（2021新苏教版）高中数学必修第一册3.3.1从函数观点看一元二次方程ppt课件.ppt

1、3.3.1从函数观点看一元二次方程 必备知识必备知识自主学习自主学习 导思导思 1.1.什么是二次函数的零点什么是二次函数的零点? ? 2.2.一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系是怎一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系是怎 样的样的? ? 1.1.二次函数的零点二次函数的零点 一般地一般地, ,一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 的根就是二次函数的根就是二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 当函当函 数值取零时数值取零时_,_,即二次函数即二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的图象与的图象与_ _,_,也称为二次

2、函数也称为二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的零点的零点. . (a0)(a0) (a0) (a0) 自变量自变量x x的值的值 坐标坐标 x x轴交点的横轴交点的横 【思考】【思考】二次函数的零点就是二次函数图象与二次函数的零点就是二次函数图象与x x轴的交点吗轴的交点吗? ? 提示提示: :不是不是, ,二次函数的零点是二次函数图象与二次函数的零点是二次函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标. . 2.2.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 的根、二次函数的根、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的图象、二的图象

3、、二 次函数次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的零点之间的关系的零点之间的关系 (1)(1)关系关系( (当当a0a0时时) ) (a0)(a0) (a0) (2)(2)本质本质: :判别式判别式0,=0,0,=0,0的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象的情况决定着一元二次方程根、二次函数图象 与与x x轴交点和二次函数零点的情况轴交点和二次函数零点的情况. . (3)(3)应用应用: :求二次函数的零点求二次函数的零点; ;证明二次函数零点的个数证明二次函数零点的个数; ;判断二次函数零判断二次函数零 点所在的区间点所在的区间. . 【思考】【思考】 当当a0a0时时,

4、 ,一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根、二次函数的根、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象、二次函的图象、二次函 数数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的零点之间的关系是怎样的的零点之间的关系是怎样的? ? 提示提示: :当当a0a0(1)a0时二次函数时二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有两个零点有两个零点. .( () ) (2)(2)如果二次函数如果二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴没有交点轴没有交点, ,则此二次函数没有零点则此二次函数没有零点. .( () ) 提示提示: :(

5、1)(1). .00时二次函数时二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有两个零点有两个零点. . (2).(2).根据二次函数零点的概念可得根据二次函数零点的概念可得. . 2.2.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)中若中若b b2 24ac,4ac,则函数零点的个数为则函数零点的个数为( () ) A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.D.不能确定不能确定 【解析】【解析】选选C.C.因为因为b b2 24ac,4ac, 所以所以=b=b2 2-4ac0,-4ac0,所以函数有所以函数有2 2个零点个零点. . 3.(3.(教材二次开发教

6、材二次开发: :练习改编练习改编) )函数函数y= y= 的零点是的零点是_._. 【解析】【解析】令令 =0,=0,解得解得x=-2x=-2或或x=-1,x=-1,所以函数的零点是所以函数的零点是-2,-1.-2,-1. 答案答案: :-2,-1-2,-1 (x2)(x1) (x2)(x1) 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一求二次函数的零点类型一求二次函数的零点( (数学运算数学运算) ) 【题组训练】【题组训练】 1.1.函数函数y=4xy=4x2 2-4x+1-4x+1的零点为的零点为( () ) 2.2.函数函数y=2xy=2x2 2-6-6的零点为的零点为 ( () ) A.

7、A.3 3B.B.6 6C.C. D.D. 1111 A.(,0) B.( ,0) C. D. 2222 3 6 3.3.已知某函数的图象如图所示已知某函数的图象如图所示, ,则此函数的零点为则此函数的零点为_._. 【解析】【解析】1.1.选选D.D.解方程解方程4x4x2 2-4x+1=0,-4x+1=0,得得x= ,x= , 所以所以 是函数是函数y=4xy=4x2 2-4x+1-4x+1的零点的零点. . 2.2.选选C.C.解方程解方程2x2x2 2-6=0,-6=0,得得x=x= , ,所以所以 是函数是函数y=2xy=2x2 2-6-6的零点的零点. . 3.3.由图象可知由图象

8、可知, ,函数图象与函数图象与x x轴交点的横坐标分别为轴交点的横坐标分别为0.3,2,0.3,2,即为函数的零点即为函数的零点. . 答案答案: : 0.3,2 0.3,2 1 2 1 2 33 【解题策略】【解题策略】 求二次函数零点的方法求二次函数零点的方法 (1)(1)解相应的一元二次方程解相应的一元二次方程, ,方程的根即为零点方程的根即为零点; ; (2)(2)画二次函数的图象画二次函数的图象, ,与与x x轴交点的横坐标即为零点轴交点的横坐标即为零点. . 【补偿训练】【补偿训练】 函数函数y=3xy=3x2 2-2x-2x的零点为的零点为_._. 【解析】【解析】解方程解方程3

9、x3x2 2-2x=0,-2x=0,得得x=0 x=0或或x= .x= . 答案答案: :0,0, 2 3 2 3 类型二二次函数零点的判断类型二二次函数零点的判断( (逻辑推理逻辑推理) ) 角度角度1 1二次函数零点个数的判断二次函数零点个数的判断 【典例】【典例】二次函数二次函数y= xy= x2 2-ax+a-1 -ax+a-1 零点的个数为零点的个数为( () ) A.0A.0个个B.1B.1个个C.2C.2个个D.D.无法判断无法判断 【思路导引】【思路导引】考察相应的一元二次方程考察相应的一元二次方程, ,根据判别式的符号情况判断根据判别式的符号情况判断. . 【解析】【解析】选

10、选C.C.考察方程考察方程 x x2 2-ax+a-1=0,-ax+a-1=0,因为因为= -4= -4 =a =a2 2-2a+2= -2a+2= +10,+10,所以方程所以方程 x x2 2-ax+a-1=0-ax+a-1=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根, ,所以二次函数有两个零点所以二次函数有两个零点. . 1 2 (aR) 1 2 2 ( a) 1 (a1) 2 2 (a1) 1 2 【变式探究】【变式探究】 本例若把二次函数变为本例若把二次函数变为:y= x:y= x2 2+ax+a- ,+ax+a- ,则函数零点的个数为则函数零点的个数为_._. 【解析】【解析】考察

11、方程考察方程 x x2 2+ax+a- =0,+ax+a- =0,因为因为=a=a2 2-4-4 =a =a2 2-2a+1= 0,-2a+1= 0, 所以方程所以方程 x x2 2+ax+a- =0+ax+a- =0有两个相等的实数根或两个不相等的实数根有两个相等的实数根或两个不相等的实数根, ,所以二所以二 次函数有一个或两个零点次函数有一个或两个零点. . 答案答案: :1 1或或2 2 1 2 1 2 (aR) 1 2 1 2 11 (a) 22 2 (a1) 1 2 1 2 角度角度2 2二次函数零点范围的判断二次函数零点范围的判断 【典例】【典例】( (多选题多选题) )二次函数二

12、次函数y=3xy=3x2 2-12x+5-12x+5的零点所在的区间为的零点所在的区间为( () ) 【思路导引】【思路导引】解相应一元二次方程解相应一元二次方程, ,判断其根所在的区间判断其根所在的区间. . A.( 1,0) B.(0,1) C.(2,3) D.(3, 4) 【解析】【解析】选选BD.BD.由求根公式可得一元二次方程由求根公式可得一元二次方程3x3x2 2-12x+5=0-12x+5=0的两个根分别是的两个根分别是 x x1 1=2- ,x=2- ,x2 2=2+ ,=2+ , 因为因为 故故2- 2- 所以所以0 x0 x1 11,3x1,3x2 24.00时时, , 两

13、个零点两个零点,=0,=0时时, ,一个零点一个零点,0,0时没有零点时没有零点. . 2.2.判断二次函数零点的范围时判断二次函数零点的范围时, ,如果求出的一元二次方程的根是无理数如果求出的一元二次方程的根是无理数, ,一般结一般结 合不等式的基本性质合不等式的基本性质, ,判断出大致的范围判断出大致的范围. . 【题组训练】【题组训练】 1.1.二次函数二次函数y=-xy=-x2 2+3x-4+3x-4零点的个数为零点的个数为( () ) A.0A.0个个B.1B.1个个C.2C.2个个D.D.无法判断无法判断 【解析】【解析】选选A.A.考察方程考察方程-x-x2 2+3x-4=0,+

14、3x-4=0,因为因为=3=32 2-4-4 =-70, =-70,所以方程所以方程-x-x2 2+ + 3x-4=03x-4=0没有实数根没有实数根, ,所以二次函数无零点所以二次函数无零点. . ( 1) ( 4) 2.2.下列二次函数在区间下列二次函数在区间 上存在零点的是上存在零点的是( () ) A.y= (x-3)A.y= (x-3)B.y=xB.y=x2 2-2x-2x C.y=2xC.y=2x2 2+2x+1+2x+1D.y=xD.y=x2 2-2x-1-2x-1 【解析】【解析】选选D.D.因为方程因为方程 (x-3)=0(x-3)=0的两个实数根分别为的两个实数根分别为x

15、x1 1=-1,x=-1,x2 2=3,=3,方程方程x x2 2-2x=-2x= 0 0的两个实数根分别为的两个实数根分别为x x1 1=0,x=0,x2 2=2,=2,方程方程2x2x2 2+2x+1=0+2x+1=0没有实数根没有实数根, ,故故A,B,CA,B,C选项均不选项均不 正确正确; ;方程方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0的实数根为的实数根为x=1x=1 , ,其中其中-11- 0,D-11- 0,1=50, 所以方程所以方程x x2 2-3x+1=0-3x+1=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根, , 因此二次函数因此二次函数y=xy=x2 2-3x+1-

16、3x+1有两个零点有两个零点. . 又因为方程又因为方程x x2 2-3x+1=0-3x+1=0的两个实数根分别为的两个实数根分别为: : x x1 1= = 因此二次函数因此二次函数y=xy=x2 2-3x+1-3x+1在区间在区间 上存在零点上存在零点. . (2,3) 2 ( 3) 2 353535 ,x23 222 ，其中， (2,3) 类型三二次函数零点的应用类型三二次函数零点的应用( (逻辑推理逻辑推理, ,数学运算数学运算) ) 【典例】【典例】若函数若函数y=axy=ax2 2-x-1-x-1仅有一个零点仅有一个零点, ,求实数求实数a a的值的值. . 【思路导引】【思路导引

17、】先讨论该函数是否为二次函数先讨论该函数是否为二次函数, ,再分别求参数再分别求参数a a的值的值. . 【解析】【解析】(1)(1)若若a=0,a=0,则则y=-x-1y=-x-1为一次函数为一次函数, ,易知函数只有一个零点易知函数只有一个零点. . (2)(2)若若a0,a0,则函数为二次函数则函数为二次函数, , 若其只有一个零点若其只有一个零点, ,则方程则方程axax2 2-x-1=0-x-1=0仅有一个实数根仅有一个实数根. .故判别式故判别式=1+4a=0,=1+4a=0,得得 a=- .a=- . 综上所述综上所述, ,当当a=0a=0或或a=- a=- 时时, ,函数仅有一

18、个零点函数仅有一个零点. . 1 4 1 4 【解题策略】【解题策略】 已知二次函数的零点或零点的个数求参数的解题策略已知二次函数的零点或零点的个数求参数的解题策略 1.1.已知函数的零点求参数时已知函数的零点求参数时, ,只要把零点代入相应的方程只要把零点代入相应的方程, ,解出参数值即可解出参数值即可. . 2.2.已知函数零点的个数求参数时已知函数零点的个数求参数时, ,先求判别式先求判别式, ,再根据判别式符号情况解不等式再根据判别式符号情况解不等式 或方程或方程, ,便可得参数的值或范围便可得参数的值或范围. . 【跟踪训练】【跟踪训练】 已知二次函数已知二次函数y=2axy=2ax

19、2 2+a+a2 2x+1(a0)x+1(a0)的一个零点为的一个零点为1,1,则则a=_.a=_. 【解析】【解析】由题意由题意,x=1,x=1是方程是方程2ax2ax2 2+a+a2 2x+1=0 x+1=0的根的根, ,所以所以2a+a2a+a2 2+1=0,+1=0,解得解得a=-1.a=-1. 答案答案: :-1-1 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1.若若b b2 2-4ac=0,-4ac=0,则二次函数则二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)零点的个数为零点的个数为( () ) A.0A.0个个B.1B.1个个C.2C.2个个D.D.无法确定无法

20、确定 【解析】【解析】选选B.B.因为因为b b2 2-4ac=0,-4ac=0,所以一元二次方程所以一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根, , 所以二次函数所以二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有一个零点有一个零点. . 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :习题改编习题改编) )二次函数二次函数y=(2x+1)(x-5)y=(2x+1)(x-5)的零点为的零点为( () ) A. ,-5A. ,-5B.- ,5B.- ,5 C.2,- C.2,- D.-2, D.-2, 【解析】【解析】选选B.B.因为方程因为方程(

21、2x+1)(x-5)(2x+1)(x-5)=0=0的两个根为的两个根为x x1 1=- ,x=- ,x2 2=5,=5,所以二次函数所以二次函数 y y =(2x+1)(x-5)=(2x+1)(x-5)的零点为的零点为- ,5.- ,5. 1 2 1 2 1 5 1 5 1 2 1 2 3.3.二次函数二次函数y=xy=x2 2-2-2的零点所在的区间为的零点所在的区间为 ( () ) 【解析】【解析】选选B.B.解方程解方程x x2 2-2=0-2=0得得,x=,x= , , 其中其中1 2.1 2. A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2 2 4.4.已知二次函数的图象如图所示已知二次函数的图象如图所示, ,则此函数的零点为则此函数的零点为_._. 【解析】【解析】因为二次函数的图象与因为二次函数的图象与x x轴交点的横坐标分别为轴交点的横坐标分别为-1,1,-1,1,所以此函数的零所以此函数的零 点为点为-1,1.-1,1. 答案答案: :-1,1-1,1 5.5.二次函数二次函数y=xy=x2 2-ax-ax的一个零点为的一个零点为2,2,则则a=_.a=_. 【解析】【解析】由题意由题意,x=2,x=2是方程是方程x x2 2-ax=0-ax=0的根的根, ,所以所以4-2a=0,4-2a=0,解得解得a=2.a=2. 答案答案: :2 2