（2021新苏教版）高中数学必修第一册7.3.2.2正弦函数、余弦函数的性质ppt课件.ppt

1、第2课时正弦函数、余弦函数的性质 必备知识必备知识自主学习自主学习 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 (1)(1)图象与性质图象与性质 解析式解析式y=sin xy=sin xy=cos xy=cos x 图象图象 值域值域_-1,1-1,1 -1,1-1,1 解析式解析式y=sin xy=sin xy=cos xy=cos x 单调性单调性 在在 上单调递增上单调递增, , 在在 上单调递减上单调递减 在在_ 上单调递增上单调递增, , 在在_ 上单调递减上单调递减 最值最值 x=x=_时时,y,ymax max=1; =1; x=_x=_时时,y,ymin min=-1 =

2、-1 x=_x=_时时, , y ymax max=_; =_; x=_x=_时时, , y ymin min=_ =_ 2k2k kZ 22 ，（） 3 2k2k kZ 22 ， （） -+2k,2k,(kZ)-+2k,2k,(kZ) 2k,+2k,(kZ)2k,+2k,(kZ) 2kkZ 2 ，（） 2kkZ 2 ，（） 2k,(kZ)2k,(kZ) 1 1 +2k,(kZ)+2k,(kZ) -1-1 (2)(2)本质本质: :函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质. . (3)(3)应用应用: :求函数的单调区间、函数的最值及

3、取得最值时自变量求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x x的值的值. . 【思考】【思考】从图象的变化趋势来看从图象的变化趋势来看, ,正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处 在什么位置在什么位置? ? 提示提示: :正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)y=sin x(1)y=sin x在在(0,)(0,)上单调递增上单调递增. .( () ) (2)(2)存在存在

4、xRxR满足满足sin x= .sin x= .( () ) (3)(3)在区间在区间0,20,2上上, ,函数函数y=cos xy=cos x仅当仅当x=0 x=0时取得最大值时取得最大值1.1.( () ) 2 提示提示: :(1)(1).y=sin x.y=sin x在在 上单调递增上单调递增, ,在在 上单调递减上单调递减. . (2)(2). .正弦函数正弦函数y=sin xy=sin x的值域为的值域为-1,1,-1,1,所以所以sin x= sin x= 无解无解. . (3)(3). .当当x=2x=2时时,cos x=1,cos x=1也成立也成立. . (0) 2 ，()

5、2 ， 2 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )函数函数y=2-sin xy=2-sin x取得最大值时取得最大值时,x,x的取值集合为的取值集合为 _._. 【解析】【解析】当当sin x=-1sin x=-1时时,y,ymax max=2-(-1)=3, =2-(-1)=3, 此时此时x=2kx=2k- ,kZ.- ,kZ. 答案答案: : 2 x | x2kkZ 2 ， 3.3.若若cos x=m-1cos x=m-1有意义有意义, ,则则m m的取值范围是的取值范围是_._. 【解析】【解析】因为因为-1cos x1,-1cos x1,要使要使cos x=m

6、-1cos x=m-1有意义有意义, , 则则-1m-11,-1m-11,所以所以0m2.0m2. 答案答案: :0,20,2 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一正弦函数、余弦函数的单调区间类型一正弦函数、余弦函数的单调区间( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.下列函数下列函数, ,在在 上单调递增的是上单调递增的是( () ) A.y=sin xA.y=sin xB.y=cos xB.y=cos x C.y=sin 2xC.y=sin 2xD.y=cos 2xD.y=cos 2x 2 ， 2.2.函数函数y=sin ,x y=sin ,x 的单调递减区间为的单

7、调递减区间为_._. 3.3.求函数求函数y=1+sin ,x-4,4y=1+sin ,x-4,4的单调递减区间的单调递减区间. . (3x) 6 3 3 ， 1 (x+) 24 【解析】【解析】1.1.选选D.D.对于对于A,B,C,A,B,C,在在 上显然都不是单调递增的上显然都不是单调递增的, ,对于函数对于函数 y=cos 2x,y=cos 2x,令令+2k+2k2x22x2+2k+2k(kZ),(kZ),即即 +k+kxx+k+k (kZ),(kZ), 故故y=cos 2xy=cos 2x的单调递增区间是的单调递增区间是 (kZ),(kZ),则当则当k=0k=0时时, , 单调递增区

8、间为单调递增区间为 2 ， 2 kk 2 ， . 2 ， 2.2.由由 +2k+2k3x+ +2k3x+ +2k(kZ),(kZ), 得得 又又x ,x , 所以函数所以函数y=sin ,x y=sin ,x 的单调递减区间为的单调递减区间为 . . 答案答案: : 2 6 3 2 2k42k x(kZ) 9393 3 3 ， (3x) 6 3 3 ， 2 399 3 ，-， ， 2 399 3 ，-， ， 3.y=1+sin =-sin +1.3.y=1+sin =-sin +1. 由由2k2k- x- 2k- x- 2k+ (kZ).+ (kZ). 解得解得4k4k- x4k- x4k+

9、+ (kZ).(kZ). 又因为又因为x-4x-4,4,4, 所以函数所以函数y=1+sin y=1+sin 的单调递减区间为的单调递减区间为 1 (x+) 24 1 (x) 24 2 1 24 2 2 3 2 1 (x+) 24 537 44 2222 ， ， 【解题策略】【解题策略】单调区间的求法单调区间的求法 求形如求形如y=Asin(x+y=Asin(x+) )或或y=Acos(x+y=Acos(x+) )的函数的单调区间的函数的单调区间, ,要先把要先把化为正化为正 数数, , (1)(1)当当A0A0时时, ,把把x+x+整体代入整体代入y=sin xy=sin x或或y=cos

10、xy=cos x的单调递增区间内的单调递增区间内, ,求得的求得的x x 的范围即为函数的单调递增区间的范围即为函数的单调递增区间. . (2)(2)当当A0A0时时, ,把把x+x+整体代入整体代入y=sin xy=sin x或或y=cos xy=cos x的单调递增区间内的单调递增区间内, ,求得的求得的x x 的范围即为函数的单调递减区间的范围即为函数的单调递减区间; ;代入代入y=sin xy=sin x或或y=cos xy=cos x的单调递减区间内的单调递减区间内, ,可可 求得函数的单调递增区间求得函数的单调递增区间. . 提醒提醒: :求函数求函数y=Asin(x+y=Asin

11、(x+) )的单调区间时的单调区间时, ,把把x+x+看作一个整体看作一个整体, ,借助借助y=y= sin xsin x的单调区间来解决的单调区间来解决. .当当A0A0或或00时时, ,要注意原函数的单调性与要注意原函数的单调性与y=sin xy=sin x的的 单调性的关系单调性的关系. . 【补偿训练】【补偿训练】 1.1.函数函数y=cos xy=cos x在区间在区间-,a-,a上单调递增上单调递增, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 2.2.已知函数已知函数y=cos ,y=cos ,则它的单调递减区间为则它的单调递减区间为_._. 【解析】【解析】1.1.因为因为y

12、=cos xy=cos x在在-,0-,0上是单调递增的上是单调递增的, ,在在0,0,上单调递减上单调递减, , 所以只有所以只有-a0-a0时满足条件时满足条件, ,故故a(-,0.a(-,0. 答案答案: :(-,0(-,0 (2x) 3 2.y=cos =cos ,2.y=cos =cos , 由由2k2x- 2k+,kZ,2k2x- 2k+,kZ, 得得k+ xk+ kZ,k+ xk+ kZ,所以单调递减区间是所以单调递减区间是 答案答案: : (kZ) (kZ) (2x) 3 (2x) 3 3 6 2 3 ， 2 kk kZ . 63 ， 2 kk 63 ， 类型二利用正弦函数、余

13、弦函数的单调性比较大小类型二利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小( (直观想象直观想象) ) 【典例】【典例】利用三角函数的单调性利用三角函数的单调性, ,比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小. . (1)cos ,cos .(1)cos ,cos . (2)cos 1,sin 1.(2)cos 1,sin 1. (3)sin 164(3)sin 164,cos 110,cos 110. . 【思路导引思路导引】先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角, ,再利用函数再利用函数 的单调性比较的单调性比较. . 15 8 14 9 【解析】【

14、解析】(1)cos =cos ,cos =cos ,(1)cos =cos ,cos =cos , 因为因为0 0 cos ,cos cos , 即即cos cos .cos cos . (2)(2)因为因为cos 1=sin ,cos 1=sin ,而而0 1 0 1 且且y=sin xy=sin x在在 上单调递增上单调递增, , 所以所以sin sin 1,sin sin 1,即即cos 1sin 1.cos 1sin 1. 15 8 8 14 9 4 9 8 4 9 8 4 9 15 8 14 9 (1) 2 1 2 2 0 2 ， (1) 2 (3)sin 164(3)sin 164

15、=sin(180=sin(180-16-16)=sin 16)=sin 16, , cos 110cos 110=cos(90=cos(90+20+20)=-sin 20)=-sin 20. . 因为正弦函数在因为正弦函数在 上单调递增上单调递增, , 所以所以-sin 20-sin 20sin 16sin 16, ,即即cos 110cos 110sin 164sin 164. . 2 2 ， 【解题策略】【解题策略】三角函数值大小比较的策略三角函数值大小比较的策略 (1)(1)利用诱导公式利用诱导公式, ,对于正弦函数来说对于正弦函数来说, ,一般将两个角转化到一般将两个角转化到 或或 内

16、内; ; 对于余弦函数来说对于余弦函数来说, ,一般将两个角转化到一般将两个角转化到-,0-,0或或0,0,内内. . (2)(2)不同名的函数化为同名的函数不同名的函数化为同名的函数. . (3)(3)自变量不在同一单调区间时自变量不在同一单调区间时, ,先化至同一单调区间内先化至同一单调区间内, ,借助正弦、余弦函数借助正弦、余弦函数 的单调性来比较大小的单调性来比较大小. . 2 2 ， 3 22 ， 【跟踪训练】【跟踪训练】1.1.已知已知,为锐角三角形的两个内角为锐角三角形的两个内角, ,则以下结论正确的则以下结论正确的 是是( () ) A.sin sin A.sin sin B.

17、cos sin B.cos sin C.cos cos C.cos cos D.cos cos 【解析】【解析】选选B.,为锐角三角形的两个内角为锐角三角形的两个内角,+ , -, , - ,所以所以cos cos =sin . 2 2 (0) 2 ， 2 (0) 2 ，() 2 2.2.将将cos 150cos 150,sin 470,sin 470,cos 760,cos 760按从小到大排列为按从小到大排列为_._. 【解析解析】cos 150cos 1500,sin 4700,cos 7600,cos 760= = cos 40cos 4000且且cos 20cos 20cos 40c

18、os 40, ,所以所以cos 150cos 150cos 760cos 760sin 470sin 470. . 答案答案: :cos 150cos 150cos 760cos 760sin 4700).f(x)=asin +b(a0).当当x x 时时,f(x),f(x)的最大值的最大值 为为 , ,最小值是最小值是-2,-2,求求a a和和b b的值的值. . 【思路导引】【思路导引】先由先由x ,x ,求求2x- 2x- 的取值范围的取值范围, ,再求再求sin sin 的取值范围的取值范围, , 最后表示出最后表示出f(x)f(x)min min,f(x) ,f(x)max max,

19、 ,列方程组求解 列方程组求解. . (2x) 3 0 2 ， 3 0 2 ， 3 (2x) 3 【解析】【解析】因为因为 因为因为a0,a0,所以所以f(x)f(x)max max=a+b= , =a+b= , f(x)f(x)min min=- a+b=-2. =- a+b=-2. 2 0 x2x 2333 ，所以， 3 sin(2x)1 23 所以， 3 3 2 ab3 a2 3 b23. ab2 2 ， ， 由得 ， 【解题策略】【解题策略】求求y=sin(x+y=sin(x+) )型三角函数的值域的方法型三角函数的值域的方法 令令t=x+t=x+, ,根据题中根据题中x x的取值范围

20、的取值范围, ,求出求出t t的取值范围的取值范围, ,再利用三角函数的单调再利用三角函数的单调 性、有界性求出性、有界性求出y=sin ty=sin t的最值的最值( (值域值域).). 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数f(x)=-2sin x+1,x f(x)=-2sin x+1,x 的值域是的值域是( () ) A.1,3A.1,3B.-1,3B.-1,3 C.-3,1C.-3,1D.-1,1D.-1,1 【解析】【解析】选选B.B.因为因为x ,x ,所以所以sin x-1,1,sin x-1,1,所以所以-2sin x+1-1,3.-2sin x+1-1,3. 2 ， 2

21、， 2.2.函数函数y=3-4sin x-4cosy=3-4sin x-4cos2 2x x的值域为的值域为_._. 【解析】【解析】y=3-4sin x-4cosy=3-4sin x-4cos2 2x x =3-4sin x-4(1-sin=3-4sin x-4(1-sin2 2x)x) =4sin=4sin2 2x-4sin x-1,x-4sin x-1, 令令t=sin x,t=sin x,则则-1t1.-1t1. 所以所以y=4ty=4t2 2-4t-1=4 -2(-1t1).-4t-1=4 -2(-1t1). 2 1 (t) 2 所以当所以当t= t= 时时,y,ymin min=-

22、2, =-2, 当当t=-1t=-1时时,y,ymax max=7. =7. 即函数即函数y=3-4sin x-4cosy=3-4sin x-4cos2 2x x的值域为的值域为-2,7.-2,7. 答案答案: :-2,7-2,7 1 2 3.3.若函数若函数y=a-bcos x(b0)y=a-bcos x(b0)的最大值为的最大值为 , ,最小值为最小值为- ,- ,则函数的解析式为则函数的解析式为 y=_.y=_. 【解析】【解析】因为因为y=a-bcos x(b0),y=a-bcos x(b0), 所以所以y ymax max=a+b= ,y =a+b= ,ymin min=a-b=-

23、. =a-b=- . 所以所以y= -cos x.y= -cos x. 答案答案: : -cos x -cos x 3 2 1 2 3 2 1 2 3 1ab a 2 2 1 b 1.ab 2 ， ， 由解得 ， 1 2 1 2 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.(1.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )函数函数y=sin 2xy=sin 2x的单调递减区间是的单调递减区间是( () ) A. A. B. B. C.+2k,3+2k(kZ)C.+2k,3+2k(kZ) D. D. 【解析】【解析】选选B.B.令令 +2k+2k2x +2k2x +2k,kZ,kZ, 得得

24、+k+kx +kx +k,kZ,kZ,则则y=sin 2xy=sin 2x的单调递减区间是的单调递减区间是 . . 3 2k2k kZ 22 ，（） 3 kk kZ 44 ，（） kkkZ 44 ，（） 2 3 2 4 3 4 3 kk kZ 44 ，（） 2.y=2sin 2.y=2sin 的值域是的值域是( () ) A.-2,2A.-2,2B.0,2B.0,2 C.-2,0C.-2,0D.-1,1D.-1,1 【解析】【解析】选选A.A.因为因为sin -1,1,sin -1,1, 所以所以y-2,2.y-2,2. (3x) 3 (3x) 3 3.3.下列函数中下列函数中, ,既为偶函数

25、又在既为偶函数又在(0,)(0,)上单调递增的是上单调递增的是( () ) A.y=|cos x|A.y=|cos x|B.y=cos|-xB.y=cos|-x| | C.y=sin C.y=sin D.y=-sin D.y=-sin 【解析解析】选选C.y=|cos x|C.y=|cos x|在在 上单调递减上单调递减, ,排除排除A;A; y=cos |-x|=cos |x|y=cos |-x|=cos |x|在在(0,(0,) )上单调递减上单调递减. .排除排除B;B; y=sin =-sin =-cos xy=sin =-sin =-cos x是偶函数是偶函数, ,且在且在(0,(0

26、,) )上单调递增上单调递增, , 符合题意符合题意;y=-sin ;y=-sin 在在(0,(0,) )上是单调递减的上是单调递减的, ,排除排除D.D. (x) 2 x 2 (x) 2 , (x) 2 (x) 2 x 2 4.4.若若y=asin x+by=asin x+b的最大值为的最大值为3,3,最小值为最小值为1,1,则则ab=_.ab=_. 【解析】【解析】当当a0a0时时, , 得得 当当a0a0时时, , 得得 所以所以ab=ab=2.2. 答案答案: :2 2 ab3 ab 1 ， ， a 1 b2. ， ab 1 ab3 ， ， a1 b2. ， 5.sin 1,sin 2

27、,sin 35.sin 1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为按从小到大排列的顺序为_._. 【解析】【解析】因为因为1 231 23, , sin(sin(-2)=sin 2,sin(-2)=sin 2,sin(-3)=sin 3.-3)=sin 3. y=sin xy=sin x在在 上单调递增上单调递增, ,且且00-31-31-2 ,-2 ,所以所以sin(sin(-3)sin 1-3)sin 1 sin(sin(-2),-2), 即即sin 3sin 1sin 2.sin 3sin 1sin 2. 答案答案: :sin 3sin 1sin 2sin 3sin 1sin 2 2 (0) 2 ， 2