（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第二册第4章 4.2 4.2.3　第2课时　超几何分布讲义.doc

1、第第 2 课时课时超几何分布超几何分布 学 习 目 标核 心 素 养 1理解超几何分布的概念(重点) 2理解超几何分布与二项分布的关 系(难点、易错点) 3会用超几何分布解决一些简单的实 际问题(重点) 1通过学习超几何分布，体会数学抽 象的素养 2借助超几何分布解题，提高数学运 算素养. 在新型肺炎期间，青岛市招募的 100 名医学服务志愿者中，男同志有 45 人， 现要选派 20 人去市南区协助做好社区人员排查登记， 其中男同志不少于 10 人的 概率是多少？ 超几何分布 (1)定义：一般地，若有总数为 N 件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M 件(M N)，从所有物品中随机取出 n 件(n

2、N)，则这 n 件中所含甲类物品数 X 是一个 离散型随机变量，X 能取不小于 t 且不大于 s 的所有自然数，其中 s 是 M 与 n 中 的较小者，t 在 n 不大于乙类物品件数(即 nNM)时取 0，否则 t 取 n 减乙类物 品件数之差(即 tn(NM)，而且 P(Xk)C k MCn k NM CnN ，kt，t1，s， 这里的 X 称为服从参数为 N，n，M 的超几何分布 (2)记法：XH(N，n，M) (3)分布列：如果 XH(N，n，M)且 nMN0，则 X 能取所有不大于 s 的自然数，此时 X 的分布列如下表所示 X01ks P C0MCnNM CnN C1MCn 1 NM

3、 CnN CkMCn k NM CnN CsMCn s NM CnN 拓展：对超几何分布的理解 (1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生， 女生”“正品，次品”“优，劣”等； (2)在产品抽样中，一般为不放回抽样； (3)其概率计算可结合古典概型求得 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)超几何分布的模型是不放回抽样() (2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点() (3)超几何分布中的参数是 N，n，M.() (4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成() 答案(1)(2)(3)(4) 2在 15 个村庄中，有 7 个村庄交通不方便，若用随机变量

4、 X 表示任选 10 个村庄中交通不方便的村庄的个数，则 X 服从超几何分布，其参数为() AN15，M7，n10 BN15，M10，n7 CN22，M10，n7 DN22，M7，n10 A根据超几何分布概率模型知，A 正确 3设 10 件产品中有 3 件次品，现从中抽取 5 件，则C 2 3C37 C510 表示() A5 件产品中有 3 件次品的概率 B5 件产品中有 2 件次品的概率 C5 件产品中有 2 件正品的概率 D5 件产品中至少有 2 件次品的概率 B根据超几何分布的定义可知 C 2 3表示从 3 件次品中任选 2 件，C 3 7表示从 7 件正品中任选 3 件，故选 B. 4

5、 (教材 P80练习 BT2改编)高二一班共有 50 名学生， 其中有 15 名学生戴眼 镜，从班级中随机抽取 5 人，设抽到戴眼镜的人数为 X, 则 X_. H(50,5,15)由超几何分布的定义可知，XH(50,5,15) 超几何分布的辨析 【例 1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由 (1)抛掷三枚骰子， 所得向上的数是 6 的骰子的个数记为 X， 求 X 的概率分布； (2)有一批种子的发芽率为 70%，任取 10 颗种子做发芽试验，把试验中发芽 的种子的个数记为 X，求 X 的概率分布； (3)盒子中有红球 3 只，黄球 4 只，蓝球 5 只任取 3 只球，把不是红色的 球

6、的个数记为 X，求 X 的概率分布； (4)某班级有男生 25 人，女生 20 人选派 4 名学生参加学校组织的活动， 班长必须参加，其中女生人数记为 X，求 X 的概率分布； (5)现有 100 台 MP3 播放器未经检测， 抽取 10 台送检， 把检验结果为不合格 的 MP3 播放器的个数记为 X，求 X 的概率分布 解(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题 (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类随机变量 X 表示抽取 n 件 样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布 (5)中没有给出不合格品数，无法计算 X 的概率分布，所以不属于超几何分 布问题 判断一

7、个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：1总体是否可分为两 类明确的对象；2是否为不放回抽样；3随机变量是否为样本中其中一类个体 的个数. 跟进训练 1下列随机变量中，服从超几何分布的有_(填序号) 在 10 件产品中有 3 件次品，一件一件地不放回地任意取出 4 件，记取到 的次品数为 X； 从 3 台甲型彩电和 2 台乙型彩电中任取 2 台， 记 X 表示所取的 2 台彩电中 甲型彩电的台数； 一名学生骑自行车上学，途中有 6 个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随 机变量 X. 根据超几何分布模型定义可知中随机变量 X 服从超几何分布 中随机变量 X 服从超几何分布 而中显然不能看作一个不放

8、回抽样问题， 故随 机变量 X 不服从超几何分布 超几何分布的概率及其分布列 【例 2】袋中有 4 个红球，3 个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中 随机抽取球， 设取到一个红球得 2 分， 取到一个黑球得 1 分， 从袋中任取 4 个球 (1)求得分 X 的分布列； (2)求得分大于 6 分的概率 思路点拨 写出 X 的 可能值 求出每个 X 对应的概率 写出分 布列 解(1)从袋中任取 4 个球的情况为：1 红 3 黑，2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红， 共四种情况，得分分别为 5 分，6 分，7 分，8 分，故 X 的可能取值为 5,6,7,8. P(X5)C 1 4C33 C4

9、7 4 35， P(X6)C 2 4C23 C47 18 35， P(X7)C 3 4C13 C47 12 35， P(X8)C 4 4 C47 1 35. 故所求分布列为 X5678 P 4 35 18 35 12 35 1 35 (2)根据随机变量的分布列可以得到大于 6 分的概率为 P(X6)P(X7) P(X8)12 35 1 35 13 35. 求超几何分布的分布列的步骤 跟进训练 2现有 10 张奖券，其中 8 张 1 元，2 张 5 元，从中同时任取 3 张，求所得 金额的分布列 解设所得金额为 X，X 的可能取值为 3,7,11. P(X3) C38 C310 7 15，P(X

10、7) C28C12 C310 7 15， P(X11)C 1 8C22 C310 1 15. 故 X 的分布列为 X3711 P 7 15 7 15 1 15 超几何分布与二项分布间的联系 探究问题 1超几何分布适合解决什么样的概率问题？ 提示超几何分布适合解决一个总体(共有 N 个个体)内含有两种不同事物 A(M 个)、B(NM 个)，任取 n 个，其中恰有 X 个 A 的概率分布问题 2在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独 立重复试验吗？ 提示独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用 中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型

11、 【例 3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该 流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为 (490,495，(495,500，(510,515由此得到样本的频率分布直方图如图 (1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量； (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件， 设 X 为质量超过 505 克的产品数量， 求 X 的分布列； (3)从该流水线上任取 2 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产品数量，求 Y 的分布列 思路点拨(1)结合频率分布直方图求解(1)； (2)结合超几何分布及古典概型求 X 的分布列；

12、 (3)先分析 Y 服从什么分布，再选择相应公式求解 解(1)质量超过 505 克的产品的频率为 50.0550.010.3， 所以质量超过 505 克的产品数量为 400.312(件) (2)重量超过 505 克的产品数量为 12 件，则重量未超过 505 克的产品数量为 28 件，且 XH(40,2,12) P(X0)C 2 28 C240 63 130， P(X1)C 1 12C128 C240 28 65， P(X2)C 2 12 C240 11 130， X 的分布列为 X012 P 63 130 28 65 11 130 (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过

13、505 克的概 率为12 40 3 10. 从流水线上任取 2 件产品互不影响，该问题可看成 2 次独立重复试验，质量 超过 505 克的件数 Y 的可能取值为 0,1,2，且 YB 2， 3 10 ， P(Yk)Ck2 1 3 10 2-k 3 10 k ， 所以 P(Y0)C02 7 10 2 49 100， P(Y1)C12 3 10 7 10 21 50， P(Y2)C22 3 10 2 9 100. Y 的分布列为 Y012 P 49 100 21 50 9 100 在 n 次试验中，某事件 A 发生的次数 X 可能服从超几何分布或二项分布 区 别 当这 n 次试验是独立重复试验时(

14、如有放回摸球)， X 服从 二项分布； 当 n 次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)， X 服从 超几何分布 联 系 在不放回 n 次试验中，如果总体数量 N 很大，而试验次数 n 很小， 此时超几何分布可近似转化成二项分布， 如本例(2) 跟进训练 3100 件产品中有 10 件次品，从中有放回地任取 5 件，求其中次品数的 分布列 解任取一件得到次品的概率为 10 1000.1，有放回的取出 5 件，相当于 5 次独立重复试验，故B(5,0.1)，所以的分布列为 012345 P0.590 490.328 050.072 90.008 10.000 450.000 01 1解决超几何分

15、布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其 意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆 (2)超几何分布中，只要知道 N，n，M，就可以利用公式求出 X 取不同 k 的 概率 P(Xk)，从而求出 X 的分布列 2注意超几何分布与二项分布的区别与联系 前者是不放回模型，而后者是有放回模型，但在大量试验时，超几何分布可 与二项分布互化 1一批产品共 10 件，次品率为 20%，从中任取 2 件，则恰好取到 1 件次品 的概率为() A.28 45 B.16 45 C.11 45 D.17 45 B由题意知 10 件产品中有 2 件次品，故

16、所求概率为 P(X1)C 1 2C18 C210 16 45. 2盒中有 4 个白球，5 个红球，从中任取 3 个球，则恰好取出 2 个红球的 概率是() A.37 42 B.17 42 C.10 21 D.17 21 C设取出红球的个数为 X，易知 XH(9,3,5) P(X2)C 2 5C14 C39 10 21，故选 C. 3在含有 5 件次品的 10 件产品中，任取 4 件，则取到的次品数 X 的分布列 为 P(Xr)_. Cr5C4 r 5 C410 ，r0,1,2,3,4P(Xr)C r 5C4 r 5 C410 ，r0,1,2,3,4. 4(一题两空)已知某批产品共 100 件，

17、其中二等品有 20 件从中任意抽取 2 件，表示取出的 2 件产品中二等品的件数，试填写下列关于的分布列 k012 P(k)_ 19 495 316 495 32 99 由题意可知H(100,2,20) 则 P(0)C 0 20C280 C2100 316 495，P(1) C120C180 C2100 32 99. 5某外语学校的一个社团中有 7 名同学，其中 2 人只会法语，2 人只会英 语，3 人既会法语又会英语，现选派 3 人到法国的学校交流访问求： (1)在选派的 3 人中恰有 2 人会法语的概率； (2)在选派的 3 人中既会法语又会英语的人数 X 的分布列 解(1)设事件 A：选派的 3 人中恰有 2 人会法语， 则 P(A)C 2 5C12 C37 4 7. (2)依题意知，XH(7,3,3) P(X0)C 3 4 C37 4 35， P(X1)C 2 4C13 C37 18 35， P(X2)C 1 4C23 C37 12 35， P(X3)C 3 3 C37 1 35， X 的分布列为 X0123 P 4 35 18 35 12 35 1 35