（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第一册2.3.3　直线与圆的位置关系练习.docx

1、1 2.3.3直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 课后篇巩固提升 基础达标练 1.直线(m-1)x+(m-3)y-2=0 与圆(x-1)2+y2=1 的位置关系是() A.相交B.相切 C.相离D.相交或相切 解析圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径 r=1, 由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得 m(x+y)=x+3y+2,由 ? + ? = 0, ? + 3? + 2 = 0, 得 x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1), 代入(x-1)2+y2=1 成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交. 答案 D 2.如果圆 x2+y2+Dx+Ey+F=

2、0 与 x 轴相切于原点,则() A.E0,D=F=0B.D0,E0,F=0 C.D0,E=F=0D.F0,D=E=0 解析由题意得,圆心坐标为 - ? 2 ,- ? 2 , 圆心在 y 轴上,所以 D=0,圆与 x 轴相切于原点,所以 E0,半径为 - ? 2 = 1 2 ?2+ ?2-4?, 化简可得 F=0. 答案 A 2 3.已知圆 x2+y2=9 的弦过点 P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为() A.y-2=0B.x+2y-5=0 C.2x-y=0D.x-1=0 解析当弦长最短时,该弦所在直线与过点 P(1,2)的直径垂直.已知圆心 O(0,0),所以过点 P(1,2)

3、的直径 所在直线的斜率 k=2-0 1-0=2,故所求直线的斜率为- 1 2,所以所求直线方程为 y-2=- 1 2(x-1),即 x+2y-5=0. 答案 B 4.若直线 x-y=2 被圆(x-a)2+y2=4 所截得的弦长为 2 2,则实数 a 的值为() A.0 或 4B.0 或 3 C.-2 或 6D.-1 或 3 解析由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径 r=2.又直线被圆截得的弦长为 2 2,所以圆心到直线的距 离 d= 22- 2 2 2 2 =2.又 d=|?-2| 2 ,所以|a-2|=2,解得 a=4 或 a=0. 答案 A 5.已知直线 l:3x+4y+m=0(m0

4、)被圆 C:x2+y2+2x-2y-6=0 截得的弦长是圆心 C 到直线 l 的距离的 2 倍, 则 m 等于() A.6B.8C.11D.9 解析圆 C:x2+y2+2x-2y-6=0 可化为(x+1)2+(y-1)2=8,圆心坐标为(-1,1),半径为 2 2, 由题意可知,圆心到直线的距离 d=|1+?| 5 =2. m0,m=9. 答案 D 6.直线 x+y+1=0 被圆 C:x2+y2=2 所截得的弦长为;由直线 x+y+3=0 上的一点向圆 C 引切 线,切线长的最小值为. 3 解析圆 C:x2+y2=2 的圆心坐标为 C(0,0),半径 r= 2.圆心 C 到直线 x+y+1=0

5、 的距离 d=|1| 2 = 2 2 . 直线 x+y+1=0 被圆 C:x2+y2=2 所截得的弦长为 2 ( 2)2- 2 2 2 =6.圆心 C 到直线 x+y+3=0 的距离 d1=|3| 2 = 3 2 2 ,则由直线 x+y+3=0 上的一点向圆 C 引切线,切线长的最小值为 3 2 2 2 -( 2)2= 10 2 . 答案 6 10 2 7.已知对任意实数 m,直线 l1:3x+2y=3+2m 和直线 l2:2x-3y=2-3m 分别与圆 C:(x-1)2+(y-m)2=1 相交于 A,C 和 B,D,则四边形 ABCD 的面积为. 解析由题意,直线 l1:3x+2y=3+2m

6、 和直线 l2:2x-3y=2-3m 交于圆心(1,m),且互相垂直,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABCD 的面积为 41 211=2. 答案 2 8.自圆外一点 P 作圆 O:x2+y2=1 的两条切线 PM,PN(M,N 为切点),若MPN=90,则动点 P的轨迹方 程是. 解析设点 P 的坐标为(x,y),则|PO|= ?2+ ?2. MPN=90,四边形 OMPN 为正方形, |PO|= 2|OM|= 2, ?2+ ?2=2,即 x2+y2=2. 4 答案 x2+y2=2 9.一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7,求此圆的方程

7、. 解因为圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上,故设圆的方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因为直线 y=x 截 圆得弦长为 2 7,则有 |3?-?| 2 2 +( 7)2=9b2, 解得 b=1,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 10.已知圆 C:(x+2)2+(y+2)2=3,直线 l 过原点 O. (1)若直线 l 与圆 C 相切,求直线 l 的斜率; (2)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,点 P 的坐标为(-2,0).若 APBP,求直线 l 的方程. 解(1)由题意知直线 l的斜率存在,所以设直线 l

8、 的方程为 y=kx.由直线 l与圆 C相切,得 |2?-2| ?2+1 =3,整 理为 k2-8k+1=0,解得 k=415. (2)设点 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由(1)知直线 l 的方程为 y=kx. 联立方程 (? + 2)2+ (? + 2)2= 3, ? = ?, 消去 y整理为(k2+1)x2+(4k+4)x+5=0, 所以 x1+x2=-4?+4 ?2+1,x1x2= 5 ?2+1,y1y2= 5?2 ?2+1, 由? ? ?=(x1+2,y1),?,? ?=(x2+2,y2), 则? ? ?,? ?=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2

9、(x1+x2)+y1y2+4,代入化简得 ? ? ?,? ? = 5 ?2+1 ? 8?+8 ?2+1 + 5?2 ?2+1+4= 9?2-8?+1 ?2+1 ,由 APBP,有? ? ?,? ?=0,得 9k2-8k+1=0,解得 k=4 7 9 ,则直线 l 的方程为 y=4+ 7 9 x 或 y=4- 7 9 x. 能力提升练 1.圆 x2+y2+2x-2y-2=0 上到直线 l:x+y+ 2=0 的距离为 1 的点共有() 5 A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析化 x2+y2+2x-2y-2=0 为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为 2,圆心到

10、直线 l:x+y+ 2=0 的距离 d=|-1+1+ 2| 12+12 =12, 结合图形可知,圆上有三点到直线 l的距离为 1. 答案 C 2.(多选)已知点 A 是直线 l:x+y-10=0 上一定点,点 P,Q 是圆 C:(x-4)2+(y-2)2=4 上的动点,若PAQ 的 最大值为 60,则点 A 的坐标可以是() A.(4,6)B.(2,8)C.(6,4)D.(8,2) 解析点 A 是直线 l:x+y-10=0 上一定点,点 P,Q是圆 C:(x-4)2+(y-2)2=4 上的动点, 如图,圆的半径为 2, 所以直线上的 A到圆心的距离为 4, 结合图形,可知 A 的坐标(4,6)

11、与(8,2)满足题意. 答案 AD 3.设圆 C:x2+y2-2x-3=0,若等边PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦,则线段 PC 长度的最大值为() A. 10B.2 3C.4D.2 6 6 解析化圆 C:x2+y2-2x-3=0 为(x-1)2+y2=4, 连接 AC,BC,设CAB= 0 2 ,连接 PC 与 AB 交于点 D, AC=BC,PAB 是等边三角形,D 是 AB 的中点,得 PCAB,在圆 C:(x-1)2+y2=4 中,圆 C 的半径 为 2,|AB|=4cos ,|CD|=2sin , 在等边PAB 中,|PD|= 3 2 |AB|=2 3cos , |PC|=|

12、CD|+|PD|=2sin +2 3cos =4sin ? + 3 4. 答案 C 4.在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则圆心坐标为,四 边形 ABCD 的面积为. 解析圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,易知点 E 在圆内,由圆的性质可知最长弦|AC|=2 10, 最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中点,且与 AC 垂直,设点 F 为其圆心,坐标为(1,3). 故|EF|= 5,|BD|=2 10-( 5)2=2 5, S四边形ABCD=1 2|AC|BD|=10 2. 答案(1,3)10 2 5.一条光线从

13、点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1 相切,则反射光线所在直线的斜率 为. 7 解析由已知得点(-2,-3)关于 y 轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线一定 过点(2,-3). 设反射光线所在直线的斜率为 k,则反射光线所在直线的方程为 y+3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0.由反 射光线与圆相切,则有 d=|-3?-2-2?-3| ?2+1 =1, 解得 k=-4 3或 k=- 3 4. 答案-4 3或- 3 4 6.过点 P(4,-4)的直线 l 被圆 C:x2+y2-2x-4y-20=0 截得的弦 AB 的长度

14、为 8,求直线 l 的方程. 解圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=52, 圆心 C(1,2),半径 r=5.由圆的几何性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形,圆 心到直线 l 的距离 d= ?2- |,| 2 2 =52-42=3. 当直线 lx 轴时, l 过点 P(4,-4),直线 l 的方程为 x=4. 点 C(1,2)到直线 l的距离 d=|4-1|=3,满足题意.当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l的方程为 y+4=k(x-4),即 kx-y-4k-4=0, |?-2-4?-4| ?2+(-1)2 =3,解得 k=-3 4. 直线 l 的方程为 y+4=-3 4

15、(x-4), 即 3x+4y+4=0. 综上所述,直线 l的方程为 x=4 或 3x+4y+4=0. 7.直线 y=kx 与圆 C:x2+y2-6x-4y+10=0 相交于不同的两点 A,B,当 k 取不同实数值时,求 AB 中点的轨 迹. 解设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 8 ?1 2 + ?1 2-6x1-4y1+10=0, ?2 2 + ?2 2-6x2-4y2+10=0. -得(?1 2 ? ?2 2)+(? 1 2 ? ?2 2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0. 设 AB 的中点坐标为(x,y), 则 x1+x2=2x,y1+y2=2y. 代入上式,有 2x(x

16、1-x2)+2y(y1-y2)-6(x1-x2)-4(y1-y2)=0, 即(2x-6)(x1-x2)+(2y-4)(y1-y2)=0. 所以?-3 ?-2=- ?1-?2 ?1-?2=-k. 又因为 y=kx, 由得 x2+y2-3x-2y=0. 故所求轨迹为圆 x2+y2-3x-2y=0 位于圆 C:x2+y2-6x-4y+10=0 内的一段弧. 素养培优练 1.已知 A,B 为圆 C:(x+1)2+(y-1)2=5 上两个动点,且|AB|=2,直线 l:y=k(x-5),若线段 AB 的中点 D 关于原 点的对称点为 D,若直线 l 上任一点 P,都有|PD|1,则实数 k 的取值范围是

17、. 解析|AB|=2,且圆 C:(x+1)2+(y-1)2=5 的半径为 5,AB 的中点 D到圆心(-1,1)的距离为 ( 5)2-12=2, 则 D 的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=4. 线段 AB 的中点 D 关于原点的对称点为 D, D的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4. 要使直线 l:y=k(x-5)上任一点 P,都有|PD|1, 则|?+1-5?| ?2+1 -21,解得 k4-6 2 7 或 k4+6 2 7 .实数 k的取值范围是 -, 4-6 2 7 4+6 2 7 , + . 9 答案 -, 4-6 2 7 4+6 2 7 , + 2.已知直线 l:(2m+

18、1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR)和圆 C:x2+y2-8x-6y+5=0. (1)求证:直线 l 恒过一定点 M; (2)试求当 m 为何值时,直线 l被圆 C所截得的弦长最短; (3)在(2)的前提下,直线 l是过点 N(-1,-2)且与直线 l平行的直线,求圆心在直线 l上,且与圆 C 相外切的 动圆中半径最小的圆的标准方程. (1)证明由直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,得 m(2x+y-7)+x+y-4=0, 联立 2? + ?-7 = 0, ? + ?-4 = 0, 解得 ? = 3, ? = 1, 直线 l 恒过一定点 M(3,1). (2)解要使直线

19、 l被圆 C 所截得的弦长最短,则 lCM, 化圆 C:x2+y2-8x-6y+5=0 为(x-4)2+(y-3)2=20,可得 C(4,3),则 kCM=3-1 4-3=2, -2?+1 ?+1 =-1 2,解得 m=- 1 3. (3)解由(2)得,直线 l:y+2=-1 2(x+1),即 x+2y+5=0. 如图,过 C 与直线 x+2y+5=0 垂直的直线方程为 y-3=2(x-4),即 2x-y-5=0. 联立 ? + 2? + 5 = 0, 2?-?-5 = 0, 解得 ? = 1, ? = -3, 10 而 C 到直线 x+2y+5=0 的距离 d=|4+6+5| 5 =3 5, 所求圆的半径为 3 5-2 5 =5. 故圆心在直线 l上,且与圆 C 相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=5.