（2021新苏教版）高中数学必修第一册3.2.2基本不等式的应用ppt课件.ppt

1、3.2.2基本不等式的应用 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一常数代换法类型一常数代换法( (数学抽象、逻辑推理数学抽象、逻辑推理) ) 【典例】【典例】已知已知a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,则则 的最小值为的最小值为_._. 【思路导引】【思路导引】把把“1”1”代换为代换为“a+b”(a+b”(或者在或者在 上乘以上乘以(a+b),(a+b),构造成基本不构造成基本不 等式的原型等式的原型, ,进而求出最小值进而求出最小值. . 【解析】【解析】因为因为a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,所以所以 = =4,= =4,即即 的最小值为的最小值为4,4,当

2、且仅当当且仅当a=b= a=b= 时等号成立时等号成立. . 答案答案: :4 4 11 ab 11 ab 11 ab ababbab a 222 ababa b 11 ab 1 2 【变式探究】【变式探究】 (1)(1)本例的条件和结论互换即本例的条件和结论互换即: :已知已知a0,b0, =4,a0,b0, =4,则则a+ba+b的最小值为的最小值为_._. 【解析】【解析】由由 =4,=4,得得 =1.=1. 所以所以a+b= (a+b)= =1.a+b= (a+b)= =1. 当且仅当当且仅当a=b= a=b= 时取等号时取等号. . 答案答案: :1 1 11 ab 11 ab 11

3、 4a4b 11 () 4a4b 1ba1ba 2 24a4b24a 4b 1 2 (2)(2)若本例条件变为若本例条件变为: :已知已知a0,b0,a+2b=3,a0,b0,a+2b=3,则则 的最小值为的最小值为_._. 【解析】【解析】由由a+2b=3a+2b=3得得 b=1, b=1, 所以所以 当且仅当当且仅当a=2b= a=2b= 时时, ,取等号取等号. . 答案答案: : 21 ab 12 a 33 2112214a4b4a 4b8 ( ab)()2. ab33ab33b3a33b 3a3 3 2 8 3 【解题策略】【解题策略】 常数代换法求最值的方法步骤常数代换法求最值的方

4、法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题常数代换法适用于求解条件最值问题. .应用此种方法求解最值的基本步骤为应用此种方法求解最值的基本步骤为: : (1)(1)根据已知条件或其变形确定定值根据已知条件或其变形确定定值( (常数常数).). (2)(2)把确定的定值把确定的定值( (常数常数) )变形为变形为1.1. (3)(3)把把“1”1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除的表达式与所求最值的表达式相乘或相除, ,进而构造和或积的形式进而构造和或积的形式. . (4)(4)利用基本不等式求解最值利用基本不等式求解最值. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 1.1.已知已知a0,b0,a+b=2

5、,a0,b0,a+b=2,则则y= y= 的最小值是的最小值是( () ) A. A. B.4B.4C. C. D.5D.5 【解析】【解析】选选C.C.依题意依题意, ,得得 当且仅当当且仅当 时取等号时取等号, , 即即 的最小值是的最小值是 . . 14 ab 7 2 9 2 141 141b4a1b 4a9 () ab5()(52), ab2 ab2ab2ab2 （） 9 2 ab2, 24 ,a,b b4a 33 ab 即 14 ab 2.2.若正数若正数x,yx,y满足满足x+3y=5xy,x+3y=5xy,则则3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是 ( () ) A. A. B

6、. B. C.5C.5D.6D.6 【解析】【解析】选选C.C.由由x+3y=5xy,x+3y=5xy, 可得可得 =1,=1, 所以所以3x+4y=(3x+4y)3x+4y=(3x+4y) 当且仅当当且仅当x=1,y= x=1,y= 时取等号时取等号, , 故故3x+4y3x+4y的最小值是的最小值是5.5. 24 5 28 5 13 5y5x 13943x12y133x 12y1312 ()2 5 5y5x555y5x55y 5x55 ， 1 2 类型二消元法类型二消元法 【典例】【典例】已知已知a0,b0,a0,b0,且且2a+b=ab-1,2a+b=ab-1,则则a+2ba+2b的最小

7、值为的最小值为_._. 【思路导引】【思路导引】先把先把2a+b=ab-12a+b=ab-1变形为用变形为用b b表示表示a a的形式的形式, ,再把再把a+2ba+2b中的中的a a消去消去, ,配凑配凑 成能利用基本不等式求解的式子成能利用基本不等式求解的式子. . 【解析】【解析】由由2a+b=ab-1,2a+b=ab-1,得得a= a= 因为因为a0,b0,a0,b0,所以所以a= 0,b+10,a= 0,b+10,所以所以b2,b2, 所以所以a+2b= +2b= +2(b-2)+4a+2b= +2b= +2(b-2)+4 =2(b-2)+ +52 +5=2(b-2)+ +52 +5

8、 =5+2 ,=5+2 , 当且仅当当且仅当2(b-2)= ,2(b-2)= ,即即b=2+ b=2+ 时等号成立时等号成立. . 答案答案: :5+2 5+2 b1 , b2 b1 b2 b1 b2 b23 b2 （） 3 b2 3 2b2 b2 （） 6 3 b2 6 2 6 【解题策略】【解题策略】 含有多个变量的条件最值问题的解决方法含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题对含有多个变量的条件最值问题, ,若无法直接利用基本不等式求解若无法直接利用基本不等式求解, ,可尝试减少可尝试减少 变量的个数变量的个数, ,即用其中一个变量表示另一个即用其中一个变量表示

9、另一个, ,再代入代数式中转化为只含有一个再代入代数式中转化为只含有一个 变量的最值问题变量的最值问题. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 若正数若正数x,yx,y满足满足x x2 2+3xy-1=0,+3xy-1=0,则则x+yx+y的最小值是的最小值是( () ) 【解析】【解析】选选B.B.对于对于x x2 2+3xy-1=0+3xy-1=0可得可得y= y= 所以所以x+y= (x+y= (当且仅当当且仅当 , ,即即x= x= 时等号成立时等号成立).). 22 232 3 A. B. C. D. 3333 1 1 (x), 3 x 2x122 2 2 33x93 2x1 33x 2 2

10、 类型三基本不等式的实际应用类型三基本不等式的实际应用( (数学建模数学建模) ) 【典例】【典例】如图如图, ,动物园要围相同面积的长方形虎笼四间动物园要围相同面积的长方形虎笼四间, ,一面可利用原有的墙一面可利用原有的墙, ,其他各面用钢筋其他各面用钢筋 网围成网围成. . (1)(1)现有可围现有可围36 m36 m长网的材料长网的材料, ,每间虎笼的长、宽各设计为多少时每间虎笼的长、宽各设计为多少时, ,可使每间虎笼面积最大可使每间虎笼面积最大? ? (2)(2)要使每间虎笼面积为要使每间虎笼面积为24 m24 m2 2, ,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时则每间虎笼的长、宽各设计为多

11、少时, ,可使围成四间虎笼的钢可使围成四间虎笼的钢 筋网总长最小筋网总长最小? ? 【思路导引】【思路导引】若若a0,b0,(1)a0,b0,(1)已知已知a+ba+b为定值为定值, ,可以求可以求abab的最大值的最大值;(2);(2)已知已知abab为定值为定值, ,可以求可以求a+ba+b 的最小值的最小值. . 【解析】【解析】设每间虎笼长设每间虎笼长x m,x m,宽宽y m,y m,则由条件知则由条件知:4x+6y=36,:4x+6y=36,即即2x+3y=18.2x+3y=18. 设每间虎笼面积为设每间虎笼面积为S,S,则则S=xy.S=xy. (1)(1)方法一方法一: :由于

12、由于2x+3y2 2x+3y2 所以所以2 18,2 18,得得xy ,xy , 即即S ,S ,当且仅当当且仅当2x=3y2x=3y时时, ,等号成立等号成立. . 由由 故每间虎笼长故每间虎笼长4.5 m,4.5 m,宽宽3 m3 m时时, ,可使面积最大可使面积最大. . 2x 3y2 6xy, 6xy 27 2 27 2 2x3y18,x4.5, 2x3y,y3. 解得 方法二方法二: :由由2x+3y=18,2x+3y=18,得得x=9- y.x=9- y. 因为因为x0,x0,所以所以9- y0,9- y0,所以所以0y6,0y6, S=xy= S=xy= 因为因为0y6,0y0,

13、6-y0, 所以所以S S 当且仅当当且仅当6-y=y,6-y=y,即即y=3y=3时时, ,等号成立等号成立, ,此时此时x=4.5.x=4.5. 故每间虎笼长故每间虎笼长4.5 m,4.5 m,宽宽3 m3 m时时, ,可使面积最大可使面积最大. . 3 2 3 2 33 (9y)y6y y. 22 （） 2 36yy27 . 222 （） (2)(2)由条件知由条件知S=xy=24.S=xy=24. 设钢筋网总长为设钢筋网总长为l,l,则则l=4x+6y.l=4x+6y. 方法一方法一: :因为因为2x+3y2 =24,2x+3y2 =24, 所以所以l=4x+6y=2(2x+3y)48

14、.=4x+6y=2(2x+3y)48. 当且仅当当且仅当2x=3y2x=3y时时, ,等号成立等号成立. . 由由 故每间虎笼长故每间虎笼长6 m,6 m,宽宽4 m4 m时时, ,可使钢筋网总长最小可使钢筋网总长最小. . 2x 3y2 6xy 2x3yx6, , xy24y4. 解得 方法二方法二: :由由xy=24,xy=24,得得x= x= 所以所以l=4x+6y= +6y=6 6=4x+6y= +6y=6 62 =48.2 =48. 当且仅当当且仅当 =y,=y,即即y=4y=4时时, ,等号成立等号成立, ,此时此时x=6.x=6. 故每间虎笼长故每间虎笼长6 m,6 m,宽宽4

15、m4 m时时, ,可使钢筋网总长最小可使钢筋网总长最小. . 24 . y 96 y 16 (y) y 16 y y 16 y 【解题策略】【解题策略】 应用基本不等式解决实际问题的方法应用基本不等式解决实际问题的方法 (1)(1)先理解题意先理解题意, ,设出变量设出变量, ,一般把要求最值的量定为函数一般把要求最值的量定为函数; ; (2)(2)建立相应的函数关系建立相应的函数关系, ,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题; ; (3)(3)在定义域内在定义域内, ,求出函数的最大值或最小值求出函数的最大值或最小值, ,正确写出答案正确写出答案.

16、 . 【跟踪训练】【跟踪训练】 某镇计划建造一个室内面积为某镇计划建造一个室内面积为800 m800 m2 2的矩形蔬菜温室的矩形蔬菜温室. .在温室内在温室内, ,沿左、右两侧沿左、右两侧 与后侧内墙各保留与后侧内墙各保留1 m1 m宽的通道宽的通道, ,沿前侧内墙保留沿前侧内墙保留3 m3 m宽的空地宽的空地. .当矩形温室的边当矩形温室的边 长各为多少时长各为多少时, ,蔬菜的种植面积最大蔬菜的种植面积最大? ?最大种植面积是多少最大种植面积是多少? ? 【解析】【解析】设矩形温室的左侧边长为设矩形温室的左侧边长为a m,a m,后侧边长为后侧边长为b m,b m,蔬菜的种植面积为蔬菜的

17、种植面积为S mS m2 2, , 则则ab=800.ab=800. 所以所以S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)808-4 =648,S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)808-4 =648,当且仅当当且仅当a=2b,a=2b, 即即a=40,b=20a=40,b=20时等号成立时等号成立, ,则则S S最大值 最大值=648. =648. 答答: :当矩形温室的左侧边长为当矩形温室的左侧边长为40 m,40 m,后侧边长为后侧边长为20 m20 m时时, ,蔬菜的种植面积最大蔬菜的种植面积最大, ,最最 大种植面积为大种植

18、面积为648 m648 m2 2. . 2ab 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.若若a0,b0,a0,b0,且且a+b=4,a+b=4,则下列不等式恒成立的是则下列不等式恒成立的是( () ) A. A. B. 1B. 1 C. 2C. 2D.aD.a2 2+b+b2 288 【解析】【解析】选选D.4=a+b2 (D.4=a+b2 (当且仅当当且仅当a=ba=b时时, ,等号成立等号成立),),即即 2,ab4, ,2,ab4, , A,CA,C不成立不成立; 1,B; 1,B不成立不成立;a;a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=16-2ab8.-2ab=

19、16-2ab8. 11 ab4 11 ab ab ab ab 11 ab4 11ab4 ababab 2.2.若若x0,y0,x0,y0,且且 =1,=1,则则xyxy有有( () ) A.A.最大值最大值6464B.B.最小值最小值 C.C.最小值最小值 D.D.最小值最小值6464 【解析】【解析】选选D.D.由题意由题意, ,得得xy= xy=2y+8x2 ,xy= xy=2y+8x2 ,所以所以 8,8, 即即xyxy有最小值有最小值64,64,等号成立的条件是等号成立的条件是x=4,y=16.x=4,y=16. 28 xy 1 64 1 2 28 () xy 2y 8x8 xyxy

20、3.3.设设0 x2,0 x2,则函数则函数y= y= 的最大值为的最大值为_._. 【解析】【解析】因为因为0 x2,0 x2, 所以所以03x20,03x20, 所以所以y= =4,y= =4, 当且仅当当且仅当3x=8-3x,3x=8-3x,即即x= x= 时时, ,取等号取等号. . 所以当所以当x= x= 时时,y= ,y= 有最大值有最大值4.4. 答案答案: :4 4 3x83x（） 3x83x8 3x83x 22 （） （） 4 3 4 3 3x83x（） 4.4.已知已知x0,y0,x0,y0,且且 =1,=1,则则x+yx+y的最小值为的最小值为_._. 【解析】【解析】因

21、为因为x0,y0, =1,x0,y0, =1, 所以所以x+y= (x+y)= +106+10=16,x+y= (x+y)= +106+10=16, 当且仅当当且仅当 , ,即即x=4,y=12x=4,y=12时时, ,上式取等号上式取等号. . 故当故当x=4,y=12x=4,y=12时时,(x+y),(x+y)min min=16. =16. 答案答案: :1616 19 xy 19 xy 19 () xy y9x xy y9x xy 5.5.某游泳馆出售冬季游泳卡某游泳馆出售冬季游泳卡, ,每张每张240240元元, ,其使用规定其使用规定: :不记名不记名, ,每卡每次只限一每卡每次只

22、限一 人人, ,每天只限一次每天只限一次. .某班有某班有4848名同学名同学, ,老师打算组织同学们集体去游泳老师打算组织同学们集体去游泳, ,除需购买除需购买 若干张游泳卡外若干张游泳卡外, ,每次游泳还需包一辆汽车每次游泳还需包一辆汽车, ,无论乘坐多少名同学无论乘坐多少名同学, ,每次的包车每次的包车 费均为费均为4040元元. .若使每名同学游若使每名同学游8 8次次, ,每人最少应交多少元钱每人最少应交多少元钱? ? 【解析】【解析】设买设买x x张游泳卡张游泳卡, ,总开支为总开支为y y元元, ,则每批去则每批去x x名同学名同学, ,共需去共需去 批批, ,总开总开 支又分为支又分为: :买卡所需费用买卡所需费用240 x,240 x,包车所需费用包车所需费用 40.40. 所以所以y=240 x+ y=240 x+ 40(0 x48,xZ).40(0 x48,xZ). 所以所以y=240 240y=240 2402 =3 840,2 =3 840, 当且仅当当且仅当x= ,x= ,即即x=8x=8时取等号时取等号. . 故每人最少应交故每人最少应交 =80(=80(元元).). 48 8 x 48 8 x 48 8 x 64 (x) x 64 x x 64 x 3 840 48