（2021新苏教版）高中数学必修第一册课时素养评价 二十四 函数的最大值、最小值练习.doc

1、温馨提示：温馨提示： 此套题为此套题为 WordWord 版版，请按住请按住 Ctrl,Ctrl,滑动鼠标滚轴滑动鼠标滚轴，调节合适的观看调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭比例，答案解析附后。关闭 WordWord 文档返回原板块。文档返回原板块。 课时素养评价课时素养评价 二十四二十四函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值 (15 分钟35 分) 1.函数 y=x 2+2x-1 在0,3上的最小值为 ( ) A.0B.-4C.-1D.-2 【解析】选 C.因为 y=x 2+2x-1=(x+1)2-2,其图象的对称轴为直线 x=-1, 所以函数 y=x 2+2x-1 在0,3上是增函数

2、, 所以当 x=0 时,此函数取得最小值,最小值为-1. 2.函数 f(x)=的最大值是() A.B.C.D. 【解析】选 D.令 t=1-x(1-x)=+ ,所以 0f(x) , 即 f(x)的最大值为 . 3.(2020海淀高一检测)设函数 f(x)=4x+ -1(x0),则 f(x)() A.有最大值 3B.有最小值 3 C.有最小值-5D.有最大值-5 【解析】选 D.当 x0 时,f(x)=4x+ -1 =- (-4x)+-1-2-1=-5. 当且仅当-4x=- ,即 x=- 时,上式取等号. 所以 f(x)有最大值为-5. 4.(2020成都高一检测)函数 f(x)=2x-的最小值

3、为_. 【解析】因为 f(x)=2-2 =2-, 所以 f(x)min=f=-. 答案:- 5.对于函数 f(x),在使 f(x)M 恒成立的所有实数 M 中,我们把 M 的最大值 Mmax 叫做函数 f(x)的下确界,则对于 aR,f(a)=a 2-4a+6 的下确界为_. 【解析】f(a)=a 2-4a+6,f(a)M, 即 f(a)minM. 而 f(a)=(a-2) 2+2,所以 f(a) min=f(2)=2. 所以 M2.所以 Mmax=2. 答案:2 6.(2020温州高一检测)已知函数 f(x)= x 2+ . 求函数 f(x)在区间-3,-1上的最值. 【解析】设 x1,x2

4、是-3,-1上的任意两个值, 且 x1x2,f(x1)-f(x2) =- =(x1-x2)(x1+x2)-, 又由-3x1x2-1,得 x1-x20,-6x1+x2-2,4(x1-1)(x2-1)16, 则有 (x1+x2)-0, 故函数 f(x)在区间-3,-1上是减函数, 故 f(x)max=f(-3)=4, f(x)min=f(-1)=- . (30 分钟60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.函数 y=x+的最值的情况为() A.最小值为 ,无最大值 B.最大值为 ,无最小值 C.最小值为 ,最大值为 2 D.最大值为 2,无最小值 【解析】选 A.因为 y=x+在

5、定义域,+ 上是增函数, 所以函数最小值为 ,无最大值. 2.(2020连云港高一检测)已知 a ,则函数 f(x)=x 2+|x-a|的最小值是 () A.a 2+1 B.a+ C.a-D.a- 【解析】选 D.函数 f(x)=x 2+|x-a|= 当 xa 时,函数 f(x)=x 2+x-a 的对称轴方程为 x=- , 函数在a,+)上是增函数,其最小值为 a 2; 当 x0. 所以 a 2a- . 所以函数 f(x)=x 2+|x-a|的最小值是 a- . 3.对任意 xR,函数 f(x)表示-x+3, x+ ,x 2-4x+3 中的最大者,则 f(x)的最小值 为 () A.2B.3C

6、.4D.5 【解析】选 A.分别作出 y=-x+3,y= x+ ,y=x 2-4x+3 的图象如图(阴影部分边界对 应的曲线为 ABCDE), 则由图象可知函数 f(x)在 C 处取得最小值, 由得 即 f(x)的最小值为 2. 4.(2020无锡高一检测)若关于 x 的不等式 x 2-mx+40 在 x1,3上有解,则实 数 m 的取值范围为() A.(-,5)B.(-,5 C.(-,4)D.(-,-4)(4,+) 【解析】选 A.关于 x 的不等式 x 2-mx+40 在 x1,3上有解, 即 mx+ 在 x1,3上能成立. 设 f(x)=x+ ,则 f(x)在(0,2上是减函数,在2,+

7、)上是增函数, 故当 x=2 时,f(x)取得最小值 4, 又 f(1)=5,f(3)=,故当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值.则实数 m5. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选 错的得 0 分) 5.下列关于函数 y=ax+1,x0,2的说法正确的是 () A.当 a0 时,此函数的最大值为 1,最小值为 2a+1 B.当 a0 时,此函数的最大值为 1,最小值为 2a+1 D.当 a0 时,此函数的最大值为 2a+1,最小值为 1 【解析】选 AD.当 a0 时,函数y=ax+1 在区间0,2上是增函数,当 x=0 时,函数取得

8、最小值为 1, 当 x=2 时,函数取得最大值为 2a+1. 6.函数 y=(x1)的定义域为2,5),下列说法正确的是 () A.最小值为B.最大值为 4 C.无最大值D.无最小值 【解析】选 BD.函数 y=1+在2,5)上是减函数,即在 x=2 处取得最大值 4, 由于 x=5 取不到,则最小值取不到. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.二次函数 y=ax 2+4x+a 的最大值是 3,则 a=_. 【解析】 根据题意,二次函数y=ax 2+4x+a的最大值是3,则 解得a=-1. 答案:-1 8.(2020 杭州高一检测)对于任意的实数 x1,x2,minx1,x2表示

9、x1,x2中较小的那 个数,若f(x)=2-x 2,g(x)=x,则集合x|f(x)=g(x)=_;minf(x),g(x)的 最大值是_. 【解析】由题作出函数 f(x),g(x)的图象, 令 f(x)=g(x),即 2-x 2=x, 解得 x=-2 或 x=1, 则集合x|f(x)=g(x)=-2,1, 由题意及图象得 minf(x),g(x)= 由图象知,当 x=1 时,minf(x),g(x)最大,最大值是 1. 答案:-2,11 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.(2020 常州高一检测)已知二次函数 f(x)=ax 2+bx+c(a0),对称轴为直线 x=2, 且

10、f(0)=1. (1)若函数 f(x)的最小值为-1,求 f(x)的解析式; (2)函数 f(x)的最小值记为 g(a),求函数 H(a)=ag(a)的最大值. 【解析】(1)因为 f(x)的对称轴为直线 x=2, 所以-=2,则 b=-4a. 又 f(0)=1,所以 c=1. 所以 f(x)=ax 2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a, 因为 a0,所以当 x=2 时 f(x)有最小值 1-4a=-1, 所以 a= ,所以 f(x)= x 2-2x+1. (2)由(1)知 f(x)=ax 2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a. 所以 g(a)=f(2)=1-4a. 所以 H(a)=a

11、(1-4a)=-4+, a(0,+), 所以 H(a)的最大值为. 10.(2020太原高一检测)已知函数 f(x)=,g(x)=x-1. (1)求解不等式 f(x)g(x). (2)若 x ,求 y=3f(x)+2g(x)的最小值. 【解析】(1)当 x 时,由 f(x)g(x),得(2x-1)(x-1)3,解得 x2. 当 x 时,由 f(x)g(x),得(2x-1)(x-1)3,解得 x- . 所以不等式 f(x)g(x)的解集为 x , 所以 3f(x)+2g(x)=+2-12-1=5, 当且仅当 4=9,即 x=2(负值舍去)时取等号,故当 x 时,函数 y=3f(x)+2g(x)的

12、最小值为 5. 【补偿训练】 已知函数 f(x)=ax 2+2x+c(a,cN*),满足: f(1)=5;6f(2)11. (1)求 a,c 的值. (2)设 g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|,求 g(x)的最小值. 【解析】(1)f(1)=a+2+c=5,f(2)=4a+4+c(6,11), 所以 c=5-2-a=3-a, 所以 4a+4+3-a=3a+7(6,11), 所以- a , 又 aN *,所以 a=1,c=2. (2)因为 f(x)=x 2+2x+2, 所以 g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|=x 2+2x+2-2x-3+|x-1|=x2+|x-1|-1, 当 x1

13、 时,g(x)=x 2+x-2, 此时 g(x)在1,+)上是增函数, 所以 g(x)min=g(1)=1+1-2=0, 当 x1 时,g(x)=x 2-x,g(x)在 上是减函数,在上是增函数, 所以 g(x)min=g= - =- , 又- 0,所以 g(x)min=g=- . 1.当 x(1,2)时,不等式 x 2+mx+40 恒成立,则 m 的取值范围是_. 【解析】设 f(x)=x 2+mx+4,则 f(x)图象开口向上,对称轴为 x=- . (1)当- 1 时,即 m-2 时, 满足 f(2)=4+2m+40, 所以 m-4, 又 m-2,所以此时无解. (2)当- 2,即 m-4

14、 时, 需满足 f(1)=1+m+40, 所以 m-5, 又 m-4,所以 m-5. (3)当 1- 2,即-4m-2 时, 需满足此时无解. 综上所述,m-5. 答案:m-5 2.(2020永州高一检测)已知 a1,若函数 f(x)=ax 2-2x+1 在区间1,3上的 最大值为 M(a),最小值为 N(a),令 g(a)=M(a)-N(a). (1)求 g(a)的函数解析式. (2)不要证明,请直接写出函数 g(a)的单调区间,并求 g(a)的最大值. 【解析】(1)根据题意,f(x)=ax 2-2x+1= a+1- , 由 a1 得 1 3, 则 N(a)=f=1- , 当 1 2,即

15、0,即 a0 时, g(a)=f(x)max=f(-1)=a 2-a+2. 所以 g(a)= (2)假设存在符合题意的实数 m,n, 则由(1)可知,当 aR 时,g(a)2,+). 所以若 am,n,有 g(a)5m,5n, 则 0mn. 所以 g(a)=a 2+a+2,且为增函数. 所以 所以 2.对于区间a,b和函数 y=f(x),若同时满足: f(x)在a,b上是单调函数;函数 y=f(x),xa,b的值域还是a,b,则称 区间a,b为函数 f(x)的“不变”区间. (1)求函数 y=x 2(x0)的所有“不变”区间. (2)函数 y=x 2+m(x0)是否存在“不变”区间?若存在,求出实数 m 的取值范围; 若不存在,说明理由. 【解析】(1)易知函数 y=x 2(x0)是增函数, 故有解得 a=0 或 1,b=0 或 1, 又 aa0,且 消去 m 得 a 2-b2=a-b, 整理得(a-b)(a+b-1)=0. 因为 aa0,得 1-aa0,所以 0a . 所以 m=-a 2+a =-+, 所以 0m . 综上,当 0m 时,函数 y=x 2+m(x0)存在“不变”区间. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块