（2021新教材）人教A版高二数学上学期选择性必修第一册 第3章（4）圆锥曲线 综合卷.docx

1、圆锥曲线能力提升圆锥曲线能力提升 一选择题 1已知抛物线 2 3 4 yx，则它的焦点坐标为（） A 3 0,16 B 3 ,0 16 C 1 ,0 3 D 1 0, 3 2方程 2 14xy所表示的曲线是（） A圆的一部分B椭圆的一部分C双曲线的一部分D直线的一部分 3方程 22 22 2210 xyxy的化简结果是（） A 22 1 2521 xy B 22 1 2521 yx C 22 1 254 xy D 22 1 254 yx 4直线: 250l xy 过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一个焦点且与其一条渐近 线平行，则双曲线的方程为（ ）A 22 1 205

2、xy B 22 1 520 xy C 2 2 1 4 x yD 2 2 1 4 y x 5已知椭圆 22 :1 95 xy C的右焦点F，P是椭圆上任意一点，点 0,2 3A ，则 APF的周长最大值为（） A921B72 35 C14 D153 6 已知 ( 4,0)A ， B 是圆 22 (1)(4)1xy上的点，点 P 在双曲线 22 1 97 xy 的 右支上，则| |PAPB 的最小值为（） A9 B2 56 C10D12 7 1 F， 2 F是双曲线 22 22 :1(,0) xy Cab b ab 的左、右焦点，过左焦点 1 F的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A，

3、B 两点，若 22 :3:4:5ABBFAF ，其 中是双曲线的渐近线方程是（） A3yx B2 3yx C3 3yx D4 3yx 8（多选多选） 点 1 F， 2 F为椭圆C的两个焦点， 椭圆C上存在点P， 使得 12 90FPF， 则椭圆C的方程可以是（） A 22 1 259 xy B 22 1 2516 xy C 22 1 189 xy D 22 1 168 xy 9已知 1 F， 2 F分别是椭圆 22 :1 43 xy C的左、右焦点，点P、Q是椭圆上位于 x轴上方的两点，且 12 /PFQF，则 12 PFQF 的取值范围为（） A 2,4B3,4C1,4D1.5,4 10双曲

4、线 22 22 10,0 xy ab ab 的左焦点 ,0Fc 关于直线 b yx a 的对称点 Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A 5 2 B5 C3 D 3 2 二.填空题 11已知直线AB过抛物线 2 4yx的焦点，交抛物线于 11 (,)A x y ， 22 (,)B xy 两点， 若 12 5xx ，则| |AB 等于_ 12已知椭圆 22 1 9 xy m 的离心率等于 1 3 ，则实数m_. 13 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ， 左焦点 (,0)Fc ， 右顶点 ( ,0)A a ， 上顶点 (0, )Bb， 满足0FB AB ，则椭圆的离心率为_

5、. 14若 ,A B是曲线 2 2xy上不同的两点，O为坐标原点，则OA OB 的取值 范围是_. 三解答题 15设点 ? 是椭圆 ?椭 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?上一动点，椭圆的长轴长为 ? ?， 离心率为 ? ? . (1)求椭圆 ? 的方程； （2）求点 ? 到直线?椭? ? ? ? ? ? 距离的最大值. 16如图，椭圆 22 167 xy =1 的左、右焦点为 F1，F2，一条直线 l 经过 F1且与椭圆 相交于 A，B 两点. （1）求ABF2的周长； （2）若 l 的倾斜角是 45，求ABF2的面 积. 17如图，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左

6、、右焦点为 12 ,F F，过 1 F的直线l与椭圆 相交于A、B两点. （1）若 0 12 60AFF，且 12 0AF AF 求椭圆的离心率. （2）若2,1ab，求 22 F A F B 的最大值和最小值. 18设椭圆 22 22 :1 xy C ab 0ab 的离心率 1 2 e ，过椭圆C上一点2,3P作两 条不重合且倾斜角互补的直线PAPB分别与椭圆C交于AB两点，且AB中点 为M. （1）求椭圆 C 方程. （2）椭圆C上是否存在不同于P的定点N，使得MNP的面积为定值，如果存 在，求定点N的坐标；如果不存在，说明理由. 答案答案 1D2C3B4A5C6C7B8.ACD 9B如图

7、，延长射线 1 PF、 2 QF分别与椭圆C相交于M、N两点， 由椭圆的对称性可知 12 PFNF ， 12 MFQF ， 设点P的坐标为 11 ,x y ，点M的坐标为 22 ,xy ，显然 12 22, 22xx 则点Q的坐标为 22 ,xy .若直线 1 PF的斜率不存在，则点P、Q的坐标分别 为 3 1, 2 、 3 1, 2 ，有 12 3PFQF 若直线 1 PF的斜率存在，设直线 1 PF的方程为10yk xk ，联立方程 22 1 43 1 xy yk x ，消去y后整理为 2222 4384120kxk xk ，有 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 1 2 2 4

8、12 43 k x x k 22 222 111111111 3111 1132422 4422 PFxyxxxxxx ， 12 1 2 2 MFx， 22 2 1212 222 1213 433 14 44 2434343 kk k PFQFxx kkk ， 2 3 3 43k ，因为 2 433k ，所以 2 3 334 43k ， 则 12 PFQF 的取值范围为3,4.注：注：通径长，长轴长）通径长，长轴长） 10B如图所示，双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 中 222 abc，设 2 F是双曲线 右焦点，连接 2 QF，依题意设直线 FQ 交直线 b yx a 于 M，

9、则 M 是线段 FQ 的 中点，且OM FQ ， 因为焦点 ,0Fc 关于直线 b yx a 即0bxay的距离 22 bcbc FMb c ab ， 故2QFb， 由双曲线定义知 2 22QFba ， 2 2FFc ， 又因为 O 是 2 FF的中点， 故 2 FF Q 中OM是中位线， 故 2 QFFQ ， 故 2 Rt FF Q 中 222 2222bbac，结合 222 abc，化简得2ba， 故离心率 222 5 5 caba e aaa . 117128或 81 8 13 5-1 2 142, ) 2 2xy，可化为 22 12 22 xy x，设 11 ,A x y ， 22 ,

10、B xy ，则 12 0 xx ，则 11 ,OAx y ， 22 ,OBxy ， 1212 OA OBx xy y ， 若ABx轴，此时 12 xx ， 12 yy ， 22 11 2OA OBxy ，若AB不垂直于x 轴，设 AB l :y kxm ， 22 2 ykxm xy ， 222 1220kxkmxm ， 12 2 2 1 km xx k ， 22 12 22 22 0 11 mm xx kk ，则 2 1k ， 12121212 OA OBx xy yx xkxmkxm 22 22 2222 22224 (1)2 1111 mkmk kkmm kbkk ，又 2 1k ， 2

11、10k ， 2OA OB ，2,)OA OB ， 15 （1）由已知得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，得 ? ? ? ? ? ? ?椭圆 ?椭 ? ? ? ? ? ? ? （2） （不用此法，可用课本上的法.）设 ? ? ?cos?sin? ，则 ? ? ? ?cos?sin? ? ? ?sin ? ? ? ? 当 sin ? ? ? ? ? ? 时，?max? ? ? ? . 16(1)由 22 167 xy =1，知 a=4，所以ABF2的周长 =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16. (2)由椭圆方程 22 167 xy =1

12、，可得 F1(-3，0)，F2(3，0)，又 l 的倾斜角是 45，故斜 率 k=1，l 的方程为 y=x+3.将直线方程代入椭圆方程，整理得 23x2+96x+32=0， x1+x2=- 96 23 ，x1x2= 32 23 ，|AB|= 2 9632112 (1 1)-4 232323 .设点 F2到直线 l 的 距离为 d，则 d= |3-03| 2 =3 2. 2 1 2 ABF S |AB|d= 1112 223 3 168 22 23 . 17 （1） 12 0AF AF ， 12 AFAF 因为 12 60AFF 。所以 21 30AF F， 所以 12 ,3AFc AFc，所以

13、 12 12 22 31 23 FFccc e aaAFAFcc （2）由于2,1ab，得1c ，则 12 ( 1,0),(1,0)FF .若AB垂直于x轴，则 22 ( 1,),( 1,) 22 AB ，所以 22 22 ( 2,),( 2,) 22 F AF B ，所以 22 17 4 22 F A F B 若AB与x轴不垂直， 设直线AB的斜率为k， 则直线AB的 方程为 (1)yk x 由 22 (1) 220 yk x xy 得 2222 (12)42(1)0kxk xk 2 880k ，方程有两个不等的实数根.设 11 (,)A x y ， 22 (,)B xy . 2 12 2

14、4 12 k xx k , 2 12 2 2(1) 12 k xx k 211222 (1,),(1,)F AxyF Bxy 2 2212121212 (1)(1)(1)(1)(1)(1)F A F Bxxy yxxkxx 222 1212 (1)(1)()1kx xkxxk 22 222 22 2(1)4 (1)(1)() 1 1212 kk kkk kk = 2 22 7179 1 222(1 2) k kk 22 2 1 0,121,01 12 kk k 22 7 1, 2 F A F B ， 所以当直线l垂于x轴时， 22 F A F B 取得最大值 7 2 当直线l与x轴重合时， 2

15、2 F A F B 取得最小值1 18（1） 依题意得 222 22 1 2 49 1 c e a abc ab ， 解得4a ，2 3b ，2c 所以椭圆 22 :1 1612 xy C （2）因为直线PAPB的倾斜角互补，所以设直线PAPB的方程为 32yk x，32yk x ， 11 ,A x y ， 22 ,B xy 联立方程 22 3448 3(2) xy yk x 得： 222 348234 41230kxkkxkk ，所以 2 1 2 1624 2 34 kk x k ，所以 2 1 2 8246 34 kk x k ，所以 2 11 2 12129 (2)3 34 kk yk x k 同理得 2 2 2 8246 34 kk x k ， 2 2 2 12129 34 kk y k .设 ,M x y，则 2 12 2 86 234 xxk x k ， 2 12 2 129 234 yyk y k 所以 3 2 y x ， 所以点M在直线 3 2 yx 上.所以当/PN OM时，MNP的面积为 定值. 此时PN的直线方程为 3 3(2) 2 yx ，即 3 6 2 yx 因为 22 1 1612 3 6 2 xy yx ，化简 得： 2 680 xx，解得4x 或2x (舍去).所以椭圆C上存在不同于P的定点 4,0N，使得MNP的面积为定值.