（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第一册第2章 2.2.1　直线的倾斜角与斜率讲义.doc

1、2.2直线及其方程 2.2.1直线的倾斜角与斜率 学 习 目 标核 心 素 养 1理解直线的倾斜角和斜率的概念(重 点) 2理解直线斜率的几何意义；掌握倾斜 角与斜率的对应关系(重点) 3掌握过两点的直线的斜率公式(重点) 4直线倾斜角与斜率的对应关系在解题 中的应用(难点) 5掌握直线的方向向量和法向量(重点) 1 通过直线的倾斜角与 斜率的概念学习，培养 数学抽象的核心素养 2 借助倾斜角与斜率的 关系，提升数学运算的 核心素养 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗？如图所示，过一点 P 可以作无数多条直线 a，b，c，我们可 以看出这

2、些直线都过点 P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程 度”的不同呢？ 1直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与 x 轴相交，将 x 轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为， 则称为这条直线的倾斜角 (2)当直线与 x 轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为 0 (3)倾斜角的范围为0，180) 2直线的倾斜角与斜率 一般地，如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上 l 两个不同的点，直线 l 的倾斜 角为，则： (1)当 y1y2时(此时必有 x1x2)，0 (2)当 x1x2时(此时必有 y1y2)

3、，90 (3)当 x1x2且 y1y2时，tan y2y1 x2x1 思考 1：当 x1x2且 y1y2时，(3)式中的式子成立吗？ 提示成立 (4)一般地，如果直线 l 的倾斜角为，当90时，称 ktan 为直线 l 的斜 率，当90时，称直线 l 的斜率不存在 (5)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线 l 上两个不同的点，当 x1x2时，直线 l 的 斜率为 ky 2y1 x2x1 思考 2：运用(5)中公式计算直线 AB 的斜率时，需要考虑 A、B 的顺序吗？ 提示kABy2y1 x2x1k BAy 1y2 x1x2，所以直线 AB 的斜率与 A、B 两点的顺序 无关 思考 3

4、：直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗？ 提示不是，当倾斜角为 90时，直线的斜率不存在 3直线的方向向量 (1)一般地， 如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合， 则称向量 a 为直线 l 的一个方向向量，记作 al (2)如果 a 为直线 l 的一个方向向量， 那么对于任意的实数0， 向量a 都是 l 的一个方向向量，而且直线 l 的任意两个方向向量一定共线 (3)如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线 l 上两个不同的点，则AB (x 2x1，y2 y1)是直线 l 的一个方向向量 思考 4：设 l 是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为 45，你能写出 该直线的

5、方向向量吗？ 提示(1,1) (4)一般地，如果已知 a(u，v)是直线 l 的一个方向向量，则： 当 u0 时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为 90 当 u0 时，直线 l 的斜率存在，且(1，k)与 a(u，v)都是直线 l 的方向向 量，由直线的任意两个方向向量共线可知 1vku，从而 kv u，tan v u 4直线的法向量 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 l 垂直，则称向 量为 l 的一个法向量，记作l 思考 5：如果 a(1,2)是直线 l 的一个方向向量，你能写出 l 的一个法向量 吗？ 提示(2,1) 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)倾斜角是

6、描述直线的倾斜程度的唯一方法() (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应() (3)一个倾斜角不能确定一条直线() (4)斜率公式与两点的顺序无关() (5)直线的方向向量与法向量不唯一() 答案(1)(2)(3)(4)(5) 提示(1)错误除了倾斜角，还可以用斜率描述直线的倾斜程度 (2)错误倾斜角不是 90的直线有且只有一个斜率和它对应 (3)正确确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点 P 和 一个倾斜角 (4)正确斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次 序可以同时调换 (5)正确若 a 为直线的方向向量，则a(0)也是直线的方向向量 2如图所示，直线

7、l 的倾斜角为() A30B60 C120D以上都不对 C根据倾斜角的定义知，直线 l 的倾斜角为 3090120 3直线 l 过点 M(1,2)，N(2,5)，则 l 的斜率为() A3B3C1 3 D1 3 A根据题意，l 的斜率为52 213 4 直线 l 经过点 A(2,1)和 B(5， 2)， 则直线 l 的一个方向向量为 (7，3)AB (52，21)(7，3) 5已知三点 A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，实数 a 的值 为 2 或2 9 A、B、C 三点共线，kABkBC，即 5 3a 9a7 5 ，a2 或 a 2 9 直线的倾斜角 【例 1】设直线

8、l 过坐标原点，它的倾斜角为，如果将 l 绕坐标原点按逆 时针方向旋转 45，得到直线 l1，那么 l1的倾斜角为() A45 B135 C135 D当 0135时，倾斜角为45；当 135180时，倾斜角为 135 D根据题意，画出图形，如图所示： 因为 0180，显然 A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意通过 画图(如图所示)可知： 当 0135，l1的倾斜角为45； 当 135180时，l1的倾斜角为 45180135故选 D 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角 (2)两点注意：当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为 0，当直线

9、与 x 轴 垂直时，倾斜角为 90注意直线倾斜角的取值范围是 0180 跟进训练 1已知直线 l1的倾斜角为115，直线 l1与 l2的交点为 A，直线 l1和 l2向 上的方向之间所成的角为 120，如图所示，求直线 l2的倾斜角 解l1与 l2向上的方向之间所成的角为 120，l2与 x 轴交于点 B，倾 斜角ABx12015135 直线的斜率 【例 2】如图所示，直线 l1，l2，l3都经过点 P(3,2)，又 l1，l2，l3分别经过 点 Q1(2，1)，Q2(4，2)，Q3(3,2) (1)试计算直线 l1，l2，l3的斜率； (2)若还存点 Q4(a,3)，试求直线 PQ4的斜率

10、思路探究根据题意，分清直线过哪两个点，然后用斜率公式求解，要注 意斜率不存在的情况 解(1)由已知得，直线 l1，l2，l3的斜率都存在 设它们的斜率分别为 k1，k2，k3 则由斜率公式得： k112 23 3 5，k 222 43 4， k3 22 330 (2)当 a3 时，直线 PQ4与 x 轴垂直，此时其斜率不存在 当 a3 时，其斜率 k32 a3 1 a3 1求斜率时要注意斜率公式的适用范围，若给出直线上两个点的坐标，首 先要观察横坐标是否相同，若相同，则斜率不存在；若不相同，则可使用斜率公 式若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据 便是“两个横坐标是

11、否相等” 2由例题中图可以看出：(1)当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上 方倾斜；(2)当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；(3)当直线的 斜率为 0 时(l3)，直线与 x 轴平行或重合 跟进训练 2已知坐标平面内三点 A(1,1)，B(1,1)，C(2， 31) (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围 解(1)由斜率公式得 kAB 11 110，k BC 311 21 3 kAC 311 21 3 3 倾斜角的取值范围是 0180 又tan 00， AB 的倾斜角为 0

12、 tan 60 3， BC 的倾斜角为 60 tan 30 3 3 ， AC 的倾斜角为 30 (2)如图，当斜率 k 变化时，直线 CD 绕 C 点旋转，当直线 CD 由 CA 逆时针 方向旋转到 CB 时，直线 CD 与 AB 恒有交点，即 D 在线段 AB 上，此时 k 由 kCA 增大到 kCB，所以 k 的取值范围为 3 3 ， 3 斜率公式的应用 探究问题 1斜率公式 ky2y1 x2x1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与 y2，x1与 x2的顺序呢？ 提示斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但 y1与 y2和 x1与 x2可以 同时互换顺序，即斜率公式也可写为 ky1y2

13、 x1x2 2你能证明 A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)三点在同一条直线上吗？ 提示能因为 A(3，5)，B(1,3)，C(5,11)， 所以 kAB35 132，k BC113 51 2， 所以 kABkBC，且直线 AB，BC 有公共点 B， 所以 A，B，C 这三点在同一条直线上 【例 3】已知直线 l 过点 M(m1，m1)，N(2m，1) (1)当 m 为何值时，直线 l 的斜率是 1? (2)当 m 为何值时，直线 l 的倾斜角为 90？ 思路探究求直线的斜率直线的斜率公式 解(1)kMN m11 m12m1，解得 m 3 2 (2)l 的倾斜角为 90，即 l 平行于

14、y 轴，所以 m12m，得 m1 1本例条件不变，试求直线 l 的倾斜角为锐角时实数 m 的取值范围 解由题意知 m11 m12m0， m11， 解得 1m2 2 若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”， 其他条件不变， 结果如何？ 解(1)由题意知m12m m13m1，解得 m2 (2)由题意知 m13m，得 m1 2 直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在 (2)若两点的横坐标不相等， 则可以用斜率公式 ky2y1 x2x1(其中 x 1x2)进行计 算 求直线的方向向量或法向量 【例 4】已知直线 l 通过点 A(1,2)，B(4,

15、5)，求直线 l 的一个方向向量和法 向量，并确定直线 l 的斜率与倾斜角 解AB (41,52)(3,3)是直线 l 的一个方向向量由法向量与方向向 量垂直，法向量可以为(1,1)因此直线的斜率 k1，直线的倾斜角满足 tan 1，从而可知45 求方向向量和法向量的方法 (1)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线 l 的方向向量为 AB (x 2x1，y2y1)，直线的法向量和方向向量垂直 (2)直线的方向向量和法向量不唯一 跟进训练 3 已知直线 l 经过点 M(3,3)和 N(2,3 3)，求直线 l 的一个方向向量和法向 量，并求直线 l 的斜率和倾斜角

16、 解MN (23,3 33)(1， 3)，直线 l 的一个方向向量为(1， 3)，由于法向量与方向向量垂直 法向量 v( 3， 1)， 斜率 k3 33 23 3， 由 tan 3知120 1斜率公式 ky2y1 x2x1 或 ky1y2 x1x2(x1x2) 2直线的倾斜角定义及范围：0180 3直线斜率的几何意义：ktan (90) 4斜率 k 与倾斜角之间的关系 0ktan 00， 090ktan 0， 90tan 不存在k 不存在， 90180ktan 0. 1若经过 P(2，m)和 Q(m,4)的直线的斜率为 1，则 m 等于() A1B4C1 或 3D1 或 4 A由题意知 kPQ

17、4m m21，解得 m1 2斜率不存在的直线一定是() A过原点的直线 B垂直于 x 轴的直线 C垂直于 y 轴的直线 D垂直于坐标轴的直线 B只有直线垂直于 x 轴时，其倾斜角为 90，斜率不存在 3若过两点 M(3，y)，N(0， 3)的直线的倾斜角为 150，则 y 的值为() A 3B0 C 3D3 B由斜率公式知 3y 03 tan 150， 3y 03 3 3 ， y0 4已知直线 l 的倾斜角为，且 0135，则直线 l 的斜率的取值范围 是 (，1)0，)设直线的倾斜角为，斜率为 k，当 090 时，ktan 0，当90时无斜率，当 90135时，ktan 1，故直 线 l 的斜率 k 的取值范围是(，1)0，) 5已知 A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(1，b)四点在同一条直线上，求直线的 斜率 k 及 a，b 的值 解由题意可知 kAB51 312，k AC71 a1 6 a1，k AD b1 11 b1 2 ， 所以 k2 6 a1 b1 2 ，解得 a4，b3， 所以直线的斜率 k2，a4，b3