（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第一册课时分层作业24　抛物线的几何性质练习.doc

1、课时分层作业(二十四)抛物线的几何性质 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF| 3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为() A3 4 B1 C5 4 D7 4 C由抛物线的定义，有|AF|BF| xAp 2 xBp 2 xAxBp3，故 xAxB3p5 2，故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 5 4 2已知点 P(6，y)在抛物线 y22px(p0)上，若点 P 到抛物线焦点 F 的距 离等于 8，则焦点 F 到抛物线准线的距离等于() A2B1 C4D8 C抛物线 y22px(p0)的准线为 xp 2，因

2、为 P(6，y)为抛物线上的点， 所以点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线的距离，所以 6p 28，所以 p4，即 焦点 F 到抛物线准线的距离等于 4 3 抛物线 y24x 的焦点 F， 点 P 为抛物线上的点， 点 M 为其准线上的动点， 当FPM 为等边三角形时面积为() A2 3B4 C6D4 3 D据题意知，FPM 为等边三角形，|PF|PM|FM|， PM抛物线的准线，设 P m2 4 ，m ，则 M(1，m)，等边三角形边长为 1 m 2 4 ，又由 F(1,0)，|PM|FM|得 1m 2 4 112m2，得 m2 3， 等边三角形的边长为 4，其面积为 4 3 4直线 l

3、过抛物线 C：y22px(p0)的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，|AB| 4，若 AB 的中点到 y 轴的距离为 1，则 p 的值是() A1B2 C3D4 B由题意知， 直线 l 过抛物线的焦点 F p 2，0， 且与抛物线交于 A， B 两点， A 到准线 xp 2的距离为 x Ap 2， B 到准线 xp 2的距离为 x Bp 2， 线段 AB 的中点到准线的距离为xAxB 2 p 2， 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为xAxB 2 1， 即 xAxB2， 由抛物线定义，|AF|p 2x A， |BF|p 2x B， |AB|xAxBp4， 即 xAxB4p， 4p2，即 p2

4、 5 已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则y1y2 x1x2的值一定等于( ) A4B4 Cp2Dp2 A若焦点弦 ABx 轴， 则 x1x2p 2，x 1x2p 2 4 ； y1p，y2p，y1y2p2， y1y2 x1x24 若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴， 可设 AB 的直线方程为 yk xp 2 ， 联立 y22px 得 k2x2(k2p2p)xp 2k2 4 0， 则 x1x2p 2 4 ，y1y2p2，故y1y2 x1x24 二、填空题 6已知点 A(0， 3)，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，

5、射线 FA 与抛物 线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N若|FM|MN|12，则抛物线的方程 是 y24x依题意 F 点的坐标为 p 2，0， 设 M 在准线上的射影为 K， 由抛物线的定义知|MF|MK|， |FM|MN|12， |KN|KM| 31|OA| |OF|， 3p2 3， p2抛物线方程为 y24x 7已知直线 l 经过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，且与抛物线交于 P，Q 两点，由 P，Q 分别向准线引垂线 PK，QS，垂足分别为 K，S，如果|PF|a，|QF| b，M 为 KS 的中点，则|MF|的值为 ab如图，根据抛物线的定义，有|PF|PK|，|QF|QS

6、|，易知KFS 为 直角三角形，故要求的是直角三角形斜边上的中线长在直角梯形 PKSQ 中，容 易求得|KS|2 ab故|FM|1 2|KS| ab 8已知一条过点 P(2,1)的直线与抛物线 y22x 交于 A，B 两点，且 P 是弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为 xy10依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 y212x1，y222x2， 两式相减得 y21y222(x1x2)，即y1y2 x1x2 2 y1y21，直线 AB 的斜率为 1，直线 AB 的方程是 y1x2，即 xy10 三、解答题 9抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135

7、的直 线被抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线方程 解依题意可设抛物线方程为 y22px(p0)， 则直线方程为 yx1 2p 设直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，过 A，B 分别作准线的垂线，垂 足为 C，D，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD| x1p 2x 2p 2，即 x 1p 2x 2p 28 又 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点， 由 yx1 2p， y22px 消去 y， 得 x23pxp 2 4 0， x1x23p将其代入，得 p2 所求的抛物线方程为 y24x 当抛物线方程设为 y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程为

8、 y24x 综上所述，抛物线方程为 y24x 或 y24x 10 已知抛物线 y24x 的焦点为 F， 过点 P(2,0)的直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2，y2)两点，直线 AF，BF 分别与抛物线交于点 M，N (1)求 y1y2的值 (2)记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，证明：k1 k2为定值 解(1)依题意， 设 AB 的方程为 xmy2(m0)， 代入 y24x， 得 y24my 80，从而 y1y28 (2)证明：设 M(x3，y3)，N(x4，y4)， k1 k2 y3y4 x3x4 x1x2 y1y2 y3y4 y23 4 y 2 4 4

9、 y21 4 y 2 2 4 y1y2 y1y2 y3y4， 设直线 AM 的方程为 xny1，代入 y24x 消去 x 得：y24ny40，所 以 y1y34， 同理 y2y44，k1 k2 y1y2 y3y4 y1y2 4 y1 4 y2 y1y2 4， 由(1)知 y1y28，所以k1 k22 为定值 11(多选题)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 l 的斜率为 3， 且经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于点 A，B 两点(点 A 在第一象限)与抛物线的 准线交于点 D，若|AF|4，则以下结论正确的是() Ap2BF 为 AD 中点 C|BD|2|BF|D|BF

10、|2 ABC如图，F p 2，0，直线 l 的斜率为 3，则直线方程为 y 3 xp 2 ， 联立 y22px y 3 xp 2 ， 得 12x220px3p20 解得：xA3 2p，x B1 6p， 由|AF|3 2p p 22p4，得 p2 抛物线方程为 y24x xB1 6p 1 3，则|BF| 1 31 4 3； |BD| |BF| cos 60 4 3 1 2 8 3，|BD|2|BF|， |BD|BF|4 3 8 34，则 F 为 AD 中点 运算结论正确的是 ABC 12已知点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AM

11、B90，则 k 2由题意知抛物线的焦点为(1,0)， 则过 C 的焦点且斜率为 k 的直线方程为 yk(x1)(k0)，由 ykx1， y24x 消去 y 得 k2(x1)24x，即 k2x2(2k24)x k20设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k 24 k2 ，x1x21由 ykx1， y24x 消去 x 得 y24 1 ky1，即 y24 ky40，则 y 1y24 k，y 1y24由AMB 90，得MA MB (x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1 y2)10，将 x1x22k 24 k2 ，x1x21 与 y1y24 k，y 1y24

12、 代入，得 k2 13(一题两空)如图，已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，过 点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，且|AB|3p，设点 A，B 在 l 上的射影分别 为 A，B，则直线 AB 的斜率为；若向四边形 AABB 内任投一 点 M，点 M 落在FAB内的概率是 2 1 3 设|AF|m，|BF|n，可得 mn3p， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p3p，即 x1x22p， 显然 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 yk xp 2 ， 联立抛物线方程得 k2x2(2pk2p)xk 2 4 p20， 可得 x1x2p2p k2 2p

13、，解得 k 2， 由抛物线的定义可得|AA|AF|m，|BB|BF|n， 可得四边形 AABB 的面积为1 2|AB|(mn) 3 2p|AB|， FAB的面积为 1 2p|AB|， 则点 M 落在FAB内的概率是 1 2p|AB| 3 2p|AB| 1 3 14已知点 A(2,0)，抛物线 C：x24y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相 交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|MN| 1 5抛物线 C：x24y 的焦点为 F(0,1)，点 A 坐标为(2,0)，抛物线 的准线方程为 l： y1， 直线 AF 的斜率为 k01 20 1 2 过 M 作 MPl 于 P， 根据抛物

14、线的定义得|FM|PM| RtMPN 中，tanMNPk1 2， |PM| |PN| 1 2， 可得|PN|2|PM|， 得|MN| |PN|2|PM|2 5|PM| |PM| |MN| 1 5，可得|FM|MN|PM|MN|1 5 15已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点 (1)若直线 l 的倾斜角为 60，求|AB|的值； (2)若|AB|9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离 解(1)因为直线 l 的倾斜角为 60， 所以其斜率 ktan 60 3 又 F 3 2，0，所以直线 l 的方程为 y 3 x3 2 联立 y26x， y 3 x3 2 ， 消 去 y 得 x25x9 40 若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x25，而|AB|AF|BF|x1p 2x 2p 2 x1x2p，所以|AB|538 (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1p 2x 2p 2 x1x2px1x23， 所以 x1x26于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x 3 2， 所以 M 到准线的距离等于 33 2 9 2