（2021新苏教版）高中数学必修第一册7.3.1三角函数的周期性ppt课件.ppt

1、7.3.1三角函数的周期性 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.函数的周期性函数的周期性 (1)(1)周期函数周期函数: :设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为A,A,如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,T,使得对于任使得对于任 意的意的xA,xA,都有都有x+TA,x+TA,并且并且f(x+T)=f(x),f(x+T)=f(x),那么函数那么函数f(x)f(x)就叫作周期函数就叫作周期函数, ,非零非零 常数常数T T叫作这个函数的周期叫作这个函数的周期. . (2)(2)最小正周期最小正周期: :如果在周期函数如果在周期函数f(x)f(x)的所有周期中存在

2、一的所有周期中存在一个最小的个最小的_,_,那么那么 这个最小的正数就叫作这个最小的正数就叫作f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期. . 正数正数 (3)(3)本质本质: :函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值. . (4)(4)应用应用: :函数的周期性是函数的重要性质函数的周期性是函数的重要性质, ,是高考中常见的考查知识点是高考中常见的考查知识点, ,在生活在生活 中也有很多的应用中也有很多的应用. . 【思考】【思考】 周期函数都有最小正周期吗周期函数都有最小正周期吗? ? 提示提示: :周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定

3、存在最小正周期. .例如例如, ,对于常数函数对于常数函数f(x)=c(cf(x)=c(c为常数为常数, , xR),xR),所有非零实数所有非零实数T T都是它的周期都是它的周期, ,而最小正周期是不存在的而最小正周期是不存在的, ,所以常数函数所以常数函数 没有最小正周期没有最小正周期. . 2.2.正、余弦函数的周期正、余弦函数的周期 一般地一般地, ,函数函数y=Asin(x+y=Asin(x+) )及及y=Acos(x+y=Acos(x+)()(其中其中A,A,为常数为常数, , 且且A0,0)A0,0)的周期为的周期为_._. 2 【思考】【思考】当函数当函数y=Asin(x+y=

4、Asin(x+) )中中,0,a)x=a,x=b(ba)都对称都对称, ,则则f(x)f(x)是周期函数是周期函数 且且2(b-a)2(b-a)是它的一个周期是它的一个周期. . (2)(2)已知已知f(x+a)=-f(x)(a0),f(x+a)=-f(x)(a0),由定义可证得由定义可证得f(x)f(x)为周期函数为周期函数,2a,2a是它的一个周期是它的一个周期. . (3)(3)若若f(x+a)= (a0),f(x+a)= (a0),则则f(x)f(x)为周期函数为周期函数,2a,2a是它的一个周期是它的一个周期. . 1 fx （ ） 【拓展训练】【拓展训练】 1.1.已知已知f(x+

5、1)= ,f(x+1)= ,求证求证:f(x):f(x)是周期函数是周期函数, ,并求出它的一个周期并求出它的一个周期. . 1 fx （ ） 【解析】【解析】因为因为f(x+2)=f(x+1)+1f(x+2)=f(x+1)+1 = =f(x),= =f(x), 所以所以f(x)f(x)是周期函数是周期函数, ,且且2 2是它的一个周期是它的一个周期. . 11 1 fx1 fx （） （ ） 2.2.已知函数已知函数f(x)(xNf(x)(xN* *) )满足满足f(n+2)=f(n+1)-f(n),f(n+2)=f(n+1)-f(n),求证求证:f(x):f(x)是周期函数是周期函数, ,

6、并求并求 出它的一个周期出它的一个周期. . 【解析】【解析】由由f(n+2)=f(n+1)-f(n),f(n+2)=f(n+1)-f(n), 得得f(n+3)=f(n+2)-f(n+1).f(n+3)=f(n+2)-f(n+1). + +, ,得得f(n+3)=-f(n).f(n+3)=-f(n). 所以所以f(n+6)=f(n+3)+3=-f(n+3)f(n+6)=f(n+3)+3=-f(n+3) =-f(n)=f(n).=-f(n)=f(n). 所以所以f(x)f(x)是周期函数是周期函数, ,且且6 6为为f(x)f(x)的一个周期的一个周期. . 类型二利用函数的周期性求值类型二利用

7、函数的周期性求值( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 【典例】【典例】定义在定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)既是偶函数又是周期函数既是偶函数又是周期函数, ,若若f(x)f(x)的最小正的最小正 周期是周期是,且当且当x x 时时,f(x)=sin x,f(x)=sin x,求求f f 的值的值. . 【思路导引】【思路导引】利用周期函数与偶函数的性质利用周期函数与偶函数的性质, , 将将f f 化为化为 内一个函数值内一个函数值. . 0 2 ， 5 () 3 5 () 3 0 2 ， 【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)的最小正周期是的最小正周期是, , 所以所

8、以f =f =f .f =f =f . 因为因为f(x)f(x)是是R R上的偶函数上的偶函数, , 所以所以f =f =sin = ,f =f =sin = , 所以所以f = .f = . 5 () 3 5 (2 ) 3 () 3 () 3 ( ) 3 3 3 2 5 () 3 3 2 【变式探究】【变式探究】 1.1.将本例中的条件将本例中的条件“偶函数偶函数”改为改为“奇函数奇函数”, ,其余不变其余不变, ,求求f f 的值的值. . 【解析】【解析】因为因为f(x)的最小正周期为的最小正周期为, 所以所以f =f =f , 因为因为f(x)是是R上的奇函数上的奇函数,所以所以f =

9、-f = ,所以所以 5 () 3 5 () 3 5 (2 ) 3 () 3 () 3 ( ) 3 3 sin 32 53 f(). 32 2.2.本例条件不变本例条件不变, ,求求f f 的值的值. . 【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为, , 所以所以f =f =f ,f =f =f ,因为因为f(x)f(x)是是R R上的偶函数上的偶函数, , 所以所以f =f =sin = ,f =f =sin = , 所以所以f = .f = . 19 () 6 19 () 6 ( 3) 6 () 6 () 6 ( ) 6 6 1 2 19 () 6 1 2 类型三

10、函数周期性的综合应用类型三函数周期性的综合应用( (逻辑推理逻辑推理) ) 【典例】【典例】设函数设函数f(x)(xR)f(x)(xR)是以是以2 2为周期的函数为周期的函数, ,且且x0,2x0,2时时,f(x)=(x-1),f(x)=(x-1)2 2. . (1)(1)求求f(3);f(3); (2)(2)当当x2,4x2,4时时, ,求求f(x)f(x)的解析式的解析式. . 【思路导引】【思路导引】(1)(1)由函数由函数f(x)(xR)f(x)(xR)是以是以2 2为周期的函数为周期的函数, ,且且x0,2x0,2 时时,f(x)=(x-1),f(x)=(x-1)2 2, ,知知f(

11、3)=f(3-2)=f(1),f(3)=f(3-2)=f(1),由此能求出结果由此能求出结果. . (2)(2)由由f(x)f(x)最小正周期为最小正周期为2,2,知当知当x2,4x2,4时时, ,有有f(x)=f(x-2),f(x)=f(x-2),令令x-2=m,x-2=m, 则则m0,2,m0,2,知知f(m)=(m-1)f(m)=(m-1)2 2, ,由此能求出当由此能求出当x2,4x2,4时时f(x)f(x)的解析式的解析式. . 【解析】【解析】(1)(1)因为函数因为函数f(x)(xR)f(x)(xR)是以是以2 2为周期的函数为周期的函数, ,且且x0,2x0,2时时 f(x)=

12、(x-1)f(x)=(x-1)2 2, , 所以所以f(3)=f(3-2)=f(1)=(1-1)f(3)=f(3-2)=f(1)=(1-1)2 2=0.=0. (2)(2)因为因为f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为2,2, 所以当所以当x2,4x2,4时时, ,都有都有f(x)=f(x-2),f(x)=f(x-2), 令令x-2=m,x-2=m,则则m0,2,m0,2, 所以所以f(m)=(m-1)f(m)=(m-1)2 2, , 将将m=x-2m=x-2代入代入, ,得得f(x)=(x-2-1)f(x)=(x-2-1)2 2=(x-3)=(x-3)2 2. . 【解题策略】【解题策

13、略】 利用函数的周期性求函数的解析式利用函数的周期性求函数的解析式 利用函数的周期性求函数解析式时利用函数的周期性求函数解析式时, ,一般利用整体代入思想一般利用整体代入思想, ,将所求函数转化到将所求函数转化到 已知的函数区间内已知的函数区间内, ,求函数的解析式求函数的解析式, ,注意求解时函数自变量所在的区间注意求解时函数自变量所在的区间; ;有时有时 还要结合函数的奇偶性等性质求解还要结合函数的奇偶性等性质求解. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且对任意实数且对任意实数x,x,恒有恒有f(x+2)=-f(x).f(x+2

14、)=-f(x).当当x0,2x0,2 时时,f(x)=2x-x,f(x)=2x-x2 2. . (1)(1)求证求证:f(x):f(x)是周期函数是周期函数; ; (2)(2)当当x2,4x2,4时时, ,求求f(x)f(x)的解析式的解析式; ; (3)(3)计算计算f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(2 020)+f(2 021)+f(2 020)+f(2 021)的值的值. . 【解析】【解析】(1)(1)因为因为f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x), 所以所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x+4)=-f(x+2)=f(x). 所以所以f(x)f(x)

15、是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数. . (2)(2)当当x-2,0 x-2,0时时,-x0,2,-x0,2, 由已知得由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)f(-x)=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x2 2, , 又又f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以f(-x)=-f(x)=-2x-xf(-x)=-f(x)=-2x-x2 2, , 所以所以f(x)=xf(x)=x2 2+2x.+2x. 又当又当x2,4x2,4时时,x-4-2,0,x-4-2,0, 所以所以f(x-4)=(x-4)f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4).+2(x-4). 又又f(

16、x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数, , 所以所以f(x)=f(x-4)=(x-4)f(x)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8. 所以当所以当x2,4x2,4时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-6x+8.-6x+8. (3)f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,(3)f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1, f(4)=0.f(4)=0.又又f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数, , 所以所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=f(1)

17、+f(2)+f(3)+f(4)=f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=f(2 013)+f(2 014)+=f(2 013)+f(2 014)+ f(2 015)+f(2 016)=f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=0.f(2 015)+f(2 016)=f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=0. 所以所以f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(2 020)+f(2 021)+f(2 020)+f(2 021) =0+f(2 021)=f(1)=1.=0+f(2 021)=f(1)=1. 课堂检测课堂检测素养达标素养

18、达标 1.1.今天是星期三今天是星期三, ,从明天算起从明天算起, ,第第167167天是天是( () ) A.A.星期一星期一B.B.星期二星期二C.C.星期三星期三D.D.星期四星期四 【解析】【解析】选选B.B.因为周期因为周期T=7,T=7, 又又167=23167=237+6,7+6, 故第故第167167天是星期三的前一天天是星期三的前一天, ,星期二星期二. . 2.2.函数函数y=sin 4xy=sin 4x的最小正周期是的最小正周期是( () ) A.4A.4B.2B.2C.C.D. D. 【解析】【解析】选选D.T= D.T= 2 2 . 42 3.3.若若f(x)f(x)

19、是是R R上周期为上周期为5 5的奇函数的奇函数, ,且满足且满足f(1)=1,f(2)=2,f(1)=1,f(2)=2,则则f(3)-f(4)=f(3)-f(4)=( () ) A.1A.1B.-1B.-1C.3C.3D.-3D.-3 【解析】【解析】选选B.B.因为因为f(x+5)=f(x),f(-x)=-f(x),f(x+5)=f(x),f(-x)=-f(x), 所以所以f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2, 所以所以f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=

20、-1, 所以所以f(3)-f(4)=-2+1=-1.f(3)-f(4)=-2+1=-1. 4.(4.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )函数函数f(x)= sin ,xRf(x)= sin ,xR的最小正周期为的最小正周期为( () ) A. A. B.B. C.2C.2D.4D.4 【解析】【解析】选选D.f(x)= sin D.f(x)= sin = = = = =f(x+4=f(x+4).). 所以所以f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为4 4. . 3 x () 22 2 3 x () 22 x 3sin(2) 22 1 3sinx4 22 （） 5.5.函数函数f(x)f(x)是以是以2 2为周期的函数为周期的函数, ,且且f(2)=3,f(2)=3,则则f(8)=_.f(8)=_. 【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)的周期为的周期为2,2,所以所以f(x+2)=f(x),f(x+2)=f(x), 所以所以f(8)=f(2+3f(8)=f(2+32)=f(2)=3.2)=f(2)=3. 答案答案: :3 3