(2021新教材)人教B版高中数学选择性必修第二册第4章 4.1 4.1.2 第1课时 乘法公式讲义.doc
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1、4.1.2乘法公式与全概率公式乘法公式与全概率公式 第第 1 课时课时乘法公式乘法公式 学 习 目 标核 心 素 养 1掌握乘法公式及其推广(重点) 2会用乘法公式及全概率公式求相应 事件的概率(难点) 1通过乘法公式及其推广的学习,体 会数学抽象的素养 2借助乘法公式及其推广解题,提升 数学运算素养. 小明在登陆电子邮箱时,发现忘了密码的最后一位,只记得是数字 09 中 的任意一个 问题:他在尝试登陆时,第一次失败,第二次成功的概率是多少? 乘法公式及其推广 (1)乘法公式:P(AB)P(A)P(B|A),其中 P(A)0. (2)乘法公式的推广: 设 Ai表示事件,i1,2,3,且 P(A
2、i)0,P(A1A2)0, 则 P(A1A2A3)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 其中 P(A3|A1A2)表示已知 A1与 A2都发生时 A3发生的概率,P(A1A2A3)表示 A1A2A3同时发生的概率 思考:P(AB),P(B),P(A|B)(其中 P(B)0)之间存在怎样的等量关系? 提示P(AB)P(B)P(A|B),其中 P(B)0. 1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)P(AB)P(BA)() (2)P(AB)P(A)P(B)() (3)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3), 其中 P(A1)0,
3、 P(A2A1) 0,P(A1A2A3)0.() 答案(1)(2)(3) 2已知 P(B|A)1 3,P(A) 2 5,则 P(AB)等于( ) A.5 6 B. 9 10 C. 2 15 D. 1 15 CP(AB)P(B|A)P(A)1 3 2 5 2 15,故选 C. 3某人忘记了一个电话号码的最后一个数字,只好去试拨,他第一次失败、 第二次成功的概率是() A. 1 10 B. 2 10 C. 8 10 D. 9 10 A记事件 A 为第一次失败,事件 B 为第二次成功,则 P(A) 9 10,P(B|A) 1 9,所以 P(AB)P(A)P(B|A) 1 10. 4若 P(B|A)1
4、 3,则 P(B |A)_. 2 3 P(B |A)1P(B|A)11 3 2 3. 乘法公式及其应用 【例 1】一袋中装 10 个球, 其中 3 个黑球、7 个白球, 先后两次从中随 意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率 解设 Ai表示事件“第 i 次取到的是黑球”(i1,2),则 A1A2表示事件“两次 取到的均为黑球”. 由题设知 P(A1) 3 10,P(A 2|A1)2 9, 于是根据乘法公式, 有 P(A1A2)P(A1)P(A2|A1) 3 10 2 9 1 15. 1(变结论)在本例条件不变的情况下,求第一次取得黑球,第二次取得白 球的概率 解用 A 表示第一次取
5、得黑球,则 P(A) 3 10, 用 B 表示第二次取得白球,则 P(B|A)7 9. 故 P(AB)P(A)P(B|A) 3 10 7 9 7 30. 2(变结论)在本例条件不变的情况下,两次均取得白球的概率 解用Bi表示第i次取得白球, i1,2, 则B1B2表示两次取到的均是白球 由 题意得 P(B1) 7 10,P(B 2|B1)2 3. P(B1B2)P(B1)P(B2|B1) 7 10 2 3 7 15. 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法,即当直接计算 PAB不好 计算时,可先求出 PA及 PB|A或先求出 PB及 PA|B,再利用乘法公式 PAB PAPB|APBPA|
6、B求解即可. 乘法公式的推广及应用 【例 2】 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1 2, 若 第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为 7 10, 若前两次落下未打破, 第 三次落下打破的概率为 9 10. 试求透镜落下三次而未打破的概率 解以 Ai(i1,2,3)表示事件“透镜第 i 次落下打破”,B 表示事件“透镜 落下三次而未打破”,则 BA 1A2A3,故有 P(B)P(A 1 A 2 A 3)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A 2) 11 2 1 7 10 1 9 10 3 200. 该类问题在概率中被称为“机遇问题”, 求解的关键是分清事件之间的互相
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