(2021新教材)人教B版高中数学选择性必修第二册第4章 4.3 4.3.1 第1课时 相关关系与回归直线方程讲义.doc
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1、4.3统计模型统计模型 4.3.1一元线性回归模型一元线性回归模型 第第 1 课时课时相关关系与回归直线方程相关关系与回归直线方程 学 习 目 标核 心 素 养 1了解变量间的相关关系(易混点) 2会根据散点图判断数据是否具有相 关关系(重点) 3了解最小二乘法的思想,会求回归 直线方程, 掌握回归方程的性质 (重点、 难点) 1通过回归直线方程及相关关系的学 习,体会数学建模与直观想象的素养 2借助回归直线方程的求法,培养数 学运算的素养. 你知道“名师出高徒”的意思吗?高明的师傅一定能教出技艺高的徒 弟,比喻学识丰富的人对于培养人才的重要也就是说,高水平的老师往往能教 出高水平的学生 问题
2、: 那么老师的水平与学生的水平之间具有怎样的关系呢?这种关系是确 定的吗?该关系与函数关系相同吗? 1相关关系 如果两个变量之间确实有一定的关系,但没有达到可以互相决定的程度,它 们之间的关系带有一定的随机性,像这样两个变量之间的关系,统计学上都称为 相关关系 思考 1:函数关系是相关关系吗? 提示不是函数关系中两个变量之间是一种确定关系 2线性相关 (1)散点图 一般地,如果收集到了变量 x 和变量 y 的 n 对数据(简称为成对数据),如下 表所示 序号 i123n 变量 xx1x2x3xn 变量 yy1y2y3yn 则在平面直角坐标系 xOy 中描出点(xi,yi),i1,2,3,n,就
3、可以得到这 n 对数据的散点图 (2)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量 x 与变 量 y 之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称 x 与 y 线性相关 (3)正相关和负相关 若 x 与 y 线性相关,如果一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则称这 两个变量正相关;如果一个变量增大,另一个变量大体上减少,则称这两个变量 负相关 3回归直线方程 (1)一般地,已知变量 x 与 y 的 n 对成对数据(xi,yi),i1,2,3,n.任意给 定一个一次函数 ybxa,对每一个已知的 xi,由直线方程可以得到一个估计值 y ibxia, 如果一次函数y b xa 能使
4、y 1y12y2y22ynyn2 n i1 yiy i2 取得最小值, 则y b xa 称为 y 关于 x 的回归直线方程(对应的直线称为回归 直线)因为是使得平方和最小,所以其中涉及的方法称为最小二乘法 其中,回归系数b n i1 xi x yi y n i1 xi x 2 n i1xiyin x y n i1x 2 inx 2 , a yb x . x 1 n(x 1x2xn)1 n n i1xi; y 1 n(y 1y2yn)1 n n i1yi. 4回归直线方程:y b xa 的性质 (1)回归直线一定过点( x , y) (2)回归系数b 的实际意义 b 是回归方程的斜率; 当 x
5、增大一个单位时,y 增大b 个单位 思考 2:y 与 x 正负相关的充要条件分别是什么? 提示当b 0 时,y 与 x 正相关,反之也成立,同理b0 是 y 与 x 负相关 的充要条件 1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系. () (2)回归直线方程一定过样本中心点() (3)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一 定相同() (4)根据回归直线方程得到的结论一定是可靠的() 答案(1)(2)(3)(4) 2下列两个变量具有正相关关系的是() A正方形的面积与边长 B吸烟与健康 C数学成绩与物理成绩 D汽车的重量与汽车每
6、消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程 C正方形的面积与边长是函数关系, A 错误; 吸烟与健康具有负相关关系, B 错误;汽车越重,每消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程越短,所以汽车的重量与 汽车每消耗 1 L 汽油所行驶的平均路程具有负相关关系, D 错误; 数学成绩越好, 物理成绩也会越好,所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系,C 正确 3已知 x 与 y 之间的一组数据 x0123 y1357 若 y 与 x 线性相关,则 y 与 x 的回归直线y b xa 必过点( ) A(2,2)B(1.5,0) C(1,2)D(1.5,4) D x 0123 4 1.5, y 1357 4 4, 回
7、归直线必过点(1.5,4)故选 D. 4已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,且过定点(4,5),则线性回归方程 是_ y 1.23x0.08 回归直线的斜率的估计值为 1.23, 即b 1.23,又回归直线过定点(4,5), a 51.2340.08, y 1.23x0.08. 变量间相关关系的判断 【例 1】(1)下列关系中,属于相关关系的是_(填序号) 扇形的半径与面积之间的关系; 农作物的产量与施肥量之间的关系; 出租车费与行驶的里程; 降雪量与交通事故的发生率之间的关系 (2)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位: 百万元) x24568 y304060
8、5070 画出散点图; 从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系? (1)在中,扇形的半径与面积之间的关系是函数关系;在中,农 作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;为确定的 函数关系;在中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系 (2)解以 x 对应的数据为横坐标,以 y 对应的数据为纵坐标,所作的散 点图如图所示 从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系, 并且当广告费 支出由小变大时,销售金额也大多由小变大,图中的数据大致分布在某条直线的 附近,即 x 与 y 成正相关关系 两个变量是否相关的两种判断方法 1根据实际经验:借助积累的经验进行分析判
9、断 2利用散点图:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定的规律,直观 地进行判断如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变 量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响 跟进训练 1. 在下列所示的四个图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是() (1)(2)(3)(4) A(1)(2)B(1)(3) C(2)(4)D(2)(3) D图(1)的两个变量具有函数关系; 图(2)(3)的两个变量具有相关关系; 图(4) 的两个变量之间既不是函数关系,也不是相关关系 求回归直线方程 【例 2】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产 量 x(吨)与相应的生产能耗 y
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