（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第一册第1章 1.2.2　空间中的平面与空间向量讲义.doc

1、1.2.2空间中的平面与空间向量 学 习 目 标核 心 素 养 1理解平面的法向量的概念，会求平面的 法向量(重点) 2 会用平面的法向量证明平行与垂直 (重 点) 3理解并会应用三垂线定理及其逆定理证 明有关垂直问题(难点) 1通过本节知识的学习，培养数学 抽象素养 2借助向量法证明有关平行与垂直 问题，提升逻辑推理、数学运算素 养 如图，在直棱柱 ABCA1B1C1中， (1)与哪些棱平行的向量与平面 ABC 平行，这些向量是否两两互相平行？ (2)与哪些棱平行的向量与平面 ABC 垂直，这些向量是否两两相互平行？ 空间中的直线根据它的方向向量和一个点，可以描述直线的位置，对于空间 中的平

2、面能否利用向量来描述其位置？ 1平面的法向量 (1)如果是空间中的一个平面，n 是空间中的一个非零向量，且表示 n 的有 向线段所在的直线与平面垂直，则称 n 为平面的一个法向量，此时也称 n 与 平面垂直，记作 n 思考 1：平面的法向量有多少个？它们之间什么关系？ 提示无数个平行 思考 2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？ 提示垂直 (2)平面的法向量的性质 如果直线 l 垂直于平面，则直线 l 的任意一个方向向量都是平面的一个 法向量 如果 n 是平面的一个法向量，则对任意的实数0，空间向量n 也是平 面的一个法向量，且平面的任意两个法向量都平行 如果 n 为平面的一

3、个法向量，A 为平面上一个已知的点，则对于平面 上任意一点 B，向量AB 一定与向量 n 垂直，即 nAB0，从而可知平面的位置 可由 n 和 A 唯一确定 (3)如果v是直线l的一个方向向量， n是平面的一个法向量， 则nvl， nvl，或 l (4)如果 n1是平面1的一个法向量，n2是平面2的一个法向量，则 n1n2 12，n1n212或1与2重合 2三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射 影垂直，则它也和这条斜线垂直 (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂 直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直 提醒：

4、定理中的已知直线必须是已知平面内的直线 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)已知直线 l 垂直于平面，向量 a 与直线 l 平行，则 a 是平面的一个法向 量() (2)若直线 l 是平面外的一条直线，直线 m 垂直于 l 在平面内的投影，则 l 与 m 垂直() (3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量 () 答案(1)(2)(3) 提示(1)不一定当 a0 时，也满足 al，尽管 l 垂直于平面，a 也不是平面的法向量 (2)不一定若直线 m 在平面外，例如 m，尽管 m 垂直于直线 l 在 平面内的投影，也不能得出 ml (3) 2若直线 l 的方向向量为 a(

5、1,0,2)，平面的法向量为 u(2,0，4)， 则() AlBl ClDl 与斜交 Ba(1,0,2)，u2(1,0,2)2a，u 与 a 平行，l 3平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面 与平面的位置关系为() A平行B相交但不垂直 C垂直D不能确定 C(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面垂直 4设平面的法向量的坐标为(1,2，2)，平面的法向量的坐标为(2， 4，k)，若，则 k 等于_ 4因为，两平面的法向量平行， 1 2 2 4 2 k ，k4 求平面的法向量 【例 1】 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为

6、矩形， PA平面 ABCD， E 为 PD 的中点，ABAP1，AD 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平 面 ACE 的一个法向量 解在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点，ABAP1，AD 3， 以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，C(1，3，0)， D(0，3，0)，P(0,0,1)，E 0， 3 2 ，1 2 ， AE 0， 3 2 ，1 2 ，AC (1，3，0)， 设平面 ACE 的法向量 n(x，y，z)， 则 nAE 3 2

7、 y1 2z0， nAC x 3y0， 取 y 3，得 n(3， 3，3) 平面 ACE 的一个法向量为 n(3， 3，3) 利用待定系数法求法向量的解题步骤 跟进训练 1如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB60， AB2AD2，PD底面 ABCD，且 PDAD，求平面 PAB 的一个法向量 解因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得 BD 3AD， 从而 BD2AD2AB2，故 BDAD，以 D 点为坐标原点，射线 DA，DB， DP 为 x，y，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz， 则 A(1,0,0)，B(0，3，0)，P(0,0,1) AB (1

8、，3，0)，PB(0，3，1)， 设平面 PAB 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAB ， nPB ， 即 nAB 0， nPB 0， 即 x 3y0， 3yz0， 因此可取 n( 3，1， 3) 平面 PAB 的一个法向量为( 3，1， 3) 利用法向量证明空间中的位置关系 探究问题 1平面的法向量有何特点？ 提示设向量 n 是平面的一个法向量则 (1)n 是一个非零向量 (2)向量 n 与平面垂直 (3)平面的法向量有无数多个，它们都与向量 n 平行，方向相同或相反 (4)给定空间中任意一点 A 和非零向量 n，可确定唯一一个过点 A 且垂直于 向量 n 的平面 2用向量法证明空间线

9、面垂直关系的关键是什么？ 提示设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 平面，的法向量分别为 u(u1，u2，u3)，v(v1，v2，v3)，则 位置关系向量关系向量运算关系坐标关系 lmabab0a1b1a2b2a3b30 lauau，Ra1u1，a2u2，a3u3 uvuv0u1v1u2v2u3v30 【例 2】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M 分别为棱 BB1， CD，AA1的中点证明： (1)C1M平面 ADE； (2)平面 ADE平面 A1D1F 思路探究建立空间坐标系，求出平面 ADE 与平面 A1D1F 的法向量

10、求解 证明(1)以 D 为原点，向量DA ， DC ，DD1 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴 的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为 1 则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，E 1，1，1 2 ，C1(0,1,1)，M 1，0，1 2 ，DA (1,0,0)，DE 1，1，1 2 ，C1M 1，1，1 2 设平面 ADE 的法向量为 m(a，b，c)， 则 mDA 0， mDE 0 a0， ab1 2c0. 令 c2，得 m(0，1,2)， mC1M (0，1,2) 1，1，1 2 0110， C1M m 又 C1M平面 ADE，C1M平面 ADE (2)由 D1(0,0,1)，A

11、1(1,0,1)，F 0，1 2，0， 得D1A1 (1,0,0)，D1F 0，1 2，1， 设平面 A1D1F 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nD1A1 0， nD1F 0 x0， 1 2yz0. 令 y2，则 n(0,2,1) mn(0，1,2)(0,2,1)0220， mn平面 ADE平面 A1D1F 1(变结论)本例条件不变，试求直线 D1E 的一个方向向量和平面 EFM 的一 个法向量 解如本例建系定坐标，D1(0,0,1)， E 1，1，1 2 ，M 1，0，1 2 ， 所以D1E 1，1，1 2 ，即直线 D1E 的一个方向向量 设平面 EFM 的法向量为 n(x，y，z)

12、， 因为 F 0，1 2，0，所以EF 1，1 2， 1 2 ，EM (0，1,0)， 由 nEF 0， nEM 0， 即 x1 2y 1 2z0， y0. 所以 z2x， y0， 令 x1，则 z2 所以平面 EFM 的一个法向量为(1,0，2) 2(变条件，变结论)在本例中设 D1B1的中点为 N，其他条件不变试证： EN平面 B1AC 证明如本例解析，E 1，1，1 2 ， N 1 2， 1 2，1，A(1，0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0) EN 1 2， 1 2， 1 2 ，AB1 (0,1,1)， AC (1,1,0)， EN AB1 0，EN AC 0， EN AB1

13、 ，EN AC ，即 ENAB1，ENAC 又 AB1ACA，EN平面 B1AC 利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法 的核心是利用向量的数量积或数乘运算 提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示 三垂线定理及逆定理的应用 【例 3】如图，已知在正方体 ABCDA1B1C1D1中，连接 BD1，AC，CB1， B1A，求证：BD1平面 AB1C 证明连接 BD，A1B，四边形 ABCD 是正方形， ACBD 又 DD1平面 ABCD， BD 是斜线 BD1在平面 ABCD 上的射影， BD1AC 而 A1B 是 BD1在平面 ABB1A1内的射影， BD

14、1AB1，又 AB1ACA，BD1平面 AB1C 利用三垂线定理证明垂直的步骤 (1)找平面(基准面)及平面的垂线 (2)找射影线(平面上的直线与斜线) (3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面 面垂直 跟进训练 2在四面体 PABC 中，PABC，PBAC，求证：PCAB 证明过 P 作 PH平面 ABC，连 AH 延长交 BC 于 E， 连 BH 并延长交 AC 于 F，PH平面 ABC，PABC， 而 PA 在面 ABC 内的射影为 AH，由三垂线定理的逆定理知 BCAH， 同理可证 BFAC则 H 为ABC 的垂心，连 CH 并延长交 AB 于 G， 于是

15、CGAB，而 CH 是 PC 在面 ABC 的射影，故 PCAB 1三垂线定理以及逆定理是证明线线垂直、线面垂直的有力工具，应用时 要分清定理和逆定理的关系 线射垂直线斜垂直 2利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考虑 图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果 1若直线 l 的方向向量 a(1,2，1)，平面的一个法向量 m(2，4， k)，若 l，则实数 k() A2B10C2D10 A直线 l 的方向向量 a(1,2，1)， 平面的一个法向量 m(2，4，k)，l， am， 1 2 2 4 1 k ，解得 k2 2已知平面的法向量为 a(1,2，2)，平面

16、的法向量为 b(2，4， k)，若，则 k() A4B4C5D5 D，ab，ab1(2)2(4)(2)k0，k5 3 若两个向量AB (1,2,3)， AC (3,2,1)， 则平面 ABC 的一个法向量为() A(1,2，1)B(1,2,1) C(1,2，1)D(1,2,1) A两个向量AB (1,2,3)，AC (3,2,1)， 设平面 ABC 的一个法向量 n(x，y，z)， 则 nAB x2y3z0， nAC 3x2yz0. 取 x1，得平面 ABC 的一个法向量为(1,2，1) 4已知直线 l 与平面垂直，直线 l 的一个方向向量 u(1，3，z)，向量 v(3，2,1)与平面平行，则 z_ 9由题意知 uv，uv36z0z9 5如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC 1，AA1 6，M 是 CC1中点，求证：AB1A1M 证明连接 AC1， AC MC1 3 6 2 2，CC1 C1A1 6 3 2， ACC1A1C1M， RtACC1RtMC1A1， AC1CMA1C1， A1MC1AC1CA1MC1MA1C190，A1MAC1 由三垂线定理知，AB1A1M