（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第一册第2章 2.4　曲线与方程讲义.doc

1、2.4曲线与方程 学 习 目 标核 心 素 养 1了解曲线上的点与方程的解之间的 一一对应关系 2理解曲线的方程和方程的曲线的概 念(重点、易混点) 3学会根据已有的情境资料找规律， 学会分析、判断曲线与方程的关系，强 化“形”与“数”的统一以及掌握相 互转化的思想方法 4掌握求轨迹方程建立坐标系的一般 方法，熟悉求曲线方程的五个步骤 5 掌握求轨迹方程的几种常用方法 (重 点、难点) 6初步学会通过曲线的方程研究曲线 的几何性质 1通过曲线与方程概念学习，培养数 学抽象素养 2借助数形结合理解曲线的方程和方 程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素 养 3通过由方程研究曲线的性质，培养 直观想象素

2、养 4借助由曲线求它的方程，提升逻辑 推理、数学运算素养 我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视， 他曾经说过数缺形 来少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想， 在前面我们学习了直线和圆的方程对数形结合思想有了初步的了解，本节内容 我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形 结合思想的应用 1曲线与方程的概念 一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又 常称为满足某种条件的点的轨迹方程 一个二元方程总可以通过移项写成 F(x，y)0 的形式，其中 F(x，y)是关于 x，y 的解析式 在平面直角坐标系中，

3、如果曲线 C 与方程 F(x，y)0 之间具有如下关系： 曲线 C 上点的坐标都是方程 F(x，y)0 的解； 以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 那么，方程 F(x，y)0 叫做曲线的方程；曲线 C 叫做方程的曲线 思考 1：如果曲线与方程仅满足“以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲 线 C 上”，会出现什么情况？举例说明 提示如果曲线与方程仅满足“以方程 F(x， y)0 的解为坐标的点都在曲 线 C 上”，有可能扩大曲线的边界如方程 y 1x2表示的曲线是半圆，而非 整圆 思考 2：如果曲线 C 的方程是 F(x，y)0，那么点 P(x0，y0)在曲线 C 上

4、的充 要条件是什么？ 提示若点 P 在曲线 C 上，则 F(x0，y0)0；若 F(x0，y0)0，则点 P 在 曲线 C 上，所以点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 F(x0，y0)0 2两条曲线的交点坐标 曲线 C1：F(x，y)0 和曲线 C2：G(x，y)0 的交点坐标为方程组 Fx，y0， Gx，y0 的实数解 3解析几何研究的主要问题 (1)由曲线求它的方程 (2)利用方程研究曲线的性质 4求曲线的方程的步骤 5利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法 (1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性 设曲线 C 的方程为：f(x，y)0，一般有如下规律： 如果以y 代替 y，方程保

5、持不变，那么曲线关于 x 轴对称； 如果以x 代替 x，方程保持不变，那么曲线关于 y 轴对称； 如果同时以x 代替 x，以y 代替 y，方程保持不变，那么曲线关于原点 对称 另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有 另一种对称性 例如， 如果曲线关于x轴和原点对称， 那么它一定关于y轴对称 事 实上，设点 P(x，y)在曲线上，因为曲线关于 x 轴对称，所以点 P1(x，y)必在曲 线上；因为曲线关于原点对称，所以 P1关于原点的对称点 P2(x，y)必在曲线 上因为 P(x，y)，P2(x，y)都在曲线上，所以曲线关于 y 轴对称 (2)根据曲线的方程画曲线 对于

6、这类问题，往往要把方程进行同解变形注意方程的附加条件和 x， y 的取值范围，有时要把它看作 yf(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出 图形 对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符 注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线上，则方程 f(x，y)0，即 为曲线 C 的方程() (2)方程 xy20 是以 A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程 () (3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方 程也不一样() (4)求轨迹方程就

7、是求轨迹() 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)曲线的方程必须满足两个条件 (2)以方程的解为坐标的点不一定在线段 AB 上， 如 M(4,6)就不在线段 AB 上 (3)对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此 方程也不一样 (4)求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形 2点 P(a1，a4)在曲线 yx25x3 上，则 a 的值为() A1 或5B1 或5 C2 或 3D2 或3 B由点 P(a1，a4)在曲线 yx25x3 上，得 a4(a1)25(a1) 3，即 a26a50 得 a1 或 a5 3方程 xy2x2y2x 所表示的曲线() A

8、关于 x 轴对称B关于 y 轴对称 C关于原点对称D关于直线 xy0 对称 C将(x，y)代入 xy2x2y2x 方程不变，故选 C 4平面上有三点 A(2，y)，B 0，y 2 ，C(x，y)若AB BC ，则动点 C 的轨 迹方程为 y28x(x0)AB 2，y 2 ，BC x，y 2 ，由AB BC 得 2xy 2 4 0，即 y2 8x(x0) 曲线与方程关系的应用 【例 1】已知方程 x2(y1)210 (1)判断点 P(1，2)，Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点 M m 2 ，m 在此方程表示的曲线上，求 m 的值 解(1)12(21)210， ( 2)2(31

9、)2610， 点 P(1，2)在方程 x2(y1)210 表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上 (2)点 M m 2 ，m 在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，xm 2 ，y m 适合上述方程， 即 m 2 2 (m1)210，解得 m2 或 m18 5 ， m 的值为 2 或18 5 1判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程 的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不 在曲线上 2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参 数的值或范围问题 跟进训练 1 若曲线 y2xy2xk

10、 通过点(a， a)(aR)， 则 k 的取值范围是 1 2，由曲线 y2xy2xk 通过点(a，a)， 所以(a)2a(a)2ak， 即 k2a22a2 a1 2 2 1 2， 所以 k1 2 由方程研究曲线的性质 【例 2】已知曲线 C 的方程是 x4y21关于曲线 C 的几何性质，给出 下列三个结论： 曲线 C 关于原点对称； 曲线 C 关于直线 yx 对称； 曲线 C 所围成的区域的面积大于 其中，所有正确结论的序号是 思路探究分析关于原点对称的两个点(x，y)，(x，y)，是否都在曲线 上，可判断；分析关于直线 yx 对称的两个点(x，y)，点(y，x)，是否都在曲 线上，可判断；求

11、出曲线 C 所围成的区域面积，可判断 将方程中的 x 换成x，y 换成y 方程不变，所以曲线 C 关于原点 对称，故正确； 将方程中的 x 换成 y，y 换成 x，方程变为 y4x21 与原方程不同，故错 误； 在曲线 C 上任取一点 M(x0，y0)，x40y201，|x0|1， x40 x20， x20y20 x40y201，即点 M 在圆 x2y21 外， 故正确 故正确的结论的序号是 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面： (1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组 成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围； (2)研究曲线与坐标轴是否相交

12、，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与 坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点； (3)研究曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴、原点)； (4)研究曲线的变化趋势，即 y 随 x 的增大或减小的变化情况； (5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性， 通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条 曲线 跟进训练 2画出方程 y x22|x|1的曲线 解y x22|x|1 |x|12|x|1|，易知 xR，y0 用x 代替 x，得|x|1|x|1|y，所以曲线关于 y 轴对称 当 x0 时，y|x1| x1x1， 1x0 x1， 分段画出该方程的图

13、像，即为 y 轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到 方程 y x22|x|1的图像，如图所示 直接法求曲线方程 【例 3】一个动点到直线 x8 的距离是它到点 A(2，0)的距离的 2 倍，求 动点的轨迹方程 思路探究利用动点到直线 x8的距离是它到点 A(2,0)的距离的2倍列等 式，化简即可求出动点的轨迹方程 解设动点 P(x，y)， 由题意，|x8|2 x22y2， 两边平方可得：x216x644x216x164y2 整理得：x 2 16 y2 121 所以动点的轨迹方程为：x 2 16 y2 121 直接法求轨迹方程的 2 种常见类型及解题策略 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(

14、x，y)，然后根据题目中的等量关 系列出 x，y 之间的关系并化简主要有以下两类常见题型 (1)题目给出等量关系，求轨迹方程可直接代入即可得出方程 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系， 得出方程 提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性 跟进训练 3如图，线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O，|AB|2a(a0)，|CD|2b(b 0)，动点 P 满足|PA|PB|PC|PD|，求动点 P 的轨迹方程 解以 O 为坐标原点，直线 AB，CD 分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系(图 略)，则 A(a，0)，B(a,0)，C(0，b)，D(0，b

15、)，设 P(x，y)是曲线上的任意一 点， 由题意知，|PA|PB|PC|PD|， xa2y2 xa2y2 x2yb2 x2yb2， 化简得 x2y2a 2b2 2 故动点 P 的轨迹方程为 x2y2a 2b2 2 代入法求曲线方程 探究问题 1当所求动点 P 的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点 Q 的运动时， 怎样求 P 点的轨迹？ 提示：设所求动点 P 的坐标为(x，y)，再设与 P 相关的已知点坐标为 Q(x0， y0)，找出 P、Q 之间的坐标关系，并表示为 x0f(x)，y0f(y)，根据点 Q 的运动 规律得出关于 x0，y0的关系式，把 x0f(x)，y0f(y)代入关系式中

16、，即得所求轨 迹方程 2求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？ 提示在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解” 或“增解” 【例 4】已知动点 M 在曲线 x2y21 上移动，M 和定点 B(3,0)连线的中 点为 P，求 P 点的轨迹方程 思路探究所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐 标间的关系求得 解设 P(x，y)，M(x0，y0)，P 为 MB 的中点 xx03 2 ， yy0 2 ， 即 x02x3， y02y， 又M 在曲线 x2y21 上，(2x3)24y21， P 点的轨迹方程为(2x3)24y21 1 (变换条件)本例中把条件“M和

17、定点B(3,0)连线的中点为P”改为“MP 2PB ”，求 P 点的轨迹方程 解设 P(x，y)，M(x0，y0)， 则MP (xx0，yy0)，PB (3x，y)， 由MP 2 PB 得 xx03x2， yy02y， 即 x03x6， y03y， 又M 在曲线 x2y21 上， (3x6)29y21， 点 P 的轨迹方程为(3x6)29y21 2 (变换条件)本例中把条件“M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P”改为“一动 点 P 和定点 B(3,0)连线的中点为 M”，试求动点 P 的轨迹方程 解设 P(x，y)，M(x0，y0)，M 为 PB 的中点 x0 x3 2 ， y0y 2，

18、又M 在曲线 x2y21 上， x3 2 2 y 2 2 1，即(x3)2y24， P 点轨迹方程为(x3)2y24 代入法求解曲线方程的步骤 (1)设动点 P(x，y)，相关动点 M(x0，y0)； (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 x0fx，y， y0gx，y； (3)代入相关动点的轨迹方程； (4)化简、整理，得所求轨迹方程 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理” 1曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件： 曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上 2点(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线 C 的方程 坐标系建立的不同，同一曲线的方

19、程也不相同 3一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成 (x1，y1)或(x，y)等 4方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程 f(x， y)0 化成 x，y 的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上 的点，找回属于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨 迹方程则不必说明 5“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程 即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状 1下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是() ABCD D对于 A，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除 A；对

20、于 B，点(1， 1)满足方程，但不在曲线上，排除 B；对于 C，曲线上第三象限的点，由于 x 0，y0，不满足方程，排除 C 2若 M(1,2)在曲线 x2ay22 上，则 a 的值为() A1 4 B4 C1 3 D3 A因为 M(1,2)在曲线 x2ay22 上，代入曲线方程可得 a1 4 3方程(x24)2(y24)20 表示的图形是 4 个点由方程得 x240， y240， 表示 4 个点 4曲线 y 1x2和 yx 2公共点的个数为 1由 y 1x2， yx 2， 得x 2 1x2，两边平方并整理得( 2x1)2 0，所以 x 2 2 ，y 2 2 ，故公共点只有一个 2 2 ， 2 2 5已知点 A(1,0)，直线 l：y2x4，点 R 是直线 l 上的一点，RA AP，求 点 P 的轨迹方程 解由RA AP知，R、A、P 三点共线，且 A 为 RP 的中点，设 P(x，y)， R(x1，y1)，由RA AP，得(1x 1，y1)(x1，y)， 得 1x1x1， y1y， 即 x12x， y1y， 代入直线 y2x4 中， 得 y2x 即点 P 的轨迹方程为 y2x