（2021新人教B版）高中数学选择性必修第二册3.1.1　基本计数原理ppt课件.pptx

1、3 3.1 1.1 1基本计数原理基本计数原理 课标阐释思维脉络 1.了解分类加法计数原理、分 步乘法计数原理及其意义. 2.能准确应用两个计数原理解 决一些简单的实际问题. 激趣诱思知识点拨 青岛是一座美丽的海滨城市,空气清新,海水清澈,海岸线绵长.在海 滨城市边吃海鲜边吹海风很惬意,城市生活也很悠闲.小明决定“五 一”期间从枣庄坐火车到济南,再于次日乘汽车到青岛旅游,一天中 火车有3班,汽车有2班,他将如何安排行程? 激趣诱思知识点拨 一、分类加法计数原理 原理内容 完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法, 第二类办法中有m2种不同的方法第n类办法中有mn种不同的

2、方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法. 激趣诱思知识点拨 名师点析 利用分类加法计数原理解题的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪 些办法,怎么才算是完成这件事. (2)完成这件事的n类办法,无论用哪类办法中的哪种方法都可以单 独完成这件事,而不需要用到其他的方法. (3)确立恰当的分类标准,准确地对“完成这件事的办法”进行分类, 要求每一种方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法不 同,也就是分类必须既不重复也不遗漏.从集合的角度看,若完成一 件事分A,B两类办法,则AB=,AB=I(I表示全集). 激趣诱思知识点拨 微思考 分

3、类加法计数原理有什么特点? 提示:(1)各种方法之间相互独立,都能独立完成这件事,只需将各种 方法相加. (2)首先要根据具体的问题确定一个分类标准,在标准下进行分类, 然后对每类办法计数. 微练习 某学生去书店,发现两本好书,决定至少买其中一本,其购买方法共 有() A.1种B.2种C.3种 D.4种 解析:有两类不同的办法:买一本或两本,各类购买方法依次有2种或 1种,故购买方法共有2+1=3种.故选C. 答案:C 激趣诱思知识点拨 二、分步乘法计数原理 原理内容 完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法, 做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法,那么

4、 完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法. 激趣诱思知识点拨 名师点析 利用分步乘法计数原理解题的注意事项 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事需要几步. (2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算 完成这件事,无论缺少哪一步,这件事都不可能完成. (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐 一去做,才能完成这件事,各步之间既不能重复也不能遗漏. (4)对于同一个题目,标准不同,分步也不同.分步的基本要求:一是完 成一件事,必须且只需连续做完几步,既不漏步也不重步;二是不同 步骤的方法不能互相替代. 激趣诱思知识点拨 微思考 分步

5、乘法计数原理有什么特点? 提示:分步乘法计数原理的特点是每一步中都要使用一种方法才能 完成要做的事情,概括地说是分步到达、相互联系. 微练习 一个袋子里装有7张不同的中国移动手机卡,另一个袋子里装有8张 不同的中国联通手机卡,某人想得到一张中国移动卡和一张中国联 通卡,供自己今后使用,则不同的取法种数为() A.78B.15C.87D.56 解析:由分步乘法计数原理知,有78=56种不同的取法. 答案:D 激趣诱思知识点拨 三、两个原理的联系与区别 1.联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、 最重要的方法. 激趣诱思知识点拨 2.区别 分类加法计数原理分步乘法计数原理

6、 区别 一 完成一件事共有n类办法,关 键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键 词是“分步” 区别 二 每类办法中的每种方法都能 独立地完成这件事,它是独立 的、一次的且每种方法得到 的都是最后结果,只需一种方 法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的 只是中间结果,任何一步都不能 独立完成这件事,缺少任何一步 也不能完成这件事,只有各个步 骤都完成了,才能完成这件事 区别 三 各类办法之间是互斥的、并 列的、独立的 各步之间是关联的、独立 的,“关联”确保不遗漏,“独立”确 保不重复 激趣诱思知识点拨 名师点析 (1)两个原理的区别在于“分类”与“分步”. 若完成一件事需“分类思

7、考”,且这n类办法是相互独立的,无论用哪 一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,则用分类加法计数 原理. 若完成这件事需分为n个步骤,且这n个步骤相互依存,具有连续性, 当且仅当这n个步骤依次全都完成后,这件事才完成,则用分步乘法 计数原理. (2)处理具体问题时要注意两点:一是合理分类,准确分步.分类时,要 不重不漏;分步时,要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一 些较复杂的题目,往往既要分类又要分步. 二是特殊优先,一般在后.解含有特殊元素、特殊位置的计数问题 时,应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其 他位置. 激趣诱思知识点拨 微练习 某外语组有9人,每人至

8、少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3 人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多 少种不同的选法? 解:由题意知,有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语. 方法一:分两类. 第一类:从只会英语的6人中选1人有6种选法,从会日语的3人中选1 人有3种选法.此时共有63=18(种)选法. 第二类:从“全能”的人中选1人有1种选法,从只会日语的2人中选1人 有2种选法,此时有12=2(种)选法.所以由分类加法计数原理知,共 有18+2=20(种)选法. 激趣诱思知识点拨 方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选和不入选两类 情形,入选后又分两种情况:(1)教英

9、语;(2)教日语. 第一类:甲入选. (1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有 12=2(种)选法; (2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有 16=6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2+6=8(种). 第二类:甲不入选. 可分两步:第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从 只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有 62=12(种)不同的选法.综上,共有8+12=20(种)不同的选法. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 利用分类加法计数原理解题利用分类加法计数原理解题 例1在所有的两位数中,个位数字比十位数字

10、大的两位数有多少个? 分析根据情况安排个位、十位上的数字.先确定分类标准,再求出 每一类的个数,最后得结论. 解:方法一:分析个位数,可分以下几类: 个位是9,则十位可以是1,2,3,8中的一个,故有8个; 个位是8,则十位可以是1,2,3,7中的一个,故有7个; 同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个;个位是2的只有1个. 由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 方法二:按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在 每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3

11、个,2 个,1个,由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 方法三:将个位比十位数字大的两位数一一写出: 12,13,14,15,16,17,18,19, 23,24,25,26,27,28,29, 34,35,36,37,38,39, 45,46,47,48,49, 56,57,58,59, 67,68,69, 78,79, 89. 共有36个符合题意的两位数. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 利用分类加法计数原理解题的一般思路 (1)分类:将完成这件事的办法分成若干类; (2)计数:求出每一类

12、中的方法数; (3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究 本例中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的 两位数的个数. 解:当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个. 当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个. 当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个. 同理可知,当个位数字是2时,共7个. 当个位数字是0时,共9个. 由分类加法计数原理知,符合条件的数共有1+3+5+7+9=25(个). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 利用分步乘法计数原理解题利用分步乘法计数原理解题 例2已知a1,2,3,b4,5,6,7,r

13、8,9,则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可 表示多少个不同的圆? 分析确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、 圆的半径,可以用分步乘法计数原理解决. 解:完成表示不同的圆这件事,可以分为三步: 第一步:确定a有3种不同的选取方法; 第二步:确定b有4种不同的选取方法; 第三步:确定r有2种不同的选取方法; 由分步乘法计数原理知,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有 342=24(个). 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)分步:将完成这件事的过程分成若干步; (2)计数:求出每一步中的方法数; (3)结论

14、:将每一步中的方法数相乘得最终结果. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练14张卡片的正、反面分别标有0与1,2与3,4与5,6与7,将其 中3张卡片排放在一起,可组成个不同的三位数. 解析:分三个步骤: 第一步:百位可放8-1=7个数; 第二步:十位可放6个数; 第三步:个位可放4个数. 根据分步乘法计数原理,可以组成N=764=168个不同的三位数. 答案:168 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 两个原理的综合应用两个原理的综合应用 例3编号为A,B,C,D,E的五个小球,放到如图所示的五个 盒子中,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放 到1,2号,B球必须放到与A相邻的盒

15、子中,有多少种不同 的放法? 解:根据A球的位置分三类. (1)若A球放入3号盒里,则B球只能放在4号盒里,剩下的三个盒子分 别放C,D,E三球,共有321=6种放法. (2)若A球放入5号盒子里,则B球只能放入4号盒中,剩下的三个盒子 分别放C,D,E三球,共有321=6种放法. (3)若A球放入4号盒子里,则B球可以放到2号、3号或5号盒子中,剩 下的三个盒子分别放C,D,E三球,有3321=18种放法. 综合上述,由分类加法计数原理得不同放法共有6+6+18=30种. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟 应用两个计数原理解题的策略 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再

16、分步,分类时 要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步 与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰, 也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实 质直观地显现出来,从而便于我们解题. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色,每个区域涂一 种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,则共有多少种不同的 涂色方法? 12 34 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:第一类,1号区域与4号区域同色,此时可分三步来完成,第一步,涂 1号区域和4号区域,有5种涂法;第二步,涂2号区域,只要不与1号区 域和4

17、号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂3号区域,只要不 与1号区域和4号区域同色即可,因此也有4种涂法.由分步乘法计数 原理知,有544=80种涂法.第二类,1号区域与4号区域不同色,此 时可分四步来完成,第一步,涂1号区域,有5种涂法;第二步,涂4号区 域,只要不与1号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂2号区域, 只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有3种涂法;第四步,涂3 号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此也有3种涂法.由 分步乘法计数原理知,有5433=180种涂法.依据分类加法计 数原理知,不同涂色的方法种数为80+180=260. 探究一探究二探究三素养形

18、成当堂检测 模型法模型法 模型法就是通过构造图形,利用形象、直观的图形帮助分析解决问 题的方法. 典例 由0,1,2,3,4,5,6这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位 偶数? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:由于首位数字不能为0,偶数的末位数字必须是偶数数字,且当首 位取某个偶数数字(如2)时,末位数字不能取该偶数数字,因此可先 分类,再分步. (1)当首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个)时,末位数字可取0,2,4,6 中任一个,而百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字 则不能取与这三个数字重复的数字,故共有3454=240(种)取 法. (2)当首位取2,4,6中的

19、某个偶数数字时,末位数字可取3个偶数数字 中任一个,百位数字不能取与上述重复的数字,十位数字不能取与 这三个数字重复的数字,故共有3354=180(种)取法. 故可以组成240+180=420(个)无重复数字的四位偶数. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 方法点睛 (1)对于这类问题,我们可用假设分析法和模型法来分析, 如本例可用“ ”和“ ”等模型 来分析. (2)在解决与数字排列有关的问题时,应特别注意其限制条件.排列 时,要遵循特殊位置、特殊元素优先安排的原则. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.由0,1,2三个数字组成的三位数(允许数字重复)的个数为() A.27B.18C.1

20、2 D.6 解析:分三步,依次取个位、十位、百位上的数字,分别有3种、3种、 2种取法,故共可得332=18个不同的三位数. 答案:B 2.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过4次 传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有() A.4种B.5种 C.6种 D.12种 解析:若甲先传给乙,则有甲乙甲乙甲,甲乙甲丙 甲,甲乙丙乙甲3种不同的传递方式;同理,甲先传给丙也有 3种不同的传递方式.故共有6种不同的传递方式. 答案:C 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.某班有男生26人,女生24人,从中选一名同学担任数学课代表,则 不同的选法有() A.50种 B.26种

21、C.24种D.616种 解析:从男生中选一人,有26种方法;从女生中选一人,有24种方法.由 分类加法计数原理,不同的选法有26+24=50(种). 答案:A 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.如图所示的电路图,从A到B共有条不同的线路可通 电. 解析:先分三类.第一类,经过支路有3种方法;第二类,经过支路 有1种方法;第三类,经过支路有22=4种方法,所以总的线路条 数N=3+1+4=8. 答案:8 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A爬到相对顶点C1,求其中 经过3条棱的路线共有多少条? 解:从总体上看有三类方法,分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类 又需分两步完成.故第一类:经过AB,有m1=12=2条;第二类:经过 AD,有m2=12=2条;第三类:经过AA1,有m3=12=2条.根据分类加 法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6 条.