(2021新教材)人教B版高中数学选择性必修第二册第4章 4.2 4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值讲义.doc
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1、4.2.4随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第第 1 课时课时离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值 学 习 目 标核 心 素 养 1理解离散型随机变量的均值的意义 和性质,会根据离散型随机变量的分布 列求出均值(重点) 2掌握两点分布、二项分布、超几何 分布的均值(重点) 3会利用离散型随机变量的均值解决 一些相关的实际问题(难点) 1通过学习离散型随机变量的均值, 体会数学抽象的素养 2借助数学期望公式解决问题,提升 数学运算的素养. 某商场要将单价分别为 18 元/kg,24 元/kg,36 元/kg 的三种糖果按 321 的 比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理? 1均值或数学
2、期望 (1)定义:一般地,如果离散型随机变量 X 的分布列如下表所示 Xx1x2xkxn Pp1p2pkpn 则称 E(X)x1p1x2p2xnpn n i1xipi为离散型随机变量 X 的均值或数学期望 (简称为期望) (2)意义:它刻画了 X 的平均取值 (3)性质:若 X 与 Y 都是随机变量,且 Yaxb(a0), 则 E(Y)aE(x)b. 拓展:随机变量的均值公式与加权平均数的联系 加权平均数, 假设随机试验进行了 n 次, 根据 X 的概率分布, 在 n 次试验中, x1出现了 p1n 次,x2出现了 p2n 次,xn出现了 pnn 次,故在 n 次试验中,X 出现的总次数为 p
3、1nx1p2nx2pnnxn.因此 n 次试验中,X 出现的平均值等于 p1nx1p2nx2pnnxn n E(X) 故 E(X)p1x1p2x2pnxn. 2两点分布、二项分布及超几何分布的均值 (1)若随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布,则 E(X)p. (2)若 X 服从参数为 n,p 的二项分布,即 XB(n,p),则 E(X)np; (3)若 X 服从参数为 N,n,M 的超几何分布,即 XH(N,n,M),则 E(X) nM N . 1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)随机变量 X 的数学期望 E(X)是个变量,其随 X 的变化而变化 () (2)随机变量的均值反
4、映样本的平均水平() (3)若随机变量 X 的数学期望 E(X)2,则 E(2X)4.() (4)随机变量 X 的均值 E(X)x1x2xn n .() 答案(1)(2)(3)(4) 2若随机变量 X 的分布列为 X101 P 1 2 1 6 1 3 则 E(X)() A0B1 C1 6 D1 2 CE(X)11 20 1 61 1 3 1 2 1 3 1 6.故选 C. 3设 E(X)10,则 E(3X5)_. 35E(3X5)3E(X)5310535. 4 (一题两空)若随机变量 X 服从二项分布 B 4,1 3 , 则 E(X)的值为_; 若随机变量 YH(10,3,5),则 E(Y)_
5、. 4 3 3 2 E(X)np41 3 4 3,E(Y) 35 10 3 2. 求离散型随机变量的数学期望 【例 1】(1)设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到白 球个数的数学期望值为6 7,则口袋中白球的个数为( ) A3B4 C5D2 (2)(一题两空)某运动员投篮命中率为 p0.6,则 投篮 1 次时命中次数 X 的数学期望为_; 重复 5 次投篮时,命中次数 Y 的数学期望为_ (1)A(2)0.63(1)设白球 x 个,则取出的 2 个球中所含白球个数为 H(7,2,x), E()2x 7 6 7,x3.故选 A. (2)投篮 1 次,命中次数 X 的分布列
6、如下表: X01 P0.40.6 则 E(X)0.6. 由题意,重复 5 次投篮,命中的次数 Y 服从二项分布,即 YB(5,0.6),则 E(Y)np50.63. 常见的三种分布的均值 1设 p 为一次试验中成功的概率,则 (1)两点分布 E(X)p; (2)二项分布 E(X)np. 2超几何分布 E(X)nM N ,其中 XH(N,n,M) 熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度 跟进训练 1(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分,不命中得 0 分已知他命 中的概率为 0.8,则罚球一次得分 X 的期望是_ (2)设离散型随机变量 X的分布列为 P(Xk)Ck300 1 3
7、 k 2 3 300k (k0,1,2, , 300),则 E(X)_. (1)0.8(2)100(1)因为 P(X1)0.8,P(X0)0.2,所以 E(X)10.8 00.20.8. (2)由 P(Xk)Ck300 1 3 k 2 3 300k , 可知 XB 300,1 3 ,E(X)3001 3100. 离散型随机变量均值的性质 【例 2】已知随机变量 X 的分布列为 X21012 P 1 4 1 3 1 5 m 1 20 若 Y2X,则 E(Y)_. 17 15 由随机变量分布列的性质,得 1 4 1 3 1 5m 1 201,解得 m 1 6, E(X)(2)1 4(1) 1 30
8、 1 51 1 62 1 20 17 30. 由 Y2X,得 E(Y)2E(X), 即 E(Y)2 17 30 17 15. (变结论)本例条件不变,若aX3,且 E()11 2 ,求 a 的值 解E()E(aX3)aE(X)317 30a3 11 2 , 所以 a15. 若给出的随机变量与 X 的关系为aXb, a, b 为常数.一般思路是先求出 EX, 再利用公式 EaXbaEXb 求 E.也可以利用 X 的分布列得到的分 布列,关键由 X 的取值计算的取值,对应的概率相等,再由定义法求得 E. 跟进训练 2已知随机变量和,其中127,且 E()34,若的分布列如下表, 则 m 的值为()
9、 1234 P 1 4 mn 1 12 A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 8 A因为127,则 E()12E()7, 即 E()12 11 42m3n4 1 12 734. 所以 2m3n5 3, 又1 4mn 1 121, 所以 mn2 3, 由可解得 m1 3. 求离散型随机变量的均值 【例 3】在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个 单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序 号为 1,2,6),求: (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值 思路点拨(1)可先求“
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