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1、数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 计算方法配套精品完整课件计算方法配套精品完整课件3 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 计算方法（B） 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第0章 绪论 l计算方法的作用 l计算方法的内容 l误差 l一些

2、例子 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 现实中，具体的科学、工程问题的解决： 实际问题实际问题 物理模型物理模型 数学模型数学模型 数值方法数值方法 计算机求结果计算机求结果 计算方法是一种研究并解决数 学问题的数值近似解近似解方法 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 数值数值 分析分析 输入复杂问题或运算输入复杂问题或运算 .),(,)( ,ln, xf

3、 dx d dxxf bxAxax b a x 计算机计算机 近似解近似解 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 计算方法的特性 l 理论性：数学基础 l 实践性 计算方法连接了模型到结果的重要环节 随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPART

4、MENT OF MATHEMATICS 学习的目的、要求 l会套用、修改、创建公式 l编制程序完成计算 课程评分方法课程评分方法 (Grading Policies) 总分总分 (100) = 平时作业平时作业(20)+上机作业上机作业(10)+期末期末 (70) 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 3、以E-Mail形式交： E-Mail: 主题 : PB05023001 内容 : 一次作业一个附件，并在内容中写出运行结果 u上机作业要求 1、编程可以用任何语言； （C,C

5、+,Matlab,Mathematica,Delphi,Fortran,等）不允许 使用内置函数完成主要功能 2、结果输出要求小数点后至少13位 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 内容 2、数值代数线性代数的数值求解，如解线性方程组、数值代数线性代数的数值求解，如解线性方程组、 逆矩阵、特征值、特征向量逆矩阵、特征值、特征向量 3、微分方程常微分，、微分方程常微分，Runge-Kutta法、积分法法、积分法 1、数值逼近数学分析中的数值求解，如微分、积分、数值逼近数学分析中

6、的数值求解，如微分、积分、 b a aFbFdxxf)()()( DDxbAx ii / 20 107 . 9 ,20n 100亿/秒，算3,000年，而Gauss消元法2660次 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差 l 绝对误差 设 * x 为精确值，x为近似值，xxe * 为误差或绝对误差 例如：) 1ln()(xxf作Taylor展开， 10 , )1)(1( ) 1() 1( 1 1 1 1 n nn i n i i xn x x i 舍弃，即为误差 数 学 系

7、 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS l相对误差 * * * x xx x e e r 称为相对误差 150分满考139，100分满考90，两者的绝对误差分别 为11和10，优劣如何？ 前者相对误差(150139)/150=0.073， 后者相对误差(100-90)/100=0.100 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差来源 l原始误差模型误差（忽略次要因素， 如

8、空气阻力）物理模型，数学模型 l方法误差截断误差（算法本身引起） l计算误差舍入误差（计算机表示数据 引起） 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差的运算 yx eeyxyx)()( * 1、 * yx ee yx 两相近数相减，相 对误差增大 |)e|e|(|y| |,xmax| )()()()( yx * * * yx exye xxyyyxyxyx2、 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPART

9、MENT OF MATHEMATICS 例子例子 求根012000 2 xx 005. 0 2 420002000 2 2 2, 1 xx 0050005. 0 1 2 420002000 2 1 2 2 1 x x x x 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS * * * * * * * * )()( yy yeex yy xxyyyx yy xyyx y x y x xy 3、 小数作除数，绝 对误差增大 误差的运算 数 学 系 University of Science

10、and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 有效位数 l当x的误差限为某一位的半个单位，则这 一位到第一个非零位的位数称位x的有效 位数。 有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 一些例子 dx x x I n n 1 0 5 1、 n dxxdx x xx II n nn nn 1 5 5 5 1 0 1 1 0 1 1 则，我们有 构造方法如下： 5 6 ln , 5 1

11、 01 II n I nn n I 1. 019.0 , 1 5 1 81 II n I nn n I 2. 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS n 00.1820.1820.182 10.0880.0900.088 20.0580.0500.058 30.04310.0830.0431 40.0343-0.1650.0343 50.02841.0250.0284 60.024-4.9580.024 70.02124.9330.021 80.019-124.5400.019

12、n I n I n I 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 原因：对格式1，如果前一步有误差， 则被放大5倍加到这一步 称为不稳定 格式 稳定格式，对舍入误差有抑制作用 在我们今后的讨论中，在我们今后的讨论中，误差误差将不可回避，将不可回避， 算法的算法的稳定性稳定性会是一个非常重要的话题。会是一个非常重要的话题。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 0 1

13、 yax ayx 2、 有时候，模型本身就是病态 （系数引入小变化，解产生大变化） 25.50 99. 0 xa 81.55 991. 0 xa 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：例：蝴蝶效应蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北 京就刮起台风来了？！京就刮起台风来了？！ NYBJ 以上是一个以上是一个病态问题病态问题 / /* * ill-posed problem ill-posed problem* */ / 关于本身是

14、病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！关于本身是病态的问题，我们还是留给数学家去头痛吧！ 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Lab 01. 级数计算级数计算Hamming (1962) x取值取值, x = 0.0, 0.1,1.0 ; 10.0,20.0,300.00. 绝对误差小于绝对误差小于 1.0e-6. 输出输出 两列输出：两列输出： x 和和 (x) 如如 C fprintf: fprintf(outfile,%6.2f%16.12fn,x,psix);/*

15、hererepresentsaspace*/ 1 )( 1 )( k xkk x 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS SampleOutput(representsaspace) 0.001.644934066848 0.101.534607244904 . 1.001.000000000000 10.000.000000000000 . 300.000.020942212934 数 学 系 University of Science and Technology of Ch

16、ina DEPARTMENT OF MATHEMATICS H.W. 给出计算如下式子的方法，以达到相当的精度 nn axaxf)()() 1 ( axaxfsin)sin()()2( axxxf 2 )()3( 其中，()、()中x接近，()中xa 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 一些基本数学定理 介值定理 若f(x)在a,b上连续，则任意g在f(a)与f(b)之间，都存在 , ca b使 f(c)= g 若f(x)在a,b上连续，x1,xn为a,b内的点， g1,gn

17、为 同号的实数，则存在 使 , a b 11 ( )( ) nn iii ii f x gfg 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 积分均值定理 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Taylor展开 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 第1

18、章 插 值 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来 逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 l 概念 x0 x1x2x3x4x g(x) f(x) 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不 相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 )(xf ba, 0 n i i x )(xg nixfxg ii , 0 , )()( 问

19、题 l是否存在唯一 l如何构造 l误差估计 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 00 00 ( )( )( ) ()()()() nn iiinni g xaxax g xfxaxax 设 则 00011000 00111111 0011 ()()()() ()()()() ()()()() nn nn nnnnnn axaxaxf x axaxaxf x axaxaxf x 所以 有解，当且仅当系数行列式不为系数行列式不为0 0 n ii a 数 学 系 Universit

20、y of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 存在唯一定理 定理1.1 ： 为n1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当 0 n i i x , 10n span 0 )()( )()( 0 000 nnn n xx xx 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 1. 与基函数无关 2. 与原函数f(x)无关 3. 基函数个数与点个数相同 特点：特点： 数 学 系 University

21、of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS , 1)( 2nn xxxspanx对应于对应于 则则 0 1 1 0 0 nij ji n n n xx x x Vandermonde行列式 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 多项式插值的Lagrange型 l 如何找？ 在基函数上下功夫，取基函数为 nn ii xl 0 )( 要求 ji ji xl ijji , 1 ,0 )( 则 )()()(

22、0 i n i i xfxlxg 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 求 n ii xl 0 )( ，易知： )()()()( 110niiii xxxxxxxxaxl )()()( 1 110niiiiii i xxxxxxxx a 011 011 ()()()() ()()()() iin i iiiiiin xxxxxxxx l xxxxxxxx 0 ()() n ni i xxx 记 () () ()() n i nii x lx xxx 数 学 系 Universi

23、ty of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS l线性插值 01 0 1 10 1 0 )( , )( xx xx xl xx xx xl )()()()()( 11001 xlxfxlxfxL 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS l二次插值 12 0 0102 ()() ( ) ()() xxxx lx xxxx 2001122 ( )() ( )() ( )() ( )L xf x lxf x

24、 l xf x lx 02 1 1012 ()() ( ) ()() xxxx l x xxxx 01 2 2021 ()() ( ) ()() xxxx lx xxxx 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )3 , 3(),1 , 2(),0 , 0(),2 , 1( 例： )31)(21)(01( )3)(2)(0( )( 0 xxx xl )23)(03)(13( )2)(0)(1( )( 3 xxx xl )32)(02)(12( )3)(0)(1( )( 2 xxx

25、 xl )30)(20)(10( )3)(2)(1( )( 1 xxx xl )(3)(1)(0)(2)( 3210 xlxlxlxlxg 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 算法： fx=0.0 for(i=0;i=n;i+) tmp=1.0; for(j=0;ji;j+) tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj); for(j=i+1;j=n;j+) tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj); fx=fx+tmp*yi; return fx; 011 011 ()

26、()()() ()()()() iin i iiiiiin xxxxxxxx l xxxxxxxx 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Lab02 Lagrange插值 2 1 ( ), 5,5 1 f xx x 对函数构造插值，并求 55 max( )( )max()() ,5,0,100 10 iii xi i f xp xf yp yyi 插值节点取为： 10 5,0,1, i xi iN N (1) 21 5cos,0,1, 22 i i xiN N (2) 对N=5

27、，10，20，40比较以上两组节点的结果。 Chebyshev点 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差)()()(xLxfxR nn 解： )()()( , 0 , 0)( , 0 , )()( 0nn in ini xxxxxkxR nixR nixLxf 求 ?)(xk 0)( and , 0, 0)( )()()()()( ?)(, 0 anix xtxtaktLtft aka i nn 设 易知 数 学 系 University of Science and Te

28、chnology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )(t 有n+2个零点 )!1( )( )( )!1)()()( 0)( , )1( )1()1( )1( n f ak nakf n nn n )()( )!1( )( )( 0 )1( n n n xxxx n f xR 由a的任意性 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：例：已知已知 2 3 3 sin, 2 1 4 sin, 2 1 6 sin 分别利用分别利用 sin x 的的

29、1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 解：解： 0 x 1 x 2 x 18 5 50 0 n = 1分别利用分别利用x0, x1 以及以及 x1, x2 计算计算 4 , 6 10 xx利用利用 2 1 6/4/ 6/ 2 1 4/6/ 4/ )( 1 xx xL 这里这里) 3 , 6 (,sin)(,sin)( )2( xxx fxxf 而而) 4 )( 6 ( !2 )( )(

30、, 2 3 sin 2 1 )2( 1 xx f xR x x 00762. 0) 18 5 (01319. 0 1 R sin 50 = 0.7660444 ) 18 5 (50sin 1 0 L0.77614 外推外推 /*extrapolation*/ 的实际误差的实际误差 0.010010.01001 3 , 4 21 xx利用利用 sin 50 0.76008, 00660. 0 18 5 00538. 0 1 R 内插内插 /*interpolation*/ 的实际误差的实际误差 0.005960.00596 内插通常优于外推。选择内插通常优于外推。选择 要计算的要计算的 x 所在

31、的区间的所在的区间的 端点，插值效果较好。端点，插值效果较好。 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS n = 2 2 3 )( )( 2 1 )( )( 2 1 )( )( )( 4363 46 3464 36 3646 34 2 xxxxxx xL ) 18 5 (50sin 2 0 L0.76543 2 3 cos 2 1 ;) 3 )( 4 )( 6 ( !3 cos )( 2 x x xxxxR 00077. 0 18 5 00044. 0 2 R sin 50 = 0

32、.7660444 2次插值的实际误差次插值的实际误差 0.000610.00061 高次插值通常优于高次插值通常优于 低次插值低次插值 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 事后误差估计 给定 1 0 n ii x 任取n+1个构造 )(xLn )( 1, 1 )( , 0 xLni xLni n n 如： 另取 则 )()( )!1( )( )( )( )()( )!1( )( )()( 11 2 )1( 0 1 )1( n n n n n n xxxx n f xLxf x

33、xxx n f xLxf 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 近似)()( 2 )1( 1 )1( nn ff 则 )( )()()( )( )()( )( )( )()( 10 0 01 0 10 1 1 0 xLxL xx xx xLxf xL xx xx xL xx xx xf xx xx xLxf xLxf nn n n n n n n n nn n 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTM

34、ENT OF MATHEMATICS Home Work 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS l Lagrange 插值的缺点 无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 为实数 Newton型多项式插值 , 110n xxx, 10n xxx 且 1 ()()() , 0, ninii NxNxf xin )()(

35、)( 011nnn xxxxaxq 同样 )()()( 10 nnn xxxxaxq )()()( 1 xqxNxN nnn 承袭性承袭性：)()()( 11 xqxNxN nnn 1 n P 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )()()()( 10010 nnn xxxxaxxaaxN 而且有： )()()()()( )()()()( )()()( )()( 10010 21202202102 101101 000 nnnnnnnn n n n xfxxxxaxxaaxN

36、 xfxxxxaxxaaxN xfxxaaxN xfaxN 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 这样：)( 00 xfa 01 01 1 )()( xx xfxf a 1 02 02 12 2 )()(1 a xx xfxf xx a 30 312 323031 ()()11f xf x aaa xxxxxx 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 0 101

37、0 01 01 10 , , )()( , xx xxfxxf xxf xx xfxf xxf k kk k 称为k阶差商 称为1阶差商 定义：差商差商 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 差商的一个性质差商的一个性质： （用归纳法易证） 对称性： , 0 0 k iik xxfxxf 定义关键：找不同的元素相减作分母 的任意排列是kii k ,0, 0 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMEN

38、T OF MATHEMATICS )( 00 xfa , )()( 10 01 01 1 xxf xx xfxf a , 1 )()(1 0120102 12 1 02 02 12 2 xxxfxxfxxf xx a xx xfxf xx a 由归纳： , 0nn xxfa 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS Newton插值构造 )(, 00 xfx )(, 11 xfx )(, 22 xfx )(, nn xfx , 10 xxf , 12 xxf , 1nn xxf ,

39、 012 xxxf , 21nnn xxxf , 0 xxf n 1、先构造差商表 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS l 例子 2点Newton型插值 )( )()( )()( 0 01 01 01 xx xx xfxf xfxN 2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式 )()(,)(,)()( 1000100 nnn xxxxxxfxxxxfxfxN 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTME

40、NT OF MATHEMATICS 差商表 求值 算法： for(i=1;i=i;j-) yj=(yj-yj-1)/(xj-xj-i); fx=yn; for(i=n;i=1;i-) fx=yi-1+(x-xi-1)yi-1; 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 问题：如果要做到增加一个点，而尽可能减少重 复计算，要如何改进前面的算法？ 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATH

41、EMATICS l 一些性质 n i niiiiii i n n nn xxxxxxxx xf xxf x xLxN 0 110 0 )()()( )( , )()( 的系数一样 性质2 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差 0 0100 1 00 Newton( ) ( )( ), ()() ( )( ) ( )( ), ()() n iin n iinnnn n nnn xNx xaNtN tf xx a txtx Naf a f aN af xx a axax 另一

42、方面 设插值为 则有为 显然 (1) 0 () , (1)! n n f fxxa n 性质3 (1) 0 ( ) ( ) ( )()() (1)! n nnn f NxR xxxxx n 同样的误差为 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 差商性质总结 n i niiiiii i n xxxxxxxx xf xxf 0 110 0 )()()( )( , , 0 0 n iin xxfxxf ( ) 0 ( ) , ( )! n n f f xx n nk nka xxfxP

43、xf n k n , 0 , ,),()( 0 推论：若 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 011 , mm k k fmkf x xxx 若 则 PP 证明作为作业 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 1.4 Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的 连续性条件，如一阶导数值等，这种插值称为Hermite插值。 ( )

44、00 ,( ),( ,( ),1,), Hermite nkn iiiiiii xf xxfxkk 定义：满足和条件的插值 称为插值 n iii n iii i xfxxfx k 00 )( ,)(, 1 和 满足一阶导条件为例，即每个点上还要以所有 称为二重密切Hermite插值 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 例：例：设设 x0 x1 x2, 已知已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和和 f (x1), 求多项式求多项式 P(x) 满足满足 P(xi) =

45、f (xi)，i = 0, 1, 2，且且 P(x1) = f (x1), 并估计误差。并估计误差。 模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数 = 3 2 13 )()()()()( 0 i ii xhx1f xhxfxP h0(x) 有根有根x1, x2，且且 h0(x1) = 0 x1 是重根。是重根。)()()( 2 2 100 xxxxCxh 又又: h0(x0) = 1 C0 )()( )()( )( 20 2 10 2 2 1 0 xxxx xxxx xh h2(x) 与与h0(x) 完全类似。完全类似。 其中其中 hi(xj

46、) = ij , hi(x1) = 0, (xi) = 0, (x1) = 1 h1 h1 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS h1(x) 有根有根 x0, x2 )()()( 201 xxxxBAxxh 由余下条件由余下条件 h1(x1) = 1 和和 h1(x1) = 0 可解。可解。 (x) h1 有根有根 x0, x1, x2 h1)()()( 2101 xxxxxxCx h1又又: (x1) = 1 C1 可解。可解。 ),()()()()()( 2 2 1033

47、xxxxxxxKxPxfxR !4 )( )( )4( x f xK 与与 Lagrange 分析分析 完全类似完全类似 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS )()( ,)( )( )()()()( 12 00 00 12 xPxgxh xfxgxfxhxH nn ii n ii n i ii n i iin 问题变为求函数 设， ijji ji ji ijji xg xg xh xh )( 0)( , 0)( )( 同样： 仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值

48、空间的维数， 注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1 l 对二重密切Hermite插值 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 1000 0100 0010 0001 0 0 00 n n nn x x x x gghh 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS l 整个构造步骤如下： 1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数 2、假

49、设一组基函数，列出插值多项式 3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数 称为 构造基函数方法 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 误差分析 类似Lagrange插值的分析方法 0 0 00 0 0 11 0 11 0 (1)(1) 0 (1) 0 ( )( )( ) ,( ) ( )( )()() ( )( )( )( )()() ( )( )( )(1)! ( ) ( )( (1)! n n nn n n kk n kk n kknkkn n kkn n R xf xH x xxR x R xk x xxxx tf tH tk x txtx fk x kkn f R x kkn 易知，为若干重根 记 0 11 0) () n kk n xxxx 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 二重密切Hermite插值误差 (22) 22 0 ( ) ( )()() (22)! n n f R xxxxx n 数 学 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEM