（2021新人教B版）高中数学必修第一册2.2.4 第2课时均值不等式的应用 练习.zip

第二章第二章2.22.2.4第第 2 课时课时 1若实数 a，b 满足 ab0，则 a24b2的最小值为(C) 1 ab A8B6 C4D2 解析：直接利用关系式的恒等变换和均值不等式求出结果实数 a，b 满足 ab0，则 a24b24ab4，当且仅当 a2b，且 ab 时，等号成立，故选 C 1 ab 1 ab 1 2 2若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式恒成立的是(D) A B 1 1 ab 1 4 1 a 1 b C2Da2b28 ab 解析：4ab2(当且仅当 ab 时，等号成立)，即2，ab4， ，A，C 不 abab 1 ab 1 4 成立； 1，B 不成立；a2b2(ab)22ab162ab8. 1 a 1 b ab ab 4 ab 3若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_25_m2_. 解析：设矩形的一边为 x m， 则另一边为 (202x)(10 x)m， 1 2 所以 yx(10 x)225， x10 x 2 当且仅当 x10 x，即 x5 时，ymax25 m2. 4已知关于 x 的不等式 2x7 在 x(a，)上恒成立，则实数 a 的最小值为 2 xa _ _. 3 2 解析：由 xa，知 xa0，则 2x2(xa) 2 xa 2a22a42a，由题意可知 42a7，解得 a ，即实数 a 的最 2 xa 2xa 2 xa 3 2 小值为 . 3 2 第二章第二章2.22.2.4第第 2 课时课时 请同学们认真完成 练案 16 A 级基础巩固 一、单选题(每小题 5 分，共 25 分) 1若 0 x ，则 yx的最大值为(C) 1 214x2 A1B 1 2 C D 1 4 1 8 解析：因为 0 x0，所以 1 2 x 2x ，当且仅当 2x即 x时等号成 14x2 1 214x2 1 2 4x214x2 2 1 414x2 2 4 立，故选 C 2当 x1 时，不等式 xa 恒成立，则实数 a 的取值范围是(D) 1 x1 A(，2B2，) C3，)D(，3 解析：由于 x1，所以 x10，0， 1 x1 于是 xx11213， 1 x1 1 x1 当x1 即 x2 时等号成立， 1 x1 即 x的最小值为 3，要使不等式恒成立，应有 a3，故选 D 1 x1 3(2019江苏南京师大附中高二期中)函数 y(x1)的图像的最低点的坐 x22x2 x1 标是(D) A(1,2)B(1，2) C(1,1)D(0,2) 解析：x1，x10.y(x1)2，当且仅当 x1，即 x121 x1 1 x1 1 x1 x0 时等号成立，即当 x0 时，该函数取得最小值 2.所以该函数图像最低点的坐标为(0,2) 4若对所有正数 x，y，不等式 xya都成立，则 a 的最小值是(A) x2y2 AB2 2 C2D8 2 解析：因为 x0，y0， 所以 xy， x2y22xy2x22y22x2y2 当且仅当 xy 时等号成立， 所以使得 xya对所有正数 x，y 恒成立的 a 的最小值是.故选 A x2y22 5若点 A(2，1)在直线 mxny10 上，其中 m，n 均大于 0，则 的最小值 1 m 2 n 为(C) A2B4 C8D16 解析：因为点 A 在直线 mxny10 上， 所以2mn10，即 2mn1. 因为 m0，n0，所以 2 2428，当且仅 1 m 2 n 2mn m 4m2n n n m 4m n n m 4m n 当 m ，n 时取等号故选 C 1 4 1 2 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6已知 x ，则 y的最小值是_1_. 5 2 x24x5 2x4 解析：f(x) x221 2x4 x2 2 1 2x4 2x4 4 1 2x4 21. 2x4 4 1 2x4 当且仅当，即 x3 时取“” 2x4 4 1 2x4 7(2019辽宁本溪高级中学高二期中)若两个正实数 x，y 满足 1，且不等式 x 1 x 4 y m23m 有解，则实数 m 的取值范围是_(，1)(4，)_. y 4 解析：不等式 x m23m 有解，(x )min0，y0，且 y 4 y 4 1，x (x )( )2224，当且仅当，即 1 x 4 y y 4 y 4 1 x 4 y 4x y y 4x 4x y y 4x 4x y y 4x x2，y8 时取等号，(x )min4，m23m4，即(m1)(m4)0，解得 m4， y 4 故实数 m 的取值范围是(，1)(4，) 8若正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_9，)_；ab 的取值 范围是_6，)_. 解析：正数 a，b 满足 abab3， abab323， ab 即()2230， abab 解得3，即 ab9，当且仅当 ab3 时取等号 ab ab9，) 正数 a，b 满足 abab3，ab3ab()2， ab 2 即(ab)24(ab)120，解得 ab6， 当且仅当 ab3 时取等号， ab6，) 三、解答题(共 20 分) 9(6 分)(2019湖北华中师大一附中高二检测)已知 a，b，c 为不全相等的正实数，且 abc1.求证：abc. 1 a2 1 b2 1 c2 解析：因为 a，b，c 都是正实数，且 abc1， 所以2c， 1 a2 1 b2 2 ab 2a， 1 b2 1 c2 2 bc 2b， 1 a2 1 c2 2 ac 以上三个不等式相加，得 2()2(abc)， 1 a2 1 b2 1 c2 即abc. 1 a2 1 b2 1 c2 因为 a，b，c 不全相等， 所以上述三个不等式中的“”不都同时成立 所以 abcbc，nN 且，求 n 的最大值 1 ab 1 bc n ac 解析：abc，ab0，bc0，ac0. ， 1 ab 1 bc n ac n. ac ab ac bc ac(ab)(bc)， n， abbc ab abbc bc n2. bc ab ab bc 22(2bac 时取等号) bc ab ab bc bc ab ab bc n4.n 的最大值是 4. 11(7 分)已知 a，b，c 都是正实数，且 abc1， 求证：(1a)(1b)(1c)8abc. 解析：abc1， (1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab) 又 a，b，c 都是正实数， 0，0，0. ab 2ab bc 2bc ac 2ac abc. abbcac 8 (1a)(1b)(1c)8abc， 当且仅当 abc 时，等号成立 1 3 B 级素养提升 一、单选题(每小题 5 分，共 10 分) 1某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，这两年的平 均增长率为 x，则(B) AxBx ab 2 ab 2 CxDx ab 2 ab 2 解析：由条件知 A(1a)(1b)A(1x)2， 所以(1x)2(1a)(1b)2， 1a1b 2 所以 1x1，故 x. ab 2 ab 2 2已知正实数 m，n 满足 mn1，且使 取得最小值若 y ，x 是方程 1 m 16 n 5 m 4 n yx的解，则 (C) A1B 1 2 C2D3 解析： ( )(mn)1 1617 17225. 1 m 16 n 1 m 16 n 16m n n m 16m n n m 16m n n m 当且仅当 ，又 mn1， 16m n n m 即 m ，n 时，上式取等号， 1 5 4 5 即 取得最小值时，m ，n ，所以 y25，x5,255. 1 m 16 n 1 5 4 5 得 2. 二、多选题(每小题 5 分，共 10 分) 3设 a0，b0，下列不等式恒成立的是(ABC) Aa21aB(a )(b )4 1 a 1 b C(ab)( )4Da296a 1 a 1 b 解析：由于 a21a(a )2 0， 1 2 3 4 a21a，故 A 恒成立； 由于 a 2，b 2， 1 a 1 b (a )(b )4，当且仅当 ab1 时，等号成立，故 B 恒成立； 1 a 1 b 由于 ab2， 2， ab 1 a 1 b 1 ab (ab)( )4，当且仅当 ab 时，等号成立，故 C 恒成立； 1 a 1 b 当 a3 时，a296a，故 D 不恒成立；故选 ABC 4设 a，bR，且 ab，ab2，则必有(BD) Aab1Bab1 C1 a2b2 2 a2b2 2 解析：因为 ab()2，ab，所以 ab1， ab 2 又 11，所以 ab10，则取最小值时 a 的值为_2_. 1 2|a| |a| b 解析：因为 ab2， 所以 1 2|a| |a| b 2 4|a| |a| b ab 4|a| |a| b 21， a 4|a| b 4|a| |a| b a 4|a| b 4|a| |a| b a 4|a| 当且仅当时等号成立 b 4|a| |a| b 又 ab2，b0， 所以当 b2a，a2 时，取得最小值 1 2|a| |a| b 四、解答题(共 10 分) 7某厂家拟在 2019 年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的 年产量)x 万件与年促销费用 m(m0)万元满足 x3(k 为常数)，如果不搞促销活动， k m1 则该产品的年销售量只能是 1 万件已知 2019 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (1)将 2019 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数 (2)该厂家 2019 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解析：(1)由题意知，当 m0 时，x1， 13k，即 k2，x3， 2 m1 每件产品的销售价格为 1.5(元)， 816x x 2019 年该产品的利润 y1.5x816xm(m1)29(m0) 816x x 16 m1 (2)m0，(m1)28， 16 m116 y82921，当且仅当 m1，即 m3 时，ymax21.故该厂家 2019 年的促 16 m1 销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 21 万元