（2021新教材）人教B版高中数学选择性必修第二册第4章 4.2 4.2.1　随机变量及其与事件的联系讲义.doc

1、4.2随机变量随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系随机变量及其与事件的联系 学 习 目 标核 心 素 养 1理解随机变量的含义(重点) 2能写出离散型随机变量的可能取值， 并能解释其意义(难点) 3会借助随机变量间的关系解题(易 错点) 1通过学习随机变量，培养数学抽象 的素养 2借助随机变量间的关系解题，提升 数学运算的素养. 姚明每次罚球具有一定的随机性， 那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ (1)投进零个球0 分； (2)投进 1 个球1 分； (3)投进 2 个球2 分； (4)投进 3 个球3 分 1随机变量 (1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为，而且对于中的每一个

2、样 本点，变量 X 都对应有唯一确定的实数值，就称 X 为一个随机变量 (2)表示：用大写英文字母 X，Y，Z，或小写希腊字母，表示 (3)取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的 取值范围 思考：随机变量的取值由什么决定？ 提示随机变量的取值由随机试验的结果决定 2随机变量与事件的联系 一般地，如果 X 是一个随机变量，a，b 都是任意实数，那么 Xa，Xb， Xb 等都表示事件，而且： (1)当 ab 时，事件 Xa 与 Xb 互斥； (2)事件 Xa 与 Xa 相互对立，因此 P(Xa)P(Xa)1. 3随机变量的分类 (1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值

3、都是可以一一列举出来的， 那么其是离散型随机变量 (2)连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，连续型 随机变量的取值范围包含一个区间 4随机变量之间的关系 如果 X 是一个随机变量，a，b 都是实数且 a0，则 YaXb 也是一个随机变量，且 P(Xt)P(Yatb) 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个() (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量 () (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量() (4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它 有 6 个取值() 答案(

4、1)(2)(3)(4) 2下列变量中，是离散型随机变量的是() A到 2020 年 10 月 1 日止，我国发射的卫星 B一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C某人在车站等出租车的时间 D某人投篮 10 次，可能投中的次数 D离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知 D 正确 3如果 X 是一个离散型随机变量，且 YaXb，其中 a，b 是常数且 a0， 那么 Y() A不一定是随机变量 B一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C可能是定值 D一定是离散型随机变量 D由于 X 是离散型随机变量且 YaXb，故 Y 与 X 成线性关系，所以 Y 一定是离散型随机变量 4(教材 P65

5、练习 BT3改编)若 P(X1)0.7，则 P(X1)_. 0.3P(X1)P(X1)1，P(X1)1P(X1)10.70.3. 随机变量的判断 【例 1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明 理由 (1)标准大气压下，水沸腾的温度； (2)王老师在某天内接电话的次数； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次； (4)体积为 64 cm3的正方体的棱长 解(1)在标准大气压下，水沸腾的温度是 100 ，是常量，故不是随机变 量； (2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量； (3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因

6、此是随机变量； (4)体积是 64 cm3的正方体的棱长是 4 cm，因此不是随机变量 随机变量的辨析方法 1随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同 2随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一 个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变 量 跟进训练 1指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由 (1)某座大桥一天经过的车辆数 X； (2)某超市 5 月份每天的销售额； (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差； (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(

7、0,29这一范围内变化，该水位站 所测水位. 解(1)车辆数 X 的取值可以一一列出，故 X 为离散型随机变量 (2)某超市 5 月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量 (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量 (4)不是离散型随机变量，水位在(0,29这一范围内变化，不能按次序一一列 举 随机变量的取值范围及其应用 【例 2】写出下列随机变量的取值范围 (1)张大爷在环湖线路旁种了 10 棵树苗，设成活的树苗为； (2)抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数； (3)一袋中装有 5 只同样大小的球，编号为 1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出 3 只球，被

8、取出的球的最大号码数； (4)电台在每个整点都报时，报时所需时间为 0.5 分钟，某人随机打开收音机 对时间，他所等待的时间分钟 解(1)的取值范围为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 (2)的取值范围为1,2,3,4,5,6 (3)的取值范围为3,4,5 (4)的取值范围为0,59.5 (变条件)本例(1)中，若每成活一棵树，政府给予补贴 5 元，试写出张大爷获 得补贴 Y 元与成活树苗的关系，并指出 Y 的取值范围 解由题意可知 Y5，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 故 Y 的取值范围为0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50 随机变量的取值范围

9、类同于函数的定义域， 因此只要明确随机变量的取值同 试验结果的对应关系，即可求出随机变量的取值范围. 随机事件的关系及其应用 探究问题 设随机变量 X，Y 间满足 Y|X|1， 若 P(X1)0.3，P(X1)0.7，求： (1)随机变量 X 的取值范围是多少？ (2)P(Y2)的值又是多少？ 提示(1)由 P(X1)P(X1)0.30.71 可知， 随机变量 X 只取两个值1,1，即随机变量 X 的取值范围是1,1 (2)P(Y2)P(|X|1)P(X1)P(X1)0.30.71. 【例 3】 (教材 P64例 2 改编)某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月 工资的：底薪 800 元，每

10、工作 1 h 再获取 15 元从该快餐店中任意抽取一名小 时工，设其月工作时间为 X h，获取的税前月工资为 Y 元 (1)当 X100 时，求 Y 的值； (2)写出 X 与 Y 之间的关系式； (3)若 P(X120)0.8，求 P(Y2 600)的值 解(1)当 X100 时，表示工作了 100 个小时，所以 Y100158002 300. (2)根据题意有 Y15X800. (3)因为 X120，故 15X8002 600，即 Y2 600. 所以 P(Y2 600)P(X120)0.8， 从而 P(Y2 600)10.80.2. 1求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义对

11、于变量间 的关系问题，可类比函数关系求解 2对立事件的概率和为 1，常借助此关系求对立事件的概率 跟进训练 2某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底薪 1 500 元，每 工作 1 天再获取 100 元从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为 X 天，获取的税前月工资为 Y 元 (1)当 X25 时，求 Y 的值； (2)写出 X 与 Y 之间的关系式； (3)若 P(Y3 500)0.7，求 P(X20)的值 解(1)当 X25 时，Y251001 5004 000. (2)由题意可知 Y100X1 500. (3)由 Y3 500 可知 100X1 5003 500，即 X

12、20. P(X20)P(Y3 500)0.7， P(X20)10.70.3. 1随机变量的取值是由随机试验的结果决定的，可类比函数的知识学习 2随机变量 X，Y 之间若存在线性关系，即 YaXb，则 X，Y 的类型相 同，即要么同为离散型随机变量，要么同为连续型随机变量 1给出下列四个命题： 15 秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； 在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； 一条河流每年的最大流量是随机变量； 一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量 其中正确的个数是() A1B2 C3D4 D由随机变量定义可以直接判断都是正确的故选 D. 2某人进行射击，

13、共有 5 发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击 次数为，则5表示的试验结果是() A第 5 次击中目标 B第 5 次未击中目标 C前 4 次均未击中目标 D第 4 次击中目标 C5表示前 4 次均未击中，而第 5 次可能击中，也可能未击中，故选 C. 3袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回 抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 X，则 X 的取值范 围是_ 2,3,4,5,6,7,8,9,10由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的 球号均可能是 1,2,3,4,5 中某个 故两次抽取球号码之和可能为 2,3,4,5,6

14、,7,8,9,10. 4甲进行 3 次射击，击中目标的概率为1 2，记甲击中目标的次数为，则 的可能取值为_ 0,1,2,3甲可能在 3 次射击中，一次也未中，也可能中 1 次，2 次，3 次 5一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个 数为. (1)列表说明可能出现的结果与对应的的值； (2)若规定抽取 3 个球中，每抽到一个白球加 5 分，抽到黑球不加分，且最 后结果都加上 6 分，求最终得分的可能取值，并判定是否为离散型随机变量 解(1) 0123 结果 取得 3 个黑球 取得 1 个白球，2 个黑球 取得 2 个白球，1 个黑球 取得 3 个白 球 (2)由题意可得56，而可能的取值范围为0,1,2,3，所以对应的各值 是：506,516,526,536. 故的可能取值为6,11,16,21，显然为离散型随机变量