（2021新苏教版）高中数学必修第一册3.3.2从函数观点看一元二次不等式ppt课件.ppt

1、3.3.2从函数观点看一元二次 不等式 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.什么是一元二次不等式什么是一元二次不等式? ? 2.2.如何求一元二次不等式的解集如何求一元二次不等式的解集? ? 1.1.一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念 只含有一个未知数只含有一个未知数, ,并且未知数最高次数是并且未知数最高次数是2 2的的_叫作一元二次不等式叫作一元二次不等式. . 整式不等式整式不等式 【思考】【思考】 不等式不等式x x2 2+ 0+ 0是一元二次不等式吗是一元二次不等式吗? ? 提示提示: :不是不是, ,一元二次不等式一定是整式不等式一元二次不等式一定是整式不等式

2、. . 2 x 2.2.一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系一元二次不等式和相应的二次函数的对应关系 (1)(1)关系关系:(a0):(a0) (2)(2)本质本质: :方程方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)和不等式和不等式axax2 2+bx+c0(a0)+bx+c0(a0)或或axax2 2+bx+c0)+bx+c0) 是函数是函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的特殊情况的特殊情况, ,它们之间是一种包含关系它们之间是一种包含关系, ,也就是当也就是当y=0y=0时时, , 函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+

3、c(a0)就转化为方程就转化为方程, ,当当y0y0或或y0y00时表中的时表中的x x1 1,x,x2 2有三重身份有三重身份, ,你能说出是哪三重身份吗你能说出是哪三重身份吗? ? 提示提示: :x x1 1,x,x2 2既是二次函数图象与既是二次函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标( (即二次函数的零点即二次函数的零点),),又是一元又是一元 二次方程的两个解二次方程的两个解, ,还是一元二次不等式解集的区间端点还是一元二次不等式解集的区间端点. . (2)(2)若一元二次不等式若一元二次不等式axax2 2+x-10(a0)+x-10(a0)的解集为的解集为R,R,则实数则实数

4、a a应满足什么条件应满足什么条件? ? 提示提示: :结合二次函数图象可知结合二次函数图象可知, ,若一元二次不等式若一元二次不等式axax2 2+x-10(a0)+x-10(a0)的解集为的解集为R,R,则则 解得解得a ,a ,所以不存在所以不存在a a使不等式使不等式axax2 2+x-10+x-10的解集为的解集为R.R. a0 14a0 ， ， 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)mx(1)mx2 2-5x0-5x0,a0,则一元二次不等式则一元二次不等式axax2 2+10+10无解无解( () ) (3)(

5、3)若一元二次方程若一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两根为的两根为x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2),),则一元二次不等式则一元二次不等式 axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为x|xx|x1 1xxx0,a0,所以不等式所以不等式axax2 2+10+10恒成立恒成立, ,即原不等式的解集为即原不等式的解集为R.R. (3)(3). .当当a0a0时时,ax,ax2 2+bx+c0+bx+c0的解集为的解集为x|xx|x1 1xxx0(2x+1)(x-1)0的解集是的解集是( () ) A. A. B.x|x1B.x|

6、x1 C.x|x1C.x|x2x2D. D. 【解析】【解析】选选D.D.因为方程因为方程(2x+1)(x-1)=0(2x+1)(x-1)=0的解为的解为x x1 1=- ,x=- ,x2 2=1,=1,所以根据函数所以根据函数y=(2xy=(2x +1)(x-1)+1)(x-1)的图象的图象, ,可得原不等式的解集为可得原不等式的解集为 . . 1 x|x 1 2 1 x|xx1 2 或 1 2 1 x|xx1 2 或 3.3.不等式不等式-3x-3x2 2+5x-40+5x-40的解集为的解集为_._. 【解析】【解析】原不等式变形为原不等式变形为3x3x2 2-5x+40.-5x+40.

7、 因为因为=(-5)=(-5)2 2-4-43 34=-230,4=-230,所以由函数所以由函数y=3xy=3x2 2-5x+4-5x+4的图象可知的图象可知,3x,3x2 2-5x+40-5x+40 的解集为的解集为 . . 答案答案: : 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一解一元二次不等式类型一解一元二次不等式( (数学运算、直观想象数学运算、直观想象) ) 【题组训练】【题组训练】 1.(20191.(2019全国卷全国卷)已知集合已知集合M=x|-4x2,N=x|xM=x|-4x2,N=x|x2 2-x-60,-x-60,则则MN=MN=( () ) A.x|-4x3A.x|-

8、4x3B.x|-4x-2B.x|-4x-2 C.x|-2x2C.x|-2x2D.x|2x3D.x|2x3 2.2.函数函数y= y= 的自变量的取值范围是的自变量的取值范围是( () ) A.x|x-4A.x|x3x3B.x|-4x3B.x|-4x0-3x-20B.xB.x2 2-4x+40-4x+40 C.-xC.-x2 2+2x-30+2x-30+5x-20 2 xx12 【解析】【解析】1.1.选选C.C.由题意得由题意得,M=x|-4x2,M=x|-4x2, N=x|-2x3,N=x|-2x3,则则MN=x|-2x2.MN=x|-2x0-3x-20的解集为的解集为 , ,不等式不等式x

9、 x2 2-4x+40-4x+40的解集为的解集为 x|x2,x|x2,不等式不等式-x-x2 2+2x-30+2x-30+5x-20的解集为的解集为 1 x|xx2 2 或 2 x|x 1. 3 【解题策略】【解题策略】解一元二次不等式的一般步骤解一元二次不等式的一般步骤 (1)(1)化标准化标准. .通过对不等式的变形通过对不等式的变形, ,使不等式右侧为使不等式右侧为0,0,使二次项系数为正使二次项系数为正. . (2)(2)判别式判别式. .对不等式左侧因式分解对不等式左侧因式分解, ,若不易分解若不易分解, ,则计算对应方程的判别式则计算对应方程的判别式. . (3)(3)求实根求实

10、根. .求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. . (4)(4)画草图画草图. .根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. . (5)(5)写解集写解集. .根据图象写出不等式的解集根据图象写出不等式的解集. . 【补偿训练】【补偿训练】 已知集合已知集合A= A= 则则AB=AB=( () ) 【解析】【解析】选选D.D.因为因为A= ,B=A= ,B= , , 所以所以AB=AB= . . 22 x|x2x30,Bx|x2x30 ， A.x|3x1 B.x|0

11、x1 C.x|3x 1 D. x|3x1 类型二一元二次不等式的实际应用类型二一元二次不等式的实际应用( (数学建模、数学运算数学建模、数学运算) ) 【典例】【典例】国家原计划以国家原计划以2 4002 400元元/ /吨的价格收购某种农产品吨的价格收购某种农产品m m吨吨. .按规定按规定, ,农户向农户向 国家纳税为国家纳税为: :每收入每收入100100元纳税元纳税8 8元元( (称作税率为称作税率为8 8个百分点个百分点, ,即即8%).8%).为了减轻农民为了减轻农民 负担负担, ,制定积极的收购政策制定积极的收购政策. .根据市场规律根据市场规律, ,税率降低税率降低x x个百分

12、点个百分点, ,收购量能增加收购量能增加 2x2x个百分点个百分点. .试确定试确定x x的范围的范围, ,使税率调低后使税率调低后, ,国家此项税收总收入不低于原计划国家此项税收总收入不低于原计划 的的78%.78%. 【解题策略】【解题策略】一元二次不等式应用题的关注点一元二次不等式应用题的关注点 (1)(1)常见模型常见模型: :二次函数模型二次函数模型. . (2)(2)解题流程解题流程: :解题时要审清题意解题时要审清题意, ,准确找出其中的不等关系准确找出其中的不等关系, ,再利用一元二次不再利用一元二次不 等式求解等式求解, ,确定答案时应注意变量具有的确定答案时应注意变量具有的

13、“实际含义实际含义”. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 某单位在对一个长某单位在对一个长800 m800 m、宽、宽600 m600 m的草坪进行绿化时的草坪进行绿化时, ,是这样想的是这样想的: :中间为矩形中间为矩形 绿草坪绿草坪, ,四周是等宽的花坛四周是等宽的花坛, ,如图所示如图所示, ,若要保证绿草坪的面积不小于总面积的若要保证绿草坪的面积不小于总面积的 二分之一二分之一, ,则花坛宽度的取值范围是多少则花坛宽度的取值范围是多少? ?当花坛宽度为多少时当花坛宽度为多少时, ,绿草坪面积最绿草坪面积最 小小? ? 【解析】【解析】设花坛的宽度为设花坛的宽度为x m,x m,则绿草坪的长

14、为则绿草坪的长为(800-2x)m,(800-2x)m,宽为宽为(600-2x)m,(600-2x)m,根据题根据题 意得意得(800-2x)(800-2x)(600-2x) (600-2x) 800800600600整理得整理得x x2 2-700 x+60 0000,-700 x+60 0000, 解不等式得解不等式得x600(x600(舍去舍去) )或或x100,x100, 由题意知由题意知 x0,x0,所以所以0 x100.0 x100. 当当x x在在(0,100(0,100之间取值时之间取值时, ,绿草坪的面积不小于总面积的二分之一绿草坪的面积不小于总面积的二分之一. . 绿草坪的

15、面积绿草坪的面积S=(800-2x)S=(800-2x)(600-2x)(600-2x) =4 =4 当当x=100 x=100时时S S取得最小值取得最小值. . 即当花坛宽度为即当花坛宽度为100 m100 m时绿草坪面积最小时绿草坪面积最小. . 1 2 2 (x350)10 000(0 x100)， 类型三类型三“三个二次三个二次”的关系及应用的关系及应用( (逻辑推理逻辑推理) ) 角度角度1 1一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式的恒成立问题 【典例】【典例】(1)(1)若一元二次不等式若一元二次不等式2kx2kx2 2+kx- 0+kx- 0对一切实数对一切实数x x都成立都

16、成立, ,则则k k的取值范的取值范 围为围为( () ) A.(-3,0A.(-3,0 B.-3,0)B.-3,0) C.-3,0C.-3,0D.(-3,0)D.(-3,0) (2)(2)若对若对x-3,-1x-3,-1上恒有上恒有x x2 2-ax-30-ax-30成立成立, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 【思路导引】【思路导引】转化为二次函数转化为二次函数, ,结合图象求解结合图象求解. . 3 8 【解析】【解析】(1)(1)选选D.D.一元二次不等式一元二次不等式2kx2kx2 2+kx- 0+kx- 0对一切实数对一切实数x x都成立都成立, , 则必有则必有 解得

17、解得-3k0.-3k0. (2)(2)要使要使 x x2 2-ax-30-ax-30在在-3,-1-3,-1上恒成立上恒成立, ,则必须使函数则必须使函数y=xy=x2 2-ax-3-ax-3在在-3,-1-3,-1上的上的 图象在图象在x x轴的下方轴的下方, ,由于函数的图象开口向上由于函数的图象开口向上, , 此时此时a a应满足应满足 解得解得a-2.a-2.故当故当a(-a(-,-2),-2)时时, ,有有x x2 2-ax-30-ax-30+kx+ 0对一切实数对一切实数x x都成都成 立立”, ,试求试求k k的取值范围的取值范围. . 【解析】【解析】当当k=0k=0时不等式为

18、时不等式为 0,0,显然成立显然成立; ; 当当k0k0时则有时则有 解得解得0k3.0k3.所以所以0k3.0k3. 3 8 2 2k0 3 k4 2k0 8 ， 3 8 角度角度2 2一元二次不等式给解求参数问题一元二次不等式给解求参数问题 【典例】【典例】已知一元二次不等式已知一元二次不等式x x2 2+px+q0+px+q0+px+10的解集的解集. . 【思路导引】【思路导引】由一元二次不等式的解集由一元二次不等式的解集, ,可得相应二次函数与可得相应二次函数与x x轴的交点轴的交点, ,再利用再利用 根与系数的关系求待定系数根与系数的关系求待定系数. . 11 x|x 23 【解析

19、】【解析】因为因为x x2 2+px+q0+px+q0+px+10即为即为- x- x2 2+ x+10,+ x+10,整理得整理得x x2 2-x-60,-x-60,解得解得-2x3.-2x0+px+10的解集为的解集为x|-2x3.x|-2x0(a0)+bx+c0(a0)恒成立恒成立 axax2 2+bx+c0(a0)+bx+c0(a0)恒成立恒成立 (2)(2)在给定区间上的恒成立问题在给定区间上的恒成立问题 a0a0时时,ax,ax2 2+bx+c0+bx+c0在在xx|xxx|x上恒成立上恒成立y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c在在x=,x=x=,x=时的函数值同时时的函数值

20、同时 小于小于0.0. a0a0+bx+c0在在xx|xxx|x上恒成立上恒成立y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c在在x=,x=x=,x=时的函数值同时时的函数值同时 大于大于0.0. a0; 0; a0; 0. 2.2.解决一元二次不等式给解求参数问题的关注点解决一元二次不等式给解求参数问题的关注点 (1)(1)由一元二次不等式中不等号的方向及其解集可以逆推二次函数的开口由一元二次不等式中不等号的方向及其解集可以逆推二次函数的开口; ; (2)(2)一元二次不等式一元二次不等式axax2 2+bx+c0(a0)+bx+c0(a0)的解集的端点值是一元二次方程的解集的端点值是一元二次方

21、程 axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根的根, ,也是函数也是函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)与与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. . 【题组训练】【题组训练】 1.1.不等式不等式axax2 2+5x+c0(a0)+5x+c0(a0)的解集为的解集为 , ,则则a,ca,c的值为的值为( () ) A.a=6,c=1A.a=6,c=1B.a=-6,c=-1B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6C.a=1,c=6D.a=-1,c=-6D.a=-1,c=-6 【解析】【解析】选选B.B.因为不等式因为不等式axax2 2+5x+c0

22、(a0)+5x+c0(a0)的解集为的解集为 , ,则则x x1 1= ,x= ,x2 2= = 分别是方程分别是方程axax2 2+5x+c=0+5x+c=0的两个根的两个根, ,故故 解得解得a=-6,c=-1.a=-6,c=-1. 11 x|x 32 11 x|x 32 1 3 1 2 115 , 32a 11c , 32a ， 2.2.若对于任意若对于任意xm,m+1,xm,m+1,都有都有x x2 2+mx-10+mx-10成立成立, ,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_._. 【解析】【解析】作出二次函数作出二次函数y=xy=x2 2+mx-1+mx-1的草图的草图, ,

23、对于任意对于任意xm,m+1,xm,m+1,都有都有x x2 2+mx-10,+mx-10, 则则 m0.m0(a0)+bx+c0(a0)的解集为的解集为x|2x3,x|2x3,求关于求关于x x的不等式的不等式cxcx2 2 +bx+a0+bx+a0(a0)+bx+c0(a0)的解集为的解集为x|2x3x|2x3可知可知,a0,a0且且x x1 1=2=2和和x x2 2=3=3 是方程是方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根的两根, ,由根与系数的关系可知由根与系数的关系可知 =-5, =6.=-5, =6.由由a0a0知知c0,c0, , ,故不等式故不等式cxcx2 2+

24、bx+a0,+bx+a0,+ 0,即即x x2 2- 0,- 0,解得解得x x ,x ,所所 以不等式以不等式cxcx2 2+bx+a0+bx+a00的解集是的解集是 ( () ) 【解析】【解析】选选D.D.方程方程 =0=0的两根为的两根为x x1 1= ,x= ,x2 2= ,= ,所以原不等式的解集所以原不等式的解集 为为 11 (x)(x) 23 11 A.(x|x) 32 1 B.(x|x) 2 1 C.(x|x) 3 11 D.(x|xx) 32 或 11 (x)(x) 23 1 2 1 3 11 x|xx. 32 或 2.2.一元二次不等式一元二次不等式axax2 2+bx+

25、20(a0)+bx+20(a0)的解集是的解集是 , ,则则a+ba+b的值是的值是( () ) A.10A.10B.-10B.-10C.14C.14D.-14D.-14 【解析】【解析】选选D.D.方程方程axax2 2+bx+2=0(a0)+bx+2=0(a0)的两个根为的两个根为- - 所以所以a=-12,b=-2,a+b=-14a=-12,b=-2,a+b=-14 1 1 (, ) 2 3 11 23 和 ， 11b112 23a23a ， 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )某公司每个月的利润某公司每个月的利润y(y(单位单位: :万元万元) )关于月份关

26、于月份n n的关的关 系式为系式为y=ny=n2 2-9n+114,-9n+114,则该公司则该公司1212个月中个月中, ,利润大于利润大于100100万元的月份共有万元的月份共有( () ) A.4A.4个个B.5B.5个个C.6C.6个个D.7D.7个个 【解析】【解析】选选C.C.由题意得由题意得n n2 2-9n+114100,-9n+114100,解得解得n2n7n7故故n=1,8,9,10,11,12,n=1,8,9,10,11,12,共共6 6 个月个月. . 4.(4.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )二次函数二次函数y=xy=x2 2-4x+3-4x+3

27、当函数值为负数时当函数值为负数时x x的取值范围的取值范围 是是_._. 【解析】【解析】由于方程由于方程x x2 2-4x+3=0-4x+3=0的两个根为的两个根为x x1 1=1,x=1,x2 2=3.=3.故不等式故不等式x x2 2-4x+30-4x+30的解集为的解集为 x|1x3.x|1x3. 答案答案: :1x31x3 5.5.不等式不等式-x-x2 2+mx+m0+mx+m0恒成立的条件是恒成立的条件是_._. 【解析】【解析】-x-x2 2+mx+m0+mx+m0恒成立恒成立, ,等价于等价于0,0,即即m m2 2+4m0,+4m0,所以所以-4m0.-4m0. 答案答案: :-4m0-4m0