（2021新苏教版）高中数学必修第一册7.1.1任意角ppt课件.ppt

1、7.1.1任意角 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.体操中体操中“前空翻转体前空翻转体540540度度” “” “后空翻转体后空翻转体 720720度度”是什么意思是什么意思? ? 2.2.任意角可以分为哪几类任意角可以分为哪几类? ? 3.3.什么是终边相同的角什么是终边相同的角? ? 1.1.任意角任意角 (1)(1)角的分类角的分类 类型类型定义定义图示图示 正正 角角 一条射线绕其端点一条射线绕其端点, , 按按_方向旋转方向旋转 形成的角形成的角 负负 角角 一条射线绕其端点一条射线绕其端点, , 按按_方向旋转方向旋转 形成的角形成的角 零零 角角 一条射线没有做

2、任一条射线没有做任 何旋转何旋转 逆时针逆时针 顺时针顺时针 (2)(2)本质本质: :将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角. . (3)(3)应用应用: :可以定义任意的旋转角可以定义任意的旋转角. . 2.2.象限角象限角 角的顶点为坐标原点角的顶点为坐标原点, ,角的始边为角的始边为x x轴轴_,_,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系, ,这样这样, ,角的角的 终边终边( (除端点外除端点外) )在第几象限在第几象限, ,就说这个角是就说这个角是_._.如果角的终边在坐标如果角的终边在坐标 轴上轴上, ,称这个角

3、为轴线角称这个角为轴线角. . 3.3.终边相同的角终边相同的角 (1)(1)定义定义: :所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角, ,连同角连同角在内在内. . (2)(2)表示表示: :集合集合S=|=+kS=|=+k360360,kZ.,kZ. (3)(3)本质本质: :表示成角表示成角与整数个周角的和与整数个周角的和. . 正半轴正半轴 第几象限角第几象限角 【思考】【思考】 反过来反过来, ,若角若角,满足满足S=|=+kS=|=+k360360,kZ,kZ时时, ,角角,是否是终边相是否是终边相 同的角同的角? ? 提示提示: :当角当角,满足满足S=|=+kS=|=+k3603

4、60,kZ,kZ时时, ,表示角表示角与与相隔整数相隔整数 个周角个周角, ,即角即角,终边相同终边相同. . 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)经过经过1 1小时小时, ,时针转过时针转过3030. .( () ) (2)(2)终边与始边重合的角是零角终边与始边重合的角是零角. .( () ) (3)(3)第二象限的角是钝角第二象限的角是钝角. .( () ) 提示提示: :(1)(1), ,因为是顺时针旋转因为是顺时针旋转, ,所以时针转过所以时针转过-30-30. . (2)(2), ,终边与始边重合的角是终

5、边与始边重合的角是k k360360(kZ).(kZ). (3)(3), ,钝角是第二象限的角钝角是第二象限的角, ,但第二象限角不一定是钝角但第二象限角不一定是钝角. . 2.2.与与4545角终边相同的角是角终边相同的角是( () ) A.-45A.-45B.225B.225C.395C.395D.-315D.-315 【解析】【解析】选选D.D.与与4545角终边相同的角可以表示为角终边相同的角可以表示为4545+k+k360360,kZ,kZ,结合四结合四 个选项可以发现只有答案个选项可以发现只有答案D D符合题意符合题意. . 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改

6、编) )已知已知0 0360360, ,且且与与600600角终边相同角终边相同, ,则则 =_,=_,它是第它是第_象限角象限角. 【解析】【解析】因为因为600600=360=360+240+240, ,所以所以240240角与角与600600角终边相同角终边相同, ,且且 0 0240240360360, ,故故=240=240, ,它是第三象限角它是第三象限角. . 答案答案: :240240三三 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一任意角的概念及应用类型一任意角的概念及应用( (数学抽象数学抽象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20201.(2020杭州高一检测杭州高一检测

7、) )下列说法下列说法: :终边相同的角必相等终边相同的角必相等; ;锐角必是第一象锐角必是第一象 限角限角; ;小于小于9090的角是锐角的角是锐角; ;第二象限的角必大于第一象限的角第二象限的角必大于第一象限的角; ;若角若角 的终边经过点的终边经过点M(0,-3),M(0,-3),则角则角是第三或第四象限的角是第三或第四象限的角, ,其中错误的是其中错误的是( () ) A.A. B.B. C.C. D.D. 2.2.给出下列四个命题给出下列四个命题: :-75-75是第四象限角是第四象限角; ;225225是第三象限角是第三象限角; ;475475是是 第三象限角第三象限角; ;-31

8、0-310是第一象限角是第一象限角. .其中正确的命题有其中正确的命题有 ( () ) A.1A.1个个 B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个 3.3.将时钟拨快将时钟拨快2020分钟分钟, ,则分针转过的度数是则分针转过的度数是_._. 【解析】【解析】1.1.选选C.C.终边相同的角必相等错误终边相同的角必相等错误, ,如如0 0与与360360终边相同终边相同, ,但不相等但不相等; ; 锐角锐角的范围为的范围为0 09090, ,必是第一象限角必是第一象限角, ,正确正确; ; 小于小于9090的角是锐角错误的角是锐角错误, ,如负角如负角; ; 第二象限的角必大于第一象限

9、的角错误第二象限的角必大于第一象限的角错误, ,如如120120是第二象限角是第二象限角,390,390是第一是第一 象限角象限角; ; 若角若角的终边经过点的终边经过点M(0,-3),M(0,-3),则角则角是终边在是终边在y y轴负半轴上的角轴负半轴上的角, ,故故错误错误. . 其中错误的是其中错误的是. . 2.2.选选C.C.因为因为-90-90-75-7500, ,所以所以-75-75是第四象限角是第四象限角, ,正确正确; ;因为因为 180180225225270270, ,所以所以225225是第三象限角是第三象限角, ,正确正确; ;因为因为 360360+90+90475

10、475360360+180+180, ,所以所以475475是第二象限角是第二象限角, ,错误错误; ;因为因为 -360-360-310-310-270-270, ,所以所以-310-310是第一象限角是第一象限角, ,正确正确. .所以这四个命题中有所以这四个命题中有3 3 个是正确的个是正确的. . 3.3.分针每分钟转分针每分钟转6 6, ,由于顺时针旋转由于顺时针旋转, ,所以所以2020分钟转了分钟转了-120-120. . 答案答案: :-120-120 【解题策略】【解题策略】 根据角的概念解题的关键根据角的概念解题的关键 (1)(1)准确理解各个象限内角的特点准确理解各个象限

11、内角的特点, ,逐个判断所在的象限逐个判断所在的象限. . (2)(2)钟表的旋转方向都是顺时针方向钟表的旋转方向都是顺时针方向, ,所以所得的角应该是负角所以所得的角应该是负角. . 【补偿训练】【补偿训练】已知集合已知集合A=A=第一象限角第一象限角,B=,B= 锐角锐角,C=,C=小于小于9090的角的角,则下面关系正确的是则下面关系正确的是( () ) A.A=B=CA.A=B=CB.AB.AC C C.AC=BC.AC=BD.(BC)D.(BC)C C 【解析】【解析】选选D.D.由已知得由已知得B BC,C,所以所以BC=C,BC=C,故故D D正确正确. . 类型二终边相同的角的

12、表示及应用类型二终边相同的角的表示及应用( (直观想象直观想象) ) 【典例】【典例】写出终边落在直线写出终边落在直线y=xy=x上的角的集合上的角的集合S,S,并把并把S S中适合不等式中适合不等式- - 360360720720的元素的元素写出来写出来. . 四步四步内容内容 理解理解 题意题意 条件条件: :角的终边在直线角的终边在直线y=xy=x上上. . 结论结论: :求角的集合求角的集合; ; 求适合求适合-360-360720720的角的角. . 思路思路 探求探求 在在0 0360360内找到终边在内找到终边在y=xy=x上的角上的角; ; 推广到任意角推广到任意角; ; 找出

13、找出-360-360720720内的角内的角. . 四步四步内容内容 书写书写 表达表达 直线直线y=xy=x与与x x轴的夹角是轴的夹角是4545, ,在在0 0360360范围内范围内, ,终边在直线终边在直线y=xy=x上上 的角有两个的角有两个:45:45,225,225. . 因此因此, ,终边在直线终边在直线y=xy=x上的角的集合上的角的集合: : S=|=45S=|=45+k+k360360,kZ|=225,kZ|=225+k+k360360,kZ=|,kZ=| =45=45+2k+2k180180,kZ|=45,kZ|=45+(2k+1)+(2k+1)180180,kZ=|,

14、kZ=| =45=45+n+n180180,nZ.,nZ. 所以所以S S中适合中适合-360-360720720的元素是的元素是: : 4545-2-2180180=-315=-315;45;45-1-1180180=-135=-135; ; 4545+0+0180180=45=45;45;45+1+1180180=225=225; ; 4545+2+2180180=405=405;45;45+3+3180180=585=585. . 注意解题过程的规范性注意解题过程的规范性: : 终边在直线终边在直线y=xy=x上注意讨论两种情况上注意讨论两种情况. . 这种形式的两个集合取并集时合并为一

15、个集合这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合. . 四步四步内容内容 题后题后 反思反思 在在0 0360360范围内范围内, ,终边在终边在y=xy=x上的角有两个上的角有两个, ,这是同学们容易忽视的地方这是同学们容易忽视的地方; ;最后在最后在-360-360720720求求 角时角时, ,要适当选取要适当选取k k的值的值. . 【解题策略】【解题策略】 (1)(1)一般地一般地, ,可以将所给的角可以将所给的角化成化成k k360360+的形式的形式( (其中其中0 0360360, , kZ),kZ),其中的其中的就是所求的角就是所求的角. . (2)(2)如果所给的角的绝对值不

16、是很大如果所给的角的绝对值不是很大, ,可以通过如下方法完成可以通过如下方法完成: :当所给角是负角当所给角是负角 时时, ,采用连续加采用连续加360360的方式的方式; ;当所给角是正角时当所给角是正角时, ,采用连续减采用连续减360360的方式的方式, ,直到直到 所得结果达到要求为止所得结果达到要求为止. . 特别提醒特别提醒: :表示终边相同的角时表示终边相同的角时,kZ,kZ这一条件不能省略这一条件不能省略. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.(20201.(2020济南高一检测济南高一检测) )下列各角中下列各角中, ,与与3030角终边相同的角是角终边相同的角是 ( () )

17、 A.-390A.-390 B.-330B.-330 C.330C.330D.570D.570 【解析】【解析】选选B.B.与与3030角终边相同的角的集合为角终边相同的角的集合为|=30|=30+k+k360360,kZ,kZ, 取取k=-1,k=-1,可得可得=-330=-330, ,所以与角所以与角3030终边相同的角是终边相同的角是-330-330. . 2.2.写出终边落在写出终边落在x x轴上的角的集合轴上的角的集合S.S. 【解析】【解析】S=|=kS=|=k360360,kZ|=k,kZ|=k360360+180+180,kZ,kZ =|=2k=|=2k180180,kZ|=(

18、2k+1),kZ|=(2k+1)180180,kZ,kZ =|=n=|=n180180,nZ.,nZ. 【拓展延伸】【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点运用终边相同的角的注意点 所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角, ,连同角连同角在内可以用式子在内可以用式子k k360360+,kZ+,kZ表示表示, ,在在 运用时需注意以下四点运用时需注意以下四点: : (1)k(1)k是整数是整数, ,这个条件不能漏掉这个条件不能漏掉. . (2)(2)是任意角是任意角. . (3)k(3)k360360与与之间用之间用“+”+”连接连接, ,如如k k360360-30-30应看成应看成k k36

19、0360+(-30+(-30),), kZ.kZ. (4)(4)终边相同的角不一定相等终边相同的角不一定相等, ,但相等的角终边一定相同但相等的角终边一定相同, ,终边相同的角有无数个终边相同的角有无数个, , 它们相差周角的整数倍它们相差周角的整数倍. . 【拓展训练】【拓展训练】 写出与写出与=-1 910=-1 910终边相同的角的集合终边相同的角的集合, ,并把集合中适合不等式并把集合中适合不等式 -720-720360360的元素的元素写出来写出来. . 【解析】【解析】与与=-1 910=-1 910终边相同的角的集合为终边相同的角的集合为 |=k|=k360360-1 910-1

20、 910,kZ.,kZ. 因为因为-720-720360360, ,即即-720-720kk360360-1 910-1 910360360(kZ),(kZ),所以所以 3 k6 (kZ),3 k6 (kZ),故取故取k=4,5,6.k=4,5,6. k=4k=4时时,=4,=4360360-1 910-1 910=-470=-470; ; k=5k=5时时,=5,=5360360-1 910-1 910=-110=-110; ; k=6k=6时时,=6,=6360360-1 910-1 910=250=250. . 11 36 11 36 类型三象限角及其应用类型三象限角及其应用( (直观想

21、象直观想象) ) 角度角度1 1用不等式组表示角的集合用不等式组表示角的集合 【典例】【典例】如图所示如图所示. . (1)(1)写出终边落在射线写出终边落在射线OA,OBOA,OB上的角的集合上的角的集合. . (2)(2)写出终边落在阴影部分写出终边落在阴影部分( (包括边界包括边界) )的角的集合的角的集合. . 【思路导引】【思路导引】(1)(1)根据题目给出的角度分别写出根据题目给出的角度分别写出OA,OBOA,OB表示的角表示的角. . (2)(2)根据阴影部分写出不等式根据阴影部分写出不等式, ,注意两个角的先后顺序注意两个角的先后顺序. . 【解析】【解析】(1)(1)终边落在

22、射线终边落在射线OAOA上的角的集合是上的角的集合是|=k|=k360360+210+210,kZ.,kZ. 终边落在射线终边落在射线OBOB上的角的集合是上的角的集合是|=k|=k360360+300+300,kZ.,kZ. (2)(2)终边落在阴影部分终边落在阴影部分( (含边界含边界) )的角的集合是的角的集合是 |k|k360360+210+210kk360360+300+300,kZ.,kZ. 【变式探究】【变式探究】 如图所示如图所示, ,写出终边落在阴影部分的角的集合写出终边落在阴影部分的角的集合. . 【解析】【解析】设终边落在阴影部分的角为设终边落在阴影部分的角为,角角的集合

23、由两部分组成的集合由两部分组成. . |k|k360360+30+30kk360360+105+105,kZ.,kZ. |k|k360360+210+210kk360360+285+285,kZ.,kZ. 所以角所以角的集合应当是集合的集合应当是集合与与的并集的并集, ,即即 S=|kS=|k360360+30+30kk360360+105+105,kZ,kZ |k|k360360+210+210kk360360+285+285,kZ,kZ =|2k=|2k180180+30+302k2k180180+105+105,kZ,kZ |(2k+1)|(2k+1)180180+30+30(2k+1)

24、(2k+1)180180+105+105,kZ,kZ =|2k=|2k180180+30+302k2k180180+105+105或或 (2k+1)(2k+1)180180+30+30(2k+1)(2k+1)180180+105+105,kZ,kZ =|n=|n180180+30+30nn180180+105+105,nZ.,nZ. 角度角度2 2n n或或 所在象限的判定所在象限的判定 【典例典例】若若是第二象限角是第二象限角, ,则则2, 2, 分别是第几象限的角分别是第几象限的角? ? 【思路导引】【思路导引】根据已知条件根据已知条件, ,用不等式表示出用不等式表示出的范围的范围, ,再

25、求出再求出nn或或 的范围的范围, , 然后判定所在象限即可然后判定所在象限即可. . n 2 n 【解析】【解析】(1)(1)因为因为是第二象限角是第二象限角, , 所以所以9090+k+k360360180180+k+k360360(kZ),(kZ), 所以所以180180+k+k72072023602360+k+k720720, , 所以所以22是第三或第四象限的角是第三或第四象限的角, ,或角的终边在或角的终边在y y轴的负半轴上轴的负半轴上. . (2)(2)因为因为是第二象限角是第二象限角, , 所以所以9090+k+k360360180180+k+k360360(kZ),(kZ)

26、, 所以所以4545+k+k180180 90 90+k+k180180(kZ).(kZ). 2 当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时时, , 4545+n+n360360 90 90+n+n360360(nZ),(nZ), 即即 是第一象限角是第一象限角; ; 当当k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)时时, , 225225+n+n360360 270 270+n+n360360(nZ),(nZ), 即即 是第三象限角是第三象限角. . 故故 是第一或第三象限角是第一或第三象限角. . 2 2 2 2 2 【解题策略】【解题策略】关于角关于角nn或或 象限的确定象限的确定 (1)(1)

27、由由的范围的范围, ,表示出表示出n, n, 的范围的范围, ,由由n n的取值确定象限的取值确定象限. . (2)(2)特别地特别地, ,求求 所在象限时所在象限时, ,可以把每个象限等分为可以把每个象限等分为n n份份, ,在每一份中按顺序标在每一份中按顺序标 记一记一, ,二二, ,三三, ,四四, ,找到原象限数字即可找到原象限数字即可. . n n n 【题组训练】【题组训练】 1.1.角角=-60=-60+k+k180180(kZ)(kZ)的终边落在的终边落在( () ) A.A.第四象限第四象限B.B.第一、二象限第一、二象限 C.C.第一象限第一象限D.D.第二、四象限第二、四

28、象限 【解析】【解析】选选D.D.令令k=0,=-60k=0,=-60, ,在第四象限在第四象限; ; 再令再令k=1,=-60k=1,=-60+180+180=120=120, ,在第二象限在第二象限. . 2.2.已知角已知角的终边在如图阴影表示的范围内的终边在如图阴影表示的范围内( (不包含边界不包含边界),),那么角那么角的集合是的集合是 _._. 【解析】【解析】观察图形可知观察图形可知, ,角角的集合是的集合是 |k|k360360+45+45kk360360+150+150,kZ.,kZ. 答案答案: :|k|k360360+45+45kk360360+150+150,kZ,kZ

29、 3.3.若角若角是第一象限角是第一象限角, ,则则 (1)-(1)-是第是第_象限角象限角; (2) (2) 是第是第_象限角象限角. 3 【解析】【解析】因为因为是第一象限角是第一象限角, ,所以所以k k360360kk360360+90+90(kZ).(kZ). (1)-k(1)-k360360-90-90-k-k360360(kZ),(kZ),所以所以-是第四象限角是第四象限角. . (2)(2)方法一方法一( (分类讨论分类讨论):k):k120120 k k120120+30+30(kZ).(kZ). 当当k=3n(nZ)k=3n(nZ)时时, , n n360360 n n36

30、0360+30+30, , 所以所以 是第一象限角是第一象限角; ; 3 3 3 当当k=3n+1(nZ)k=3n+1(nZ)时时, , n n360360+120+120 n n360360+150+150, , 所以所以 是第二象限角是第二象限角; ; 当当k=3n+2(nZ)k=3n+2(nZ)时时, , n n360360+240+240 n n360360+270+270, , 所以所以 是第三象限角是第三象限角. . 综上可知综上可知, , 是第一或第二或第三象限角是第一或第二或第三象限角. . 3 3 3 3 3 方法二方法二( (几何法几何法):):如图如图, ,先将各象限分成

31、先将各象限分成3 3等份等份, ,再从再从x x轴的正向的上方起轴的正向的上方起, ,依次将依次将 各区域标上各区域标上1,2,3,4,1,2,3,4,则标有则标有1 1的区域即为的区域即为 角的终边落在的区域角的终边落在的区域, ,故故 为第一为第一 或第二或第三象限角或第二或第三象限角. . 答案答案: :(1)(1)四四(2)(2)一或二或三一或二或三 3 3 【补偿训练】【补偿训练】已知已知为第一象限角为第一象限角, ,求求180180- - 是第是第_象限角象限角. 2 【解析】【解析】因为因为为第一象限角为第一象限角, , 所以所以k k360360kk360360+90+90,k

32、Z,kZ, 所以所以k k180180 k k180180+45+45,kZ,kZ, 所以所以-45-45-k-k180180- -k- -k180180,kZ,kZ, 所以所以135135-k-k180180180180- 180- 180-k-k180180,kZ.,kZ. 当当k=2n(nZ)k=2n(nZ)时时,135,135-n-n360360180180- 180- 180-n-n360360, ,为第二象限角为第二象限角; ; 当当k=2n+1(nZ)k=2n+1(nZ)时时,-45,-45-n-n360360180180- -n- -n360360, ,为第四象限角为第四象限角

33、. . 所以所以180180- - 是第二或第四象限角是第二或第四象限角. . 答案答案: :二或四二或四 2 2 2 2 2 2 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.在下列说法中在下列说法中, ,正确的是正确的是( () ) 时钟经过两个小时时钟经过两个小时, ,时针转过的角是时针转过的角是6060; ; 钝角一定大于锐角钝角一定大于锐角; ; 射线射线OAOA绕端点绕端点O O按逆时针旋转一周所成的角是按逆时针旋转一周所成的角是0 0; ; -2 000-2 000是第二象限角是第二象限角. . A.A.B.B.C.C.D.D. 【解析】【解析】选选D.D.时钟经过两个小时时钟经过两

34、个小时, ,时针按顺时针方向旋转时针按顺时针方向旋转6060, ,因而转过的角因而转过的角 为为-60-60, ,所以所以不正确不正确. .钝角钝角的取值范围为的取值范围为9090180180, ,锐角锐角的取值的取值 范围为范围为0 09090, ,因此钝角一定大于锐角因此钝角一定大于锐角, ,所以所以正确正确. .射线射线OAOA按逆时针旋按逆时针旋 转一周所成的角是转一周所成的角是360360, ,所以所以不正确不正确. .-2 000-2 000=-6=-6360360+160+160与与160160 终边相同终边相同, ,是第二象限角是第二象限角, ,所以所以正确正确. . 2.17

35、92.179角是角是( () ) A.A.第一象限角第一象限角B.B.第二象限角第二象限角 C.C.第三象限角第三象限角 D.D.第四象限角第四象限角 【解析】【解析】选选B. 179B. 179是第二象限角是第二象限角. . 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )与与-457-457角终边相同的角的集合是角终边相同的角的集合是 ( () ) A.|=kA.|=k360360+457+457,kZ,kZ B.|=kB.|=k360360+97+97,kZ,kZ C.|=kC.|=k360360+263+263,kZ,kZ D.|=kD.|=k360360-263-26

36、3,kZ,kZ 【解析】【解析】选选C.-457C.-457=-2=-2360360+263+263, ,所以与所以与-457-457角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合 是是|=k|=k360360+263+263,kZ.,kZ. 4.4.若角若角=m=m360360+60+60,=k,=k360360+120+120(m,kZ),(m,kZ),则角则角与与的终边的的终边的 位置关系是位置关系是( () ) A.A.重合重合 B.B.关于原点对称关于原点对称 C.C.关于关于x x轴对称轴对称D.D.关于关于y y轴对称轴对称 【解析】【解析】选选D.D.角角的终边和的终边和6060角的终边相同角的终边相同, ,角角的终边与的终边与120120角终边相同角终边相同, , 因为因为180180-120-120=60=60, ,所以角所以角与与的终边的位置关系是关于的终边的位置关系是关于y y轴对称轴对称. . 5.2 0215.2 021角是第角是第_象限角象限角. 【解析】【解析】因为因为2 0212 021=5=5360360+221+221, ,因为因为221221角在第三象限角在第三象限, ,所以所以2 0212 021 是第三象限角是第三象限角. . 答案答案: :三三