三探究四探究五探究六当堂检测 5.简述结论,并画图说明. 直线a在平面内,直线b与直线a相交,则直线b与平面的位置关系 如何? 解:直线b与平面的位置关系有两种: b,或b=A.