（2021新教材）北师大版高中数学必修第一册第三章　§3　第1课时　指数函数的概念、图象与性质ppt课件.pptx

1、3.1指数函数的概念 3.2指数函数的图象和性质 第1课时指数函数的概念、图象 与性质 激趣诱思知识点拨 当有机体生存时,会因呼吸、进食等不断地从外界摄入碳14,最终 体内碳14与碳12的比值会达到与环境一致(该比值基本不变),当有 机体死亡后,碳14的摄入停止,之后体中碳14因衰变就会逐渐减少, 通过测定碳14与碳12的比值就可以测定该生物的死亡年代. 已知碳14的半衰期(消耗一半所花费的时间)为5 730年,你能用函数 表示有机体内的碳14与其死亡时间之间的关系吗? 激趣诱思知识点拨 一、指数函数的概念 1.形如y=ax(a0,且a1)的函数称为指数函数.其中x是自变量,且 xR.即定义域

2、为R,值域为(0,+). 2.指数函数的图象过定点(0,1). 名师点析1.当x=0时,y=a0=1,即指数函数的图象过定点(0,1);若a=1, 指数函数y=ax即为y=1,图象为经过点(0,1)与x轴平行的直线.所以图 象过定点(0,1). 2.根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a0,且a1)的函数才叫指数 函数,如 都不是指数函数. 激趣诱思知识点拨 微思考 指数函数中,为什么要规定a0,且a1? 如果a=0,那么当x0时,ax=0,当x0时,ax无意义; 如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要. 所以规定a0,且a1,此时x可以是任意实数. 激趣诱思知识点拨 二、指数

3、函数的图象和性质 1.指数函数的图象和性质 激趣诱思知识点拨 激趣诱思知识点拨 2.函数y=ax和y=bx函数值的大小关系 y轴 激趣诱思知识点拨 名师点析1.指数函数的图象,既不关于原点对称,也不关于y轴对称, 所以指数函数既不是奇函数,也不是偶函数. 2.指数函数的图象永远在x轴的上方.底数越大,图象越高,简称“底大 图高”. 激趣诱思知识点拨 微判断 (1)指数函数y=mx(m0,且m1)是R上的增函数.() (2)指数函数y=ax(a0,且a1)既不是奇函数,也不是偶函数.() (3)所有的指数函数图象过定点(0,1).() (4)函数y=a|x|与函数y=|ax|的图象是相同的.()

4、 答案: (1)(2)(3)(4) 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. 激趣诱思知识点拨 微练习1 若指数函数y=(a-2)x是R上的单调增函数,则实数a的取值范围是 . 微练习2 函数y=2-x的图象是() 答案: (3,+) 解析:由函数y=(a-2)x是R上的单调增函数,得a-21,即a3. 答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 指数函数的概念指数函数的概念 例1(1)若指数函数f(x),满足f(2)-f(1)=6,则f(3)=; (2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值. 答案: (1)27 解析:设指数函数f(x)=ax(a

5、0,且a1),则a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3, 于是f(3)=33=27. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟1.判断一个函数是不是指数函数的方法: (1)看形式:即看是否符合y=ax(a0,且a1,xR)这一结构形式. (2)明特征:指数函数的解析式具备的三个特征,只要有一个特征不 具备,则不是指数函数. 2.已知某个函数是指数函数,求参数值的步骤: (1)列:依据指数函数解析式所具备的三个特征,列出方程(组)或不等 式(组). (2)解解所列的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或范围. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1下列函数,一定是指数函数的是.(

6、填序号) 答案: 解析:y=5x符合指数函数的定义,是指数函数; y=4x-1中,指数是x-1而非x,不是指数函数; y=-3x中,系数是-1而非1,不是指数函数; y=(a+3)x中,底数a+3不一定满足“大于0,且不等于1”的条件,不一 定是指数函数. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用 1.图象过定点问题 例2已知函数f(x)=ax+1+3(a0,且a1)的图象一定过点P,则点P的坐 标是. 答案: (-1,4) 解析:当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3 恒过点(-1,4). 反思感悟指数型函数

7、图象过定点问题的解法 因为函数y=ax(a0且a1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数 f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k0,a0,且a1).若g(m)=0,则f(x)的图 象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求 定点. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究本例中函数改为f(x)=5a3x-2+4呢? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.画指数型函数的图象 例3画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过 怎样的变换得到的. (1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.

8、分析作出函数y=2x的图象,利用平移变换与对称变换求解. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)如图,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度 得到的. (2)如图,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得 到的. (3)如图,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称. (4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x0上的图象与 y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图所示. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟变换作图法及注意点 (1)平移变换及对称变换: 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (2)翻折变换: 将函数y=

9、f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,替代 原x轴下方部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上及其上方部分即可得 到函数y=|f(x)|的图象. 将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替代 原y轴左侧部分,并保留y=f(x)的图象在y轴上及其右侧的部分即可 得到函数y=f(|x|)的图象. (3)利用变换作图法作图要注意以下两点: 选择哪个指数函数作为起始函数; 要注意平移的方向及单位长度. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练2函数y= 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值 域和单调区间吗? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.函数图象的识别

10、 例4如图是指数函数:y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d 与1的大小关系是 () A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:B 解析:(方法一)中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越 小,图象向下越靠近x轴,故有ba,中函数的底数大于1,在y轴右 边,底数越大,图象向上越靠近y轴,故有dc.故选B. (方法二)作直线x=1,与函数,的图象分别交于A,B,C,D四 点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,所以交点的纵坐标 越大,则对应函数的底数越大.由图可知ba1d0,且a1)的图象 与直线

11、x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即 底数,由此可得底数的大小. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练3若函数y=ax-(b+1)(a0,且a1)的图象经过第一、三、四 象限,则必有() A.0a0B.0a1,b1,b1,b0 答案:D 解析:由指数函数y=ax图象的性质知函数y=ax的图象过第一、二象 限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平 移(b+1)个单位长度得到的,如图,故若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、 三、四象限,则a1,且b+11,从而a1,且b0.故选D. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测

12、利用指数函数单调性比较幂值大小利用指数函数单调性比较幂值大小 例5比较下列各题中两个值的大小: 解:(1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而 函数y=2.5x在R上是增函数. 又35.7,2.532.55.7. (3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.280.670=1, 则2.3-0.281,且a2). 解:因为a1,且a2,所以a-10,且a-11. 若a-11,即a2,则y=(a-1)x是增函数,(a-1)1.3(a-1)2.4.若0a-11, 即1a(a-1)2.4.故当a2时,(a-1)1.3(a-1)2.4;当1a(a-1)2

13、.4. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 数形结合思想数形结合思想指数函数图象的应用指数函数图象的应用 典例若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a0,且a1)的图象有两个公共 点,求实数a的取值范围. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟在运用指数型函数的图象求解相关问题时,要注意已知函 数与指数函数的联系,把握图象的特点,抓住特殊点,巧用函数图象 的平移和对称变换规律,结合函数的性质进行求解. 特别是在图象变换时,要注意渐近线的相应变化.如本题中,就容易 忽视渐近线问题,即没有考虑直线y=2的限制,而得出2a1的错误结 论. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练(20

14、20陕西师大附中高一月考)方程2x+x2-2=0的实数根有 个. 答案:2 解析:原方程可化为2x=-x2+2, 设函数f(x)=2x,g(x)=-x2+2,在同一个平面直角坐标系中分别作出两 个函数的图象,如图所示. 则由两个函数的图象有两个交点,得方程2x+x2-2=0有两个不同的 实数根. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.给出下列函数:y=x3;y=-2x;y=2x;y=2x+1;y=32x,其中是 指数函数的个数是() A.1B.2C.3D.4 答案:A 解析:指数函数是形如y=ax(a0,且a1)的函数,故只有y=2x是指数 函数,所以正确选项为A. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.若函数f(x)=(m-2)mx是指数函数,则f(-2)=() 答案:B 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 A.abcB.abc C.acbD.bc0且a1)的图象恒过定点P,则定点P的坐标为( ) A.(1,7) B.(1,8) C.(0,1)D.(0,7) 答案:B 解析:a0=1,f(1)=7+a1-1=8,故函数恒过点P(1,8),所以正确选项为B. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 5.函数f(x)=2|x|的图象是() 答案:A 解析:f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),f(x)是偶函数,可排除C,D,又x0时,f(x)=2x是 增函数,排除B.