(2021新教材)人教B版高中数学选择性必修第二册第3章 3.1 3.1.1 第1课时 基本计数原理讲义.DOC
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1、3.1排列与组合排列与组合 3.1.1基本计数原理基本计数原理 第第 1 课时课时基本计数原理基本计数原理 学 习 目 标核 心 素 养 1通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、 分步乘法计数原理(重点) 2正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具 体问题的特征,选择“分类”或“分步”(易混 点) 3能利用两个原理解决一些简单的实际问题(难 点) 1通过两个计数原理的学 习,培养逻辑推理的素养 2 借助两个计数原理解决一 些简单的实际问题,提升数 学运算的素养. 十三届全国人大三次会议在京召开,某政协委员 5 月 19 日从泉城济南前往北京参加会议,他有两类快捷途径:一是 乘坐飞机,二是乘坐
2、动车组假如这天适合他乘坐的飞机有 3 个航班,动车组有 4 个班次 问题 1:此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径? 问题 2:如果该委员需要在 5 月 19 日先从家乡乘坐汽车到达济南市,再乘 坐飞机前往北京参加会议,其中汽车有 4 班,飞机有 3 个航班,问:此委员想从 家乡到达北京共有多少种途径? 1分类加法计数原理 完成一件事,如果有 n 类办法 且:第一类办法中有 m1种不同的方法,第二 类办法中有 m2种不同的方法第 n 类办法中有 mn种不同的方法, 那么完成这 件事共有 Nm1m2mn种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事,如果需要分成 n 个步骤,且:做第一步有
3、m1种不同的方法, 做第二步有 m2种不同的方法做第 n 步有 mn种不同的方法, 那么完成这件事 共有 Nm1m2mn种不同的方法 思考:在分步乘法计数原理中,第 1 步采用的方法与第 2 步采用的方法之间 有影响吗? 提示无论第 1 步采用哪种方法,都不影响第 2 步方法的选取 拓展:两个计数原理的区别与联系: 分类加法计数原理分步乘法计数原理 区别一 每类办法都能独立地完成这 件事,它是独立的、一次的, 且每次得到的是最后结果,只 需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果(最后一 步除外), 任何一步都不能独立完成这 件事,缺少任何一步也不能完成这件 事,只有各步都完成了,才能
4、完成这 件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列 的、独立的 各步之间是关联的、 独立的, “关联” 确保不遗漏,“独立”确保不重复 联系这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数 1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同() (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事() (3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同 的() (4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步 骤都能完成这件事() 答案(1)(2)(3)(4) 2(教材 P4尝试与发现改编)从 A 地到 B 地
5、,可乘汽车、火车、轮船三种交 通工具,如果一天内汽车发 3 次,火车发 4 次,轮船发 2 次,那么一天内乘坐这 三种交通工具的不同走法数为() A1113B3429 C34224D以上都不对 B分三类:第一类,乘汽车,从 3 次中选 1 次有 3 种走法;第二类,乘火 车, 从 4 次中选 1 次有 4 种走法; 第三类, 乘轮船, 从 2 次中选 1 次有 2 种走法 所 以,共有 3429 种不同的走法 3已知 x2,3,7,y1,2,4,则(x,y)可表示不同的点的个数是 () A1B3 C6D9 D这件事可分为两步完成:第一步,在集合2,3,7中任取一个值 x 有 3 种 方法;第二
6、步,在集合1,2,4中任取一个值 y 有 3 种方法根据分步乘法 计数原理知,有 339 个不同的点 4 一个礼堂有 4 个门, 若从任一个门进, 从任一门出, 共有不同走法_ 种 16由分步乘法计数原理得 4416. 分类加法计数原理的应用 【例 1】(1)从高三年级的四个班中共抽出 22 人,其中一、二、三、四班 分别为 4 人,5 人,6 人,7 人,他们自愿组成数学课外小组,选其中一人为组 长,有多少种不同的选法? (2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 解(1)分四类: 从一班中选一人,有 4 种选法; 从二班中选一人,有 5 种选法; 从三班中选一人,有
7、6 种选法; 从四班中选一人,有 7 种选法 共有不同选法 N456722(种) (2)法一:按十位上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类,在每一类 中满足题目条件的两位数分别是 8 个,7 个,6 个,5 个,4 个,3 个,2 个,1 个由分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有 87654321 36(个) 法二:按个位上的数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成 8 类,在每一类中满足条件的 两位数分别是 1 个,2 个,3 个,4 个,5 个,6 个,7 个,8 个,所以按分类加 法计数原理知,满足条件的两位数共有 1234567836(个) 1(变结
8、论)本例(2)中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位 数的个数 解当个位数字是 8 时,十位数字取 9,只有 1 个 当个位数字是 6 时,十位数字可取 7,8,9,共 3 个 当个位数字是 4 时,十位数字可取 5,6,7,8,9,共 5 个 同理可知,当个位数字是 2 时,共 7 个 当个位数字是 0 时,共 9 个 由分类加法计数原理知,符合条件的数共有 1357925(个) 2(变条件,变结论)本例(2)换为:用数字 1,2,3 可以组成多少个没有重复数 字的整数? 解分三类: 第一类为一位整数,有 1,2,3,共 3 个; 第二类为二位整数,有 12,13,21,23,31
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