(2021新教材)人教B版高中数学选择性必修第一册2.6.1 双曲线的标准方程练习.docx
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1、1 2.6双曲线及其方程 2.6.1双曲线的标准方程双曲线的标准方程 课后篇巩固提升 基础达标练 1.与椭圆? 2 4 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是() A.? 2 4 -y2=1B.? 2 3 -y2=1 C.? 2 2 -y2=1D.x2-? 2 2 =1 解析由题意得,双曲线焦点在 x轴上,且 c= 3,设双曲线的标准方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0),则有 a2+b2=c2=3, 4 ?2 ? 1 ?2=1,解得 a 2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为?2 2 -y2=1. 答案 C 2.(多选)当 4 , 3 4 时,方程 x2sin
2、 +y2cos =1 表示的轨迹可以是() A.两条直线B.圆 C.椭圆D.双曲线 解析当 4 , 3 4 时,sin 2 2 ,1 ,cos - 2 2 , 2 2 , 可得方程 x2sin +y2cos =1 表示的曲线可以是椭圆(sin 0,cos 0). 也可以是双曲线(sin 0,cos 0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b, 且双曲线的焦距为 2 5,则该双曲线的方程为() A.? 2 4 -y2=1B.? 2 3 ? ?2 2 =1 C.x2-? 2 4 =1D.? 2 2 ? ?2 3 =1 解析由题意得 |?1|-|
3、?2| = 2? = ?, ?2= ?2+ ?2, 2? = 2 5, 解得 ?2= 1, ?2= 4, 则该双曲线的方程为 x2-? 2 4 =1. 答案 C 4.已知双曲线? 2 4 ? ?2 5 =1 上一点 P 到左焦点 F1的距离为 10,则 PF1的中点 N 到坐标原点 O 的距离为 () A.3 或 7B.6 或 14 C.3D.7 解析设右焦点为 F2,连接 PF2,ON(图略),ON 是PF1F2的中位线,|ON|=1 2|PF2|, |PF1|-|PF2|=4,|PF1|=10, |PF2|=14 或 6,|ON|=1 2|PF2|=7 或 3. 答案 A 5.动圆与圆 x
4、2+y2=1 和 x2+y2-8x+12=0 都外切,则动圆圆心的轨迹是() 3 A.双曲线的一支B.圆 C.椭圆D.双曲线 解析设动圆的圆心为 M,半径为 r,圆 x2+y2=1 与 x2+y2-8x+12=0 的圆心分别为 O1和 O2,半径分别为 1 和 2, 由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4, 动点 M 的轨迹是双曲线的一支(靠近 O1). 答案 A 6.若双曲线? 2 ? -y2=1(n1)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2 ? + 2,则 PF1F2的面积
5、为() A.1B.1 2 C.2D.4 解析设点 P 在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2 ?, 已知|PF1|+|PF2|=2 ? + 2, 解得|PF1|= ? + 2 +?,|PF2|= ? + 2 ?, |PF1|PF2|=2. 又|F1F2|=2 ? + 1, 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, PF1F2为直角三角形,F1PF2=90, ?1?2= 1 2|PF1|PF2|= 1 22=1. 答案 A 4 7.平面上两点 F1,F2满足|F1F2|=4,设 d 为实数,令 D 表示平面上满足|PF1|-|PF2|=d 的所有 P 点组成的 图形,又令 C 为
6、平面上以 F1为圆心、6 为半径的圆.下列结论中,其中正确的有(写出所有 正确结论的编号). 当 d=0 时,D 为直线; 当 d=1 时,D 为双曲线; 当 d=2 时,D 与圆 C 交于两点; 当 d=4 时,D 与圆 C 交于四点; 当 d4 时,D 不存在. 解析当 d=0 时,D 为线段 F1F2的垂直平分线,正确; 当 d=1 时,|PF1|-|PF2|=d4 时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,D 不存在,正确. 答案 8.焦点在 x 轴上的双曲线经过点 P(4 2,-3),且 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方 程为. 解析设焦点 F1(-c,0),F2(
7、c,0)(c0), 则由 QF1QF2,得?1?2=-1, 5 ? 5 -?=-1,c=5. 设双曲线方程为? 2 ?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0), 双曲线过点(4 2,-3),32 ?2 ? 9 ?2=1, 5 又c2=a2+b2=25,a2=16,b2=9, 双曲线的标准方程为? 2 16 ? ?2 9 =1. 答案? 2 16 ? ?2 9 =1 9.已知与双曲线? 2 16 ? ?2 9 =1 共焦点的双曲线过点 P - 5 2 ,- 6 ,求该双曲线的标准方程. 解已知双曲线? 2 16 ? ?2 9 =1, 则 c2=16+9=25,c=5.设所求双曲线的标准方程为? 2
8、?2 ? ?2 ?2=1(a0,b0).依题意知 b 2=25-a2, 故所求双曲线方程可写为? 2 ?2 ? ?2 25-?2=1. 点 P - 5 2 ,- 6 在所求双曲线上, - 5 2 2 ?2 ? (- 6)2 25-?2=1, 化简得 4a4-129a2+125=0, 解得 a2=1 或 a2=125 4 . 当 a2=125 4 时,a2c2,不合题意,舍去, a2=1,b2=24, 所求双曲线的标准方程为 x2-? 2 24=1. 10. 6 如图所示,已知定圆 F1:(x+5)2+y2=1,定圆 F2:(x-5)2+y2=42,动圆 M 与定圆 F1,F2都外切,求动圆圆心
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