(2021新苏教版)高中数学必修第一册3.2.1基本不等式的证明ppt课件.ppt
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1、3.2.1基本不等式的证明 必备知识必备知识自主学习自主学习 导导 思思 1.1.基本不等式的应用条件是什么基本不等式的应用条件是什么? ? 2.2.基本不等式有哪些基本用途基本不等式有哪些基本用途? ? 1.1.算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 对于正数对于正数a,b,a,b,我们把我们把_称为称为a,ba,b的算术平均数的算术平均数,_,_称为称为a,ba,b的几何平均的几何平均 数数. . 2.2.基本不等式基本不等式 (1)(1)公式公式: : 条件条件:a,b:a,b是正数是正数; ; 结论结论:_;:_; 等号成立等号成立: :当且仅当当且仅当a=ba=b时时. . a
2、b 2 ab ab ab 2 (2)(2)本质本质: :基本不等式表明基本不等式表明, ,两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均不小于它们的几何平均 数数 (3)(3)变形式变形式: :当当a,bRa,bR时时,a,a2 2+b+b2 22ab,a2ab,a2 2+b+b2 2+2ab4ab,ab ,ab (+2ab4ab,ab ,ab (当当 且仅当且仅当a=ba=b时时, ,等号成立等号成立).). ab 2 ab. 22 ab 2 2 (ab) 2 【思考】【思考】 (1)(1)基本不等式成立的条件能省略吗基本不等式成立的条件能省略吗? ? 提示提示: :基本不等
3、式成立的条件基本不等式成立的条件“a0,b0”a0,b0”不能省略不能省略, ,例如例如 是不成立的是不成立的. . (2)“(2)“当且仅当当且仅当a=ba=b时时, ,等号成立等号成立”的含义是什么的含义是什么? ? 提示提示: :一方面是当一方面是当a=ba=b时取等号时取等号, ,即即a=ba=b ; ;另一方面是仅当另一方面是仅当a=ba=b时取等时取等 号号, ,即即 a=b.a=b. 12 12 2 () () () () ab ab 2 ab ab 2 3.3.用基本不等式求最值的结论用基本不等式求最值的结论 对于正数对于正数a,b,a,b, (1)(1)和和a+ba+b为定值
4、时为定值时, ,积积abab有最有最_值值; ;积积abab为定值时为定值时, ,和和a+ba+b有最有最_值值. . (2)(2)取等号的条件取等号的条件: :当且仅当当且仅当_时时, ., . (3)(3)应用应用: :求和式的最小值求和式的最小值, ,乘积式的最大值乘积式的最大值. . ab ab 2 大大小小 a=ba=b 【基础小测】【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)对任意对任意a,bR,aa,bR,a2 2+b+b2 22ab,a+b2 2ab,a+b2 均成立均成立. .( () ) (2)(2)若若a0,a0,
5、则则a+ =4.a+ =4.( () ) (3)(3)若若a0,b0,a0,b0,则则ab .ab .( () ) ab 44 2 a aa 2 ab () 2 提示提示: :(1)(1). .任意任意a,bR,a,bR,有有a a2 2+b+b2 22ab2ab成立成立, ,当当a,ba,b都为正数时都为正数时, ,不等式不等式a+ba+b 2 2 成立成立. . (2)(2). .只有当只有当a0a0时时, ,根据基本不等式根据基本不等式, ,才有不等式才有不等式a+ =4a+ =4成立成立. . (3).(3).因为因为 , ,所以所以ab .ab . ab 44 2 a aa ab a
6、b 2 2 ab () 2 2.2.不等式不等式(x-2y)+ 2(x-2y)+ 2成立的前提条件为成立的前提条件为( () ) A.x2yA.x2yB.x2yB.x2yC.x2yC.x2yD.x2yD.x0,x-2y0,即即x2y.x2y. 1 x2y 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )设设x,yx,y满足满足x+y=40,x+y=40,且且x,yx,y都是正数都是正数, ,则则xyxy的最大值的最大值 为为_._. 【解析】【解析】因为因为x,yx,y都是正数都是正数, ,且且x+y=40,x+y=40,所以所以xy =400,xy =400,当且仅当当且仅当
7、x=y=20 x=y=20时时 取等号取等号. . 答案答案: :400400 2 xy () 2 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一利用基本不等式求简单问题的最值类型一利用基本不等式求简单问题的最值( (逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.当当x1x1时时,(x-1)+ +2,(x-1)+ +2的最小值为的最小值为_._. 2.2.若若x0,y0,x0,y0,且且x+y=18,x+y=18,则则xyxy的最大值是的最大值是_._. 3.3.已知已知x0,x0,x-10,所以所以t2 +2=8,t2 +2=8,当且仅当当且仅当x-1= ,x-1=
8、 ,即即x=4x=4时时,t,t的最小值为的最小值为8.8. 答案答案: :8 8 2.2.由于由于x0,y0,x0,y0,则则x+y2 ,x+y2 ,所以所以xy =81,xy =81,当且仅当当且仅当x=y=9x=y=9时时,xy,xy取到最大取到最大 值值81.81. 答案答案: :8181 3.3.因为因为x0,x0.-x0.则则3x+ =-12,3x+ =-12,当且仅当当且仅当 =-3x,=-3x, 即即x=-2x=-2时时,3x+ ,3x+ 取得最大值为取得最大值为-12.-12. 答案答案: :-12-12 9 x1 9 x1 x1 () 9 x1 xy 2 xy () 2 1
9、21212 3x 23x xxx ()() () 12 x 12 x 【解题策略】【解题策略】 基本不等式的使用条件基本不等式的使用条件 (1)(1)一正一正:a0,b0,:a0,b0,即即: :所求最值的各项必须都是正值所求最值的各项必须都是正值; ; (2)(2)二定二定:ab:ab或或a+ba+b为定值为定值, ,即即: :含变量的各项的和或积必须是常数含变量的各项的和或积必须是常数; ; (3)(3)三相等三相等: :当且仅当当且仅当a=ba=b时取等号时取等号; ;即即: :等号能否取得等号能否取得. . 在应用基本不等式求最值时在应用基本不等式求最值时, ,要逐一验证三个条件是否成
10、立要逐一验证三个条件是否成立. . 【补偿训练】【补偿训练】 1.1.式子式子 的最小值为的最小值为( () ) A.3A.3B.4B.4C.6C.6D.8D.8 【解析】【解析】选选B. =|x|+ 2 =4,B. =|x|+ 2 =4, 当且仅当当且仅当x=x=2 2时时, ,等号成立等号成立. . 2 x4 x 2 x4 x 4 x 4 2.2.已知已知m=x+ -2(x0),m=x+ -2(x0),则则m m有有( () ) A.A.最大值为最大值为0 0B.B.最小值为最小值为0 0 C.C.最大值为最大值为-4-4D.D.最小值为最小值为-4-4 【解析】【解析】选选C.C.因为因
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