专题13 头痛问题之立体几何中的截面（解析版）.docx

1、备战 2020 高考数学二轮痛点突破专项归纳与提高 专题 13头痛问题之立体几何中的截面 【基本知识】 1截面定义截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱 锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总 共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得 到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面：、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯 形、正五边形。 【基本技能】 技能技能

2、 1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能技能 2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； 技能技能 3.猜想法求最值问题： 要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征， “动中找静”： 如正三角形、 正六边形、 正三棱锥等； 技能技能 4.建立函数模型求最值问题：设元建立二次函数模型求最值。 例例 1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 是（） AC B D 分析分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方 形，故选 D。 例例 2如图，在透明的塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1容器内

3、灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地 面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： 1水的部分始终呈棱柱状； 2水面 EFGH 的面积不改变； 3棱 A1D1始终与水面 EFGH 平行； 4当容器倾斜到如图 5（2）时，BEBF 是定值； 其中正确的命题序号是_ 分析分析 当长方体容器绕 BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故正确；在转动过程中 EH/FG，但 EH 与 FG 的距离 EF 在变，所以水面 EFGH 的面积在改变，故错误；在转动过程中，始终有 BC/FG/A1D1，所以 A1D1/面 EFGH，正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图 5（2） ，

4、因为 BCBFBEV 2 1 水 是定值，又 BC 是定值，所以 BEBF 是定值，即正确。所以正确的序号为. 例例 3有一容积为 1 立方单位的正方体容器 ABCD-A1B1C1D1，在棱 AB、BB1及对角线 B1C 的中点各有一 小孔 E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（） C1 AB C D A1 D1 B1 E G F 图（1） A 2 1 B 8 7 C 12 11 D 48 47 分析分析 本题很容易认为当水面是过 E、F、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1） ，最大值为 8 7 1 2 1 2 1 2 1 1V立方单位,这是一种错误的解法，错误

5、原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不 够，其实，当水平面调整为图（2）EB1C 时容器的容积最大，最大容积为 12 11 11 2 1 2 1 3 1 1V，故 选 C。 C1 A B C D A1 D1 B1 E G F 图（2） 例例 4正四棱锥PABCD的底面正方形边长是 3，O是P在底面上的射影，6, POQ是AC上的一点， 过Q且与, PA BD都平行的截面为五边形EFGHL，求该截面面积的最大值. 解： 如图， 连接, AC BD， 设截面与正四棱锥PABCD的底面相交于EL,AC与EL相交于Q点， 由/ /BD 截面EFGHL得/ /LEBD,/ /AP截面EFGHL，得/

6、 /APQG，那么，EL必定分别与, AB AD相交于 , E L，否则，截面将是三角形，则/ /APEF，/ /APLH，在正四棱锥PABCD中，BDAP，由 / /, / /, LEBD APQGGQE是异面直线BD与PA所成角，则QGEL，所以，GFEQ和GHLQ是两 个全等的直角梯形. 设： 2 2 29 03 , 36 22 AExxAP 由/ /APEF得 3 9 3 2 EFx ，故 3 3 2 EFx，而 2 x AQ ，由/ /APQG得 3 2 2 9 3 2 2 x QG ， 于是 9 1 62 x QG ，从而： 2 2 19399 213929 2644222 EFG

7、HL xx Sxxxx 所以，当2x 时，截面EFGHL的面积取得最大值 9. 基本方法介绍 公理法：用平面基本性质中的公理来作平面； 侧面展开法：将立体图形展开为平面图形进行研究； 例例 5能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？ 解：如图所示，我们可以用一个平面截一个正方体 1111 ABCDABC D，使得截面为一个凸五边形. 点I是 1 B B延长线上一点，使得 1 1 2 IBBB，E为 11 AD的中点，F为 1 AA上的点，使得 1 1 3 AF AF .则截面 1 C EFGH为过直线EF与 1 C I（这里 1 / /EFC I）的平面与

8、正方体 1111 ABCDABC D相截所得的凸五边形 截面. 用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.事实上，若截面可以为一个正五边形，则此 五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面. 我们将正方体的每两个相对的面作为一个抽屉，则上述包含正五边形的边的五个面中，必有两个面为 相对的平面，它们是平行的，利用平行平面的性质，可知此五边形中有两条边是平行的.但是正五边形的五 条边是彼此不平行的，矛盾. 例例 6已知一个平面截一个棱长为 1 的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示） ，证明：此六边形的周 长3 2. 证明：如图，我们将正方形的各个面依次展开，从正方形 PQQ P出发，

9、依次为 ,.PPQQ QQRR Q R S P R S SR S SPP PSRQ 从上述展开图可知截面六边形的周长大于等于 AA，而 22 333 2AA 这就是要证的结论. 【针对训练】 一、单选题 1 【江西省吉安市 2019-2020 学年高二上学期期末数学】 在正方体 1111 ABCDABC D中，F为AD的中点，E为棱 1 DD上的动点(不包括端点)，过点,B E F的平 面截正方体所得的截面的形状不可能是（） A四边形B等腰梯形C五边形D六边形 【答案】D 【解析】不妨设正方体的棱长为1，当 1 0 2 DE，截面为四边形BMEF； 如图 特别的，当 1 2 DE 时，截面为等

10、腰梯形 1 BFEC；如图 1 1 2 DE截面为五边形BFENM，不可能为六边形.如图 故选：D 2 【2020 届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】 如图圆锥 PO，轴截面 PAB 是边长为 2 的等边三角形，过底面圆心 O 作平行于母线 PA 的平面，与圆锥侧面 的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点 E 的距离为() A1B 1 2 C 1 3 D 1 4 【答案】D 【解析】 过底面圆心 O 作平行于母线 PA 的平面，与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，PA平面 PAB, 平面 PAB 与圆锥的侧面

11、交于 OE, 所以 OE|PA. 因为 OA=OB，所以 OE=1=OC, 因为 OP底面 ABC,所以 OPOC, 因为 OCOE,OP,OE平面 PAB,OPOE=0, 所以 OC平面 PAB,所以 OCOB. 在平面CED内建立直角坐标系设抛物线的方程为 2 2(0)ypx p， 1 (1,1), 12 , 2 Cpp ， 所以该抛物线的焦点到其顶点 E 的距离为 1 . 4 故选：D 3一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则该截面的面积是（） A 6 B 10 C 15 D 7 【答案】A 【解析】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，

12、其截面是等腰三角形ABC，如下图： 由于正方体的棱长为 2，所以 52 2ACBCAB， ，所以AB边上高为 3，所以 1 32 26 2 = ABC S， 故选：A 4如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点 E，F，G 分别是棱AB，BC， 1 BB的中点，过 E，F，G 三 点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（） A在平面 11 BDD B内存在直线与平面EFG平行 B在平面 11 BDD B内存在直线与平面EFG垂直 C平面 1 /ABC平面EFG D直线 1 AB与EF所成角为45 【答案】D 【解析】由线面平行判定定理可得，当 O 为BD的中点时， 1 BO平面EFG

13、， 由线面垂直判定定理可得， 1 BD 平面EFG，选项 A，B 都对. 因为 1 EGAB， 1 FGBC，所以平面EFG平面 1 ABC，选项 C 正确， 易得：EFAC, 1 ABC为等边三角形，故直线 1 AB与AC所成角为60,即直线 1 AB与EF所成角为60， 故 D 不正确， 故选：D. 5 【云南省昆明市 2019-2020 学年高三下学期 1 月月考数学】 某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个 棱长为4 3的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合） ，若其中一个截面圆的周长为 4，则该球的半径是（） A2B

14、4C2 6D4 6 【答案】B 【解析】设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2 3，根据 截面圆的周长可得42 r，得2r = =， 故由题意知 2 22 2 3Rr，即 2 22 22 316R ，所以4R ， 故选：B 6美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明 暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学 2018 级某同学在画“切面圆柱 体” （用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱， 底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体） 的过程中， 发现“切面” 是一个椭圆，若“切面”所在平面

15、与底面成45角，则该椭圆的离心率为（） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 1 3 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为r,椭圆的长轴为2a,短轴为2b, 则22br, 222 cos45 222 rb aa ,即 2 2 b a ,故离心率 2 12 11 22 cb e aa .故选:B. 7如图，已知三棱锥VABC，点P是VA的中点，且2AC ，4VB ，过点P作一个截面，使截面 平行于VB和AC，则截面的周长为（） A12B10C8D6 【答案】D 【解析】 如图所示，设 AB、BC、VC 的中点分别为 D,E,F，连接 PD,DE,EF,PF. 由题得 PD|VB,DE|AC,

16、 因为,PD DE 平面 DEFP,VB,AC 不在平面 DEFP 内， 所以 VB|平面 DEFP,AC|平面 DEFP, 所以截面 DEFP 就是所作的平面. 由于 11 |,|, 22 PD VB EF VB PDVB EFVB, 所以四边形 DEFP 是平行四边形， 因为 VB=4,AC=2,所以 PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面 DEFP 的周长为 2+2+1+1=6. 故选：D 8 【2020 届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】 已知球O是正四面体ABCD的外接球，2BC ，点E在线段BD上，且3BDBE，过点E作球O的 截面，则所得截面圆面积的最小值是（） A

17、 8 9 B 11 18 C 5 12 D 4 9 【答案】A 【解析】由题,设平面为过E的球O的截面,则当OE 平面时,截面积最小, 设截面半径为r,球的半径为R,则 222 rRd , 因为正四面体棱长为a,设过点A垂直于平面BCD的直线交平面BCD于点M,则 3 3 DMa ,令 AMh,OMx,则xhR, 在Rt AMD中, 222 AMDMAD ,即 2 22 3 3 haa ,则 6 3 ha , 在Rt OMD中, 222 DMOMR ,即 2 22 3 3 axR ,则 2 22 16 33 aaRR , 解得 6 4 Ra ,则 666 3412 xaaa , 在RtOED中

18、, 222 OEOMEM , 因为点E在线段BD上,3BDBE,设BC中点为N,则2DMMN, 所以 211 333 EMBNBCa, 在RtOED中, 222 OEOMEM ,即 2 2 22 6111 12372 daaa , 所以 2 222 6112 4729 raaa ,因为2aBC, 所以 2 8 9 r ,所以截面面积为 2 8 9 Sr, 故选：A 9 【2020 届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】 在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，,6,8ABAC ABAC，D是线段AC上一点，且3ADDC. 三棱锥PABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截

19、面圆的面积的最大值与最 小值之差为16，则球O的表面积为（） A72B86C112D128 【答案】C 【解析】将三棱锥PABC补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O， 记三角形ABC的中心为 1 O，设球的半径为R，2PAx， 则球心O到平面ABC的距离为x，即 1 OOx， 连接 1 O A，则 1 5O A ， 22 25Rx. 在ABC中，取AC的中点为E，连接 11 ,O D O E， 则 1 1 3 2 O EAB， 1 2 4 DEAC， 所以 1 13O D .在 1 Rt OO D中， 2 13ODx ， 由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小， 设此时截

20、面圆的半径为r， 则 22222 251312rRODxx， 所以最小截面圆的面积为12， 当截面过球心时，截面面积最大为 2 R ， 所以 2 1216R ， 2 28R ， 球的表面积为 2 112R. 故选:C. 10 【2020 届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】 正三棱锥PABC，Q为BC中点， 2PA ，2AB ，过Q的平面截三棱锥PABC的外接球所得 截面的面积范围为（） A 13 , 45 B 12 , 23 C,2 D 3 , 2 【答案】D 【解析】因为正三棱锥PABC， 2PBPCPA ，2ACBCAB， 所以 222 PBPAAB ，即PBPA，同理

21、PBPC，PCPA， 因此正三棱锥PABC可看作正方体的一角，如图， 记正方体的体对角线的中点为O，由正方体结构特征可得，O点即是正方体的外接球球心，所以点O也是 正三棱锥PABC外接球的球心，记外接球半径为R， 则 16 222 22 R ，因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过Q的平面截三棱锥PABC的外接球所得截面的面积最大为 2 max 3 2 SR；又Q为BC中点， 由正方体结构特征可得 12 22 OQPA ； 由球的结构特征可知，当OQ垂直于过Q的截面时，截面圆半径最小为 22 1rROQ ，所以 2 min Sr. 因此，过Q的平面截三棱锥PABC的外接球所得截面的面积范围为

22、 3 , 2 . 故选：D. 11一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部， 且球与三棱锥的各面只有一个交点） ，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的 （） AB CD 【答案】C 【解析】其空间结构体如下图所示: 易知截面是一个非等边的等腰三角形,排除 AD； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条,这条棱不可能与内切球有交点,所以排除 B； 截面所得等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线,且经过内切球在两个面上的切点,所以正确答 案是 C 故选:C 12 【2020 届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】

23、 如图，已知四面体 ABCD 的各条棱长均等于 4，E，F 分别是棱 AD、BC 的中点.若用一个与直线 EF 垂直， 且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最 大值为（） A3 2B4 C4 2D6 【答案】B 【解析】将正四面体补成正方体如图， 可得EF 平面CHBG，且正方形边长为2 2， 由于EF，故截面为平行四边形MNKL，且4KLKN， 又/KL BC，/KN AD，且ADBC， KNKL， MNKL SKN KL 2 4 2 KNKL ， 当且仅当2KLKN时取等号， 故选：B 13 【2020 届辽宁省实验中学、大连八中、大连二

24、十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】 仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面如图， 底面半径为 1 的圆柱内两个内切球球心距离为 4， 现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一 椭圆，则该椭圆的离心率为() A 1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 【答案】D 【解析】 画出图形的轴截面如图所示， 则CD为椭圆的长轴， 圆柱的底面直径为椭圆的短轴； 依题意4AB ， 2CG ，1AEBF，则 1 2 2 AOAB 1 sin 2 AE AOE AO 30AOE60GCO 在Rt CDG中有 1 cos 2 C

25、G GCO CD 4CD即椭圆中，24a ，22b 2a，1b 222 cab3c 3 2 c e a 故选：D 14已知正方体 1111 ABCDABC D的边长为 2，边AB的中点为M，过M且垂直 1 BD的平面被正方体所 截的截面面积为（） A 3 2 B 3 C2 3D3 3 【答案】A 【解析】如图，连结 111 ,AC CB AB BC， 易知 11 CBBC， 111 CBDC，又 1111 BCDCC，则 1 CB 平面 11 BC D，故 11 CBBD，同理可证明 CA平面 1 BDD，则 1 CABD， 又 1 CACBC，故 1 BD 平面 1 ACB. 取BC的中点E

26、， 1 BB的中点F，易知平面/ /MEF平面 1 ACB， 所以 1 BD 平面MEF，即 MEF为所求截面. 易知MEF为正三角形，边长 22 2MEBMBE ， 故 133 22 222 MEF S . 故选：A. 15在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，P，Q，R分别是AB，AD， 11 BC的中点，设过P，Q， R的截面与面 11 ADD A，以及面 11 ABB A的交线分别为l，m，则l，m所成的角为（） A90B30 C45D60 【答案】D 【解析】 因为， 在正方体 1111 ABCDABC D中，P，Q，R分别是AB，AD， 11 BC的中点， 取 1

27、1 C D， 1 DD， 1 BB的中点分别为G，F，E，连接FG，FQ，QP，PE，ER，RG，根据正方体的特征，易知， 若连接PG，EF，RQ，则这三条线必相交于正方体的中心，又 /GR EF QP，所以P，Q，R，G，F， E六点必共面，即为过P，Q，R的截面；所以EP即为直线m，FQ即为直线l； 连接 1 AB， 1 AD， 11 B D，因为 1 /EP AB， 1 /FQ AD， 所以 11 B AD即为异面直线EP与FQ所成的角， 又因为正方体的各面对角线都相等，所以 11 AB D为等边三角形， 因此 11 60B AD.故选：D. 16在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得

28、到的平面图形叫截面，如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E、F 分别是棱 B1B、B1C 中点，点 G 是棱 CC1的中点，则过线段 AG 且平行于平面 A1EF 的截面图 形为（） A矩形B三角形C正方形D等腰梯形 【答案】D 【解析】取BC的中点H，如图连接AH、GH、 1 DG、 1 AD，由题意得：/ /GHEF， 1 / /AHAF，GH 不在平面 1 AEF内，EF 平面 1 AEF内，|GH平面 1 AEF. AH不在平面 1 AEF内， 1 AF 平面 1 AEF内，|AH平面 1 AEF. GHAHH ，,GH AH 平面 1 AHGD， 平面 1/ / AHG

29、D平面 1 AEF， 过线段AG且平行于平面AEF的截面图形为等腰梯形 1 AHGD 故选：D 17 【2020 届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】 如图四面体ABCD中，2,ADBCADBC，截面四边形EFGH满足/ /EFBC；/ /FGAD，则 下列结论正确的个数为（） 四边形EFGH的周长为定值 四边形EFGH的面积为定值 四边形EFGH为矩形 四边形EFGH的面积有最大值 1 A0B1C2D3 【答案】D 【解析】因为/EF BCEF ，平面BCD，所以/EF平面BCD，又平面EFGH 平面BDCGH，所 以/EF GH. 同理/FG EH，所以四边形EFGH为平

30、行四边形， 又ADBC，所以四边形EFGH为矩形.所以是正确的； 由相似三角形的性质得 EFAFFCFG BCAC ACAD ， 所以 EFFGAFFC BCADACAC ，2BCAD，所以2EFFG， 所以四边形EFGH的周长为定值 4，所以是正确的； 2 1 2 EFGH EFFG SEFFG ，所以四边形EFGH的面积有最大值 1，所以是正确的.因为 正确.故选：D 18 【2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)】 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大 值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4

31、D 3 2 【答案】A 【解析】首先利用正方体的棱是 3 组每组有互相平行的 4 条棱，所以与 12 条棱所成角相等，只需与从同一 个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边 长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【解析】 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体 1111 ABCDABC D中， 平面 11 AB D与线 11111 ,AA AB AD所成的角是相等的， 所以平面 11 AB D与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面 1 C BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面

32、面积最大，则截面的位置为夹在两个面 11 AB D与 1 C BD中间的， 且过棱的中点的正六边形，且边长为 2 2 ， 所以其面积为 2 323 3 6() 424 S ，故选 A. 19 【四川省内江市 2019-2020 学年高二上学期期末数学（文)试题】 已知正三棱锥ABCD的外接球是球 O，正三棱锥底边3BC ，侧棱 2 3AB ，点 E 在线段BD上，且 BEDE，过点 E 作球 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（） A 9 ,3 4 B2 ,3C 11 ,4 4 D 9 ,4 4 【答案】D 【解析】如图, 由题,设BCD的中心为 1 O,球O的半径为R,连接 11 ,O

33、 D OD O E OE,则 1 2 3sin3 33 O D , 22 11 3AOADO D, 在 1 Rt OO D中, 2 2 2 33RR,解得2R , 所以 11 1OOAOR, 因为BEDE,所以 3 2 DE, 在 1 DEO中, 2 2 1 333 323cos 2262 O E , 所以 22 11 7 2 OEO EOO , 过点E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面的面积最小,此时截面的半径为 22 3 2 ROE,则截面面 积为 2 39 24 , 当截面过球心时,截面面积最大,最大面积为4, 故选:D 20 【云南省曲靖市 2019-2020 学年高三第一次教学质

34、量检测数学文科试题】 在四面体ABCD中，3ABBDADCD，4ACBC，用平行于AB，CD的平面截此四面体， 得到截面四边形EFGH，则四边形EFGH面积的最大值为（） A 4 3 B 9 4 C 9 2 D3 【答案】B 【解析】设截面分别与棱,AD BD BC AC交于点,E F G H.由直线/ /AB平面EFGH， 且平面ABC 平面EFGHGH，平面ABD平面EFGHEF 得/ /GHAB，/ /EFAB，所以/ /GHEF， 同理可证/EHFG，所以四边形EFGH为平行四边形， 又3ABBDADCD，4ACBC， 可证得ABCD，四边形EFGH为矩形. 设:BF BDBG BCF

35、G CDx，01x， 则3FGx，3 1HGx，于是 2 19 9 (1)9,01 24 EFGH SFG HGxxxx 当 1 2 x 时，四边形EFGH的面积有最大值 9 4 . 故选：B. 二、填空题 21 【山东省烟台市 2019-2020 学年高三上学期期末考试数学试题】 已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA 平面ABC，6PA， 2 3AB ，2AC ， 4BC ，则： （1）球O的表面积为_； （2）若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面 面积的最小值是_ 【答案】524 【解析】 （1）由题,根据勾股定理可得ACAB,则可将三棱锥PABC可放入以,AP AC

36、 AB为长方体的 长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,即 2 22 2262 32 13r+ ,则 13r ,所以球的表 面积为 2 2 441352r； （2）由题,因为Rt ABC,所以D为底面ABC的外接圆圆心,当DO 截面时,截面面积最小,即截面为平面 ABC,则外接圆半径为2,故截面面积为 2 24 故答案为： （1）52； （2）4 22 【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市 2019-2020 学年高三第一次诊断性测试数学文试题】 如图，已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E、F、G 分别为 11 ,ABADBC的中点，给出下列命 题： 异面直线 EF 与 A

37、G 所成的角的余弦值为 2 6 ； 过点 E、F、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是4 3； 1 AC 平面EFG 三棱锥CEFG的体积为 1 其中正确的命题是_（填写所有正确的序号） 【答案】 【解析】取 11 C D的中点为点 H，连接 GH、AH，如图 1 所示，因为/EF GH,所以AGH就是异面直线 EF 与 AG 所成的角 易知在AGH中，3,2AGAHGH，所以 2 2 2 cos 36 AGH ，正确； 图 1图 2图 3 矩形EFGH即为过点 E、F、G 所得正方体的截面，如图 2 所示，易知2,6EFEG,所以 262 3 EFGH S，错误； 分别以 DA、DC、DD

38、1为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图 3 所示直角坐标系,则(2,0,2),(2,1,0),AE (1,0,0),(1,2,2)FG， 1 ( 2,2, 2),(1,1,0),( 1,1,2)ACFEEG ， 因为 11 0,0AC FEAC EG ，所以 11 ,ACEF ACEG，又EF 平面EFG， EG 平面EFG且EFEGE，所以 1 AC 平面EFG，故正确 13 4(1 1 1 2 1 2) 22 EFC S ， 1 1 1 3 G ECFEFC VSC C ，正确. 故答案为： 23如图所示，在长方体 1111 ABCDABC D中，点 E 是棱 1 CC上的一个动点，若平面

39、1 BED交棱 1 AA于点 F，给出下列命题： 四棱锥 11 BBED F的体积恒为定值； 对于棱 1 CC上任意一点 E，在棱AD上均有相应的点 G，使得/CG平面 1 EBD； O 为底面ABCD对角线AC和BD的交点，在棱 1 DD上存在点 H，使/OH平面 1 EBD； 存在唯一的点 E，使得截面四边形 1 BED F的周长取得最小值. 其中为真命题的是_.（填写所有正确答案的序号） 【答案】 【解析】 11111111 2 BBED FBBEDBBFDBBED VVVV , 又三棱锥 11 BBED为三棱锥 11 EBB D,则底面 11 BB D不变,且因为 1/ / CC平面

40、11 BB D,故点E到底面 11 BB D 的距离即三棱锥 11 EBB D底面的高不变,故三棱锥 11 EBB D的体积不变,所以四棱锥 11 BBED F的体积 不变,恒为定值,故正确； 当点E在点C处时,总有CG与平面 1 EBD相交,故错误； 由 O 为底面ABCD对角线AC和BD的交点,则 1 2 DODB,设H为 1 DD的中点,则在 1 D DB中 1 / /OHD B,所以/OH平面 1 EBD,故正确； 四边形 1 BED F的周长为 01 2CBEED,则分析 1 BEED即可,将矩形 11 BCC B沿着 1 CC展开使得B 在DC延长线上时,此时B的位置设为P,则线段

41、 1 D P与 1 CC的交点即为截面平行四边形 1 BED F的周长取 得最小值时唯一点E,故正确； 故答案为: 24 【2020 届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】 在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，E是正方形 11 BBC C的中心，M为 11 C D的中点，过 1 AM的平 面与直线DE垂直，则平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面面积为_. 【答案】2 6 【解析】 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，记AB的中点为N，连接 1 ,MC CN NA， 则平面 1 AMCN即为平面证明如下： 由正方体的性质可知， 1 AMNC，

42、则 1 A，,M CN N四点共面， 记 1 CC的中点为F，连接DF，易证DFMC连接EF，则EFMC， 所以MC 平面DEF，则DEMC 同理可证，DENC，NCMCC，则DE 平面 1 AMCN， 所以平面 1 AMCN即平面，且四边形 1 AMCN即平面截正方体 1111 ABCDABC D所得的截面 因为正方体的棱长为2，易知四边形 1 AMCN是菱形， 其对角线 1 2 3AC ， 2 2MN ，所以其面积 1 2 22 32 6 2 S 故答案为：2 6 三、解答题 25 【2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标带解析)】 如图，长方体 1111 ABCDABC D中, 1 16,10,8ABBCAA，点,E F分别在 1111 ,AB DC上， 11 4AED F，过点,E F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由） ； （2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 【解析】 （1）交线围成的正方形EHGF如图： （2）作垂足为 M,则 1 8EMAA,因为EHGF是正方形,所以 , 于是 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱，其底面积之比为 9：7, 所以其体积比值为 9 7 （ 7 9 也正确）.