（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第一册第2章 2.2.4　点到直线的距离讲义.doc

1、2.2.4点到直线的距离点到直线的距离 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握点到直线的距离公式并能灵 活运用此公式解决距离问题 (重点) 2会求两条平行直线之间的距 离(重点) 3 点到直线的距离公式的推导 (难 点) 1通过点到直线的距离公式的推导，培养 逻辑推理的数学核心素养 2借助点到直线的距离公式与两平行线间 的距离公式，提升数学运算的核心素养 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓 库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线 l，仓库看作点 P，怎 样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 1点到直线的距离 (1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂

2、线所得垂线段的长度 (2)点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax 0By0C| A2B2 思考：点 P(x0，y0)到直线 l1：xx1的距离是多少？点 P(x0，y0)到直线 l2：y y1的距离为多少？ 提示|x0 x1|；|y0y1| 2两条平行直线之间的距离 (1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 (2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离 (3)两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 之间的距离 d |C1C2| A2B2 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)当点在直线上时，点到直线的距

3、离公式仍适用() (2)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 yb(b0)的距离 dy0b () (3)两直线 xym 与 xy2n 的距离为|m2n| 2 () (4)两直线 x2ym 与 2x4y3n 的距离为|m3n| 5 () 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)正确 (2)应是 d|y0b| (3)正确 (4)错误将 2x4y3n 化为 x2y3 2n，因此距离为| m3 2n| 5 2(教材 P95练习 A改编)原点到直线 x2y50 的距离是() A 2B 3C2D 5 D由点到直线的距离公式得：d|005| 1222 5 3分别过点 M(1,5)，N(2,3)的两直线

4、均垂直于 x 轴，则这两条直线间的距 离是 3d|2(1)|3 4两条平行线 l1：3x4y70 和 l2：3x4y20 间的距离为 1d|72| 3242 1 5求与直线 l：3x4y110 平行且与直线 l 距离为 2 的直线方程 解与 l 平行的直线方程为 3x4yc0 根据两平行直线间的距离公式得 |c11| 32422，解得 c1 或 c21 所求方程为：3x4y10 或 3x4y210 点到直线的距离 【例 1】 求过点 M(2,1)且与 A(1,2)， B(3,0)两点距离相等的直线的方程 解当直线的斜率不存在时，直线为 x2，它到 A、B 的距离不相等， 故可设直线方程为 y1

5、k(x2)，即 kxy2k10 由|k22k1| k21 |3k2k1| k21 ， 解得 k0 或 k1 2 所求直线方程为 y1 或 x2y0 点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到 直线的距离公式求解即可 (2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 xa 或 yb，求点到它们的距离时， 既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d|x0a|或 d|y0b| (3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程 求解参数即可 跟进训练 1求在两坐标轴上截距相等，且到点 A(3,1)的距离为 2的直线的方程 解当直线过原点

6、时，设直线的方程为 ykx，即 kxy0 由题意知|3k1| k21 2，解得 k1 或 k 1 7 所求直线的方程为 xy0 或 x7y0 当直线不经过原点时，设所求直线的方程为x a y a1，即 xya0 由题意知|31a| 2 2，解得 a2 或 a6 所求直线的方程为 xy20 或 xy60 综上所述，所求直线的方程为 xy0 或 x7y0 或 xy20 或 xy 60 两条平行线间的距离 【例 2】已知直线 l1：2x7y80，l2：6x21y210，l1与 l2是否平 行？若平行，求 l1与 l2间的距离 解l1的斜率为 k12 7，l 2的斜率 k2 6 21 2 7 因为 k

7、1k2，且 l1与 l2不重合，所以 l1l2， l2的方程可化为 2x7y70， 所以 l1与 l2间的距离为 d|87| 2272 1 53 53 53 求两平行线间距离一般有两种方法 (1)转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条 直线的距离 由于这种求法与点的选择无关， 因此， 选点时， 常选取一个特殊点， 如直线与坐标轴的交点等，以便于运算 (2)公式法：直接用公式 d |C1C2| A2B2，但要注意两直线方程中 x，y 的系数必 须分别相同 跟进训练 2求与直线 l：5x12y60 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程 解法一：设所求直线的方程为 5x1

8、2ym0， 两直线的距离为 2， |6m| 521222，m32 或 m20 所求直线为 5x12y320 或 5x12y200 法二：设所求直线的方程为 5x12yc0 在直线 5x12y60 上取一点 P0 0，1 2 ， 点 P0到直线 5x12yc0 的距离为 d| 121 2c| 52122 |c6| 13 ， 由题意得|c6| 13 2，则 c32 或 c20 所求直线的方程为 5x12y320 或 5x12y200 距离公式的综合应用 探究问题 1两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(3，1)，并且各自绕着 A， B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d你能求出 d 的

9、取值范围吗？ 提示如图， 显然有 0d|AB| 而|AB| 632212 3 10 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10 2上述问题中，当 d 取最大值时，请求出两条直线的方程 提示由上图可知，当 d 取最大值时，两直线与 AB 垂直 而 kAB21 63 1 3， 所求直线的斜率为3 故所求的直线方程分别为 y23(x6)和 y13(x3)， 即 3xy200 和 3xy100 【例 3】在直线 l：3xy10 上求一点 P，使得 P 到 A(4,1)和 B(0,4)的 距离之差最大 思路探究点到直线的距离的最值问题可转化为对称问题、共线问题 解如图所示，设点 B 关于直线 l 的对称点

10、 B的坐标为(a，b)，则 kBBkl 1， 即 3b4 a 1 所以 a3b120 又由于线段 BB的中点坐标为 a 2， b4 2，且在直线 l 上，所以 3a 2 b4 2 10即 3ab60， 解得 a3，b3，所以 B(3,3)于是 AB的方程为y1 31 x4 34，即 2xy90 所以由 3xy10， 2xy90， 解得 x2， y5. 即直线 l 与 AB的交点坐标为(2,5) 所以点 P(2,5)为所求 在本例中，求到 A(4,1)和 C(3,4)的距离之和最小的 P 点的坐标？ 解如图所示，设点 C 关于直线 l 的对称点为 C，求出点 C的坐标为 3 5， 24 5 所以

11、 AC所在直线的方程为 19x17y930， AC和 l 的交点坐标为 11 7 ，26 7 故 P 点坐标为 11 7 ，26 7 为所求 求最值问题的处理思路 (1)利用对称转化为两点之间的距离问题 (2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离 (3)利用距离公式转化为一元二次函数的最值问题 1点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线 的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式当直线与坐标轴垂直时可直 接求之 2利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合， 会使问题更加清晰 3求两平行直线间的距离，即可利用公式 d|C 1C2| A2B2求解

12、，也可在已知直 线上取一点，转化为点到直线的距离 4本节课的易错点是求两条平行线间距离时易用错公式 1点(5，3)到直线 x20 的距离等于() A7B5C3D2 A直线 x20，即 x2 为平行于 y 轴的直线，所以点(5，3)到 x 2 的距离 d5(2)7 2两条平行线 l1：3x4y20，l2：9x12y100 间的距离等于() A7 5 B 7 15 C 4 15 D2 3 Cl1的方程可化为 9x12y60， 由平行线间的距离公式得 d|610| 92122 4 15 3两平行直线 3x4y50 与 6xay300 间的距离为 d，则 ad 10由两直线平行知，a8，d |155|

13、 32422，ad10 4已知两点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 mxy30 的距离相等，则 m 的值 为 1 2或6 由题意知直线 mxy30 与 AB 平行或过 AB 的中点，则有m 42 13或 m 31 2 24 2 30，m1 2或 m6 5已知直线 l 经过点 P(2,5)且斜率为3 4 (1)求直线 l 的方程； (2)若直线 m 与 l 平行，且点 P 到直线 m 的距离为 3，求直线 m 的方程 解(1)由点斜式方程得，y53 4(x2)， 3x4y140 (2)设 m 的方程为 3x4yc0，则由平行直线间的距离公式得|c14| 5 3， c1 或29 直线 m 的方程为 3x4y10 或 3x4y290