（2021新教材）北师大版高中数学必修第一册第六章　§3　3.1　从频数到频率　3.2　频率分布直方图ppt课件.pptx

1、3.1从频数到频率 3.2频率分布直方图 激趣诱思知识点拨 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市 政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理, 即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费, 超出a的部分按议价收费.如果希望85%以上的居民的日常生活不 受影响,那么标准a定为多少比较合理?你认为较为合理地确定出这 个标准,需要做哪些工作? 激趣诱思知识点拨 一、频率分布表与频率分布直方图 1.基本概念 激趣诱思知识点拨 2.频率分布表和频率分布直方图的意义 从一个总体得到一个包含大量数据的样本时,我们很难从一个个数 据中直接看出样本所含的信息

2、.如果把这些数据整理成频率分布表 或频率分布直方图,就可以比较清楚地看出样本数据的频率分布, 从而估计总体的分布情况.用样本估计总体,是研究统计问题的一 个基本思想方法,而对于总体分布,我们总是用样本频率分布对它 进行估计. 3.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 (1)频率分布是指从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角 度,来表示数据分布的规律. (2)一般用频率分布直方图反映样本的频率分布. 激趣诱思知识点拨 (3)画频率分布直方图的一般步骤为: 第一步,求极差. 第二步,确定组距和组数.为了方便起见,组距的选择应力求“取整”, 极差、组距、组数有如下关系: (x表示不大于x的最大整

3、数) 第三步,分组.通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组 取闭区间. 第四步,列频率分布表.统计各组数据的频数,计算频率,填入表格中, 完成频率分布表. 第五步,依据频率分布表画频率分布直方图.画图时,以横轴表示样 本数据,纵轴(小长方形的高)表示频率与组距的比值. 激趣诱思知识点拨 名师点析频率分布直方图的特征 总体分布情况可以通过样本频率分布情况来估计,样本频率分布是 总体分布的一种近似表示,频率分布表和频率分布直方图有以下特 征:(1)从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势.(2) 从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后, 原有的具体数据信息就被抹

4、掉了.(3)频率分布表和频率分布直方图 由样本决定,因此它们会随样本的变化而变化.(4)若固定分组数,随 着样本容量的增加,频率分布表中各个频率会稳定在某一个值的附 近,从而频率分布直方图中的各个小长方形的高度也会稳定在特定 的值上. 激趣诱思知识点拨 微拓展 绘制频率分布直方图应注意什么问题? 提示:各组频率的和等于1,因此各个小长方形面积的总和等于 1.频率分布直方图比频率分布表更直观、形象地反映了样本的 分布规律.在直角坐标平面内画频率分布直方图时,横轴上是样 本 激趣诱思知识点拨 同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴单位长度不同,得到的 频率分布直方图的形状也会不同,不同的形状给人们

5、的印象也不同, 这种印象有时会影响我们对总体的判断.同一个总体,由于抽样 的随机性,因此随机抽取另外一个同样容量的样本,所形成的样本 频率分布直方图一般会与前一个样本频率分布直方图有所不同,但 它们都可以用来估计总体的分布.而随着样本容量的增加,频率分 布表中各个频率会稳定在某个值的附近,从而频率分布直方图中的 各个矩形的高度也会稳定在特定的值上. 激趣诱思知识点拨 微思考 频率分布表与频率分布直方图各有什么特点? 提示:频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率,但不 直观,数据的总体态势不明显.频率分布直方图能直观地表明数据 分布的形状态势,但失去了原始数据. 激趣诱思知识点拨 二、频

6、率折线图 在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区 间,从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连接各个矩形的顶 端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之 为频率折线图. 名师点析频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势,随着样本 容量的不断增加,分组的不断加密,频率折线就会越来越光滑,最终 形成一条光滑的曲线. 激趣诱思知识点拨 微拓展 总体密度曲线的特征. 提示:(1)在样本频率分布直方图中,随着样本容量的增加,作图时所 分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条 光滑曲线,统计学中称这条光滑曲线为总体密度曲线,如图所示. (2)总体密度

7、曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我 们提供更加精细的信息,图中阴影部分的面积,就是总体在区间(a,b) 内取值的百分比. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 频数与频率的有关计算频数与频率的有关计算 例1已知一个容量是40的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频 数分别是5,6,7,10,第五组的频率是0.2,那么第六组的频数是 ,频率是. 答案:40.1 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟频数与频率的求解策略 对于频数与频率的问题,首先要明确几个等量关系,即各组的频数 之和等于样本容量,各组的频率之和为1,频率= .在解题过 程中,要明确频数、频率以及样本容量之间的关

8、系,弄清已知、未 知,选择合适的公式进行解题. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 变式训练1一个容量为20的样本数据,分组后组距与频数如下表: 则样本数据在区间(0,50)上的频率为. 答案:0.7 解析:区间(0,50)包括四部分的数据,在这四部分上的数据的频数和 是2+3+4+5=14,样本容量为20,所以样本数据在区间(0,50)上的频 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 画频率分布直方图、折线图画频率分布直方图、折线图 例2某省为了了解和掌握2020年高考考生的实际答卷情况,随机地 取出了100名考生的数学成绩,数据如下:(单位:分) 135981021109912111096100

9、103 1259711711311092102109104112 1051248713197102123104104128 10912311110310592114108104102 12912697100115111106117104109 1118911012180120121104108118 12999909912112310711191100 991011169710210810195107101 1021081179911810611997126108 12311998121101113102103104108 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (1)列出频率分布表; (2)画出

10、频率分布直方图和折线图; (3)估计该省考生数学成绩在100,120)分之间的比例. 分析先求极差.根据极差与数据个数确定组距、组数,然后按频率 分布直方图的画法绘制图形. (1)频率分布表如下: 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,如 图所示. (3)从频率分布表中可知,这100名考生的数学成绩在100,120)分之 间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生数学成 绩在100,120)分之间的比例为60%.(0.60=60%) 探究一探究二探究三素养形成当堂检测

11、 反思感悟组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组 数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或 太少都会影响对数据分布情况的了解,若样本容量不超过120个时, 按照数据的多少常分为5组12组,一般样本容量越大,所分组数越 多. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 延伸探究本例条件不变,制成频率分布直方图时分组如 下,80,85),85,90),90,95),95,100),100,105),105,110),110,115),11 5,120),120,125),125,130),130,135.若90分或90分以上为及格,请 计算该省考生数学成绩的及格率. 探究一探究

12、二探究三素养形成当堂检测 解:列出频率分布表如下 由表可得,及格(即90分或90分以上)的频率为0.04+0.14+0.24+ 0.15+0.12+0.09+0.11+0.06+0.02=0.97.故及格率为97%. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 频率分布直方图的应用频率分布直方图的应用 例3某校在5月份开展了科技月活动.在活动中某班举行了小制作评 比,规定作品上交的时间为5月1日到31日,逾期不得参加评比.评委 会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布 直方图(如图).已知从左到右各长方形的高的比为 234641,第三组的频数为12,请解答下列问题: (1)本次活动共

13、有多少件作品参加评比? (2)哪组上交的作品数最多,有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有10 件、2件作品获奖,问这两组哪组获奖率 较高? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 分析(1)根据条件:从左到右各长方形的高的比为 234641,第三组的频数为12,计算参加评比的作品总 数;(2)根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多,再由本组的 频率计算频数;(3)先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频 数,再计算获奖率. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)设从左到右各长方形的高分别为2x,3x,4x,6x,4x,x.设参加评比 的作品总数为a件, 满足(2x+3x+4x

14、+6x+4x+x)5=1.解得a=60(件). (2)由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多,共有 6x5a=18(件). (3)第四组和第六组上交的作品数分别为:18件,x5a=3(件),则它 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 反思感悟1.频率分布直方图的性质 相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数 据落在各个小组内的频率大小; (2)在频率分布直方图中,各小矩形的面积之和等于1; 2.频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性,由抽样 的代表性利用样本在某一范围内的频率,可近似地估计总体在这一 范围内取值的可能性. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测

15、变式训练2为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行 一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图如 图所示,图中从左到右各小长方形面积之比为24171593, 第二小组频数为12. (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在110或110以上为达标,试估计该校全体高一学生的达标 率是多少? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小 组内的频率大小,因此第二小组的频率为 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 利用频率分布直方图进行利用频率分布直方图进行计算计算 典例 某班50名学生在一次百米测试中,成绩全

16、部介于13秒与19秒 之间,将测试结果按如下方式分成六组:13,14),14,15),15,16), 16,17),17,18),18,19.如图所示的是按上述分组方法得到的频率 分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为 x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,则x和y分别为( ) A.0.9,35 B.0.9,45 C.0.1,35 D.0.1,45 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:A 解析:从频率分布直方图可以看出 x=1-(0.06+0.04)=0.9,y=50(0.36+0.34)=35. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 1.一个容量为20的

17、样本数据,分组及各组的频数如下 则样本在区间20,60)上的频率是() A.0.5B.0.6 C. 0.7D. 0.8 答案:D 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 2.一个容量为32的样本,已知某组数据的频率为0.125,则该组数据 的频数为() A.2B. 4 C. 6D. 8 答案:B 解析:0.12532=4. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 3.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图,则由图中的 数据可知,样本落在15,20内的频数为() A.20B. 30 C. 40D. 50 答案:B 解析:样本数据落在15,20内的频数为:1001-5(0.04+0.10) =30

18、. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 4.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据绘制 成频率分布直方图如图所示.由图中数据可知a=.若要从 身高在120,130),130,140),140,150三组内的学生中,用分层随机 抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在140,150内的学生 中选取的人数为. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 答案:0.0303 解析:0.00510+0.03510+a10+0.02010+0.01010=1, a=0.030,设身高在120,130),130,140),140,150三组的分别有 x,y,z人. 探究一探究二探究三素养

19、形成当堂检测 5.公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的 需求.为此,公交公司在某站台随机调查了80名乘客,他们的候车时 间如下所示(单位:min): 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (1)将数据进行适当的分组,并画出相应的频率分布直方图和频率折 线图; (2)候车时间不低于15分钟比例是多少?你能为公交公司提出什么 建议? 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 解:(1)该数据中最大值为34,最小值为1,两者之差为33,故取组距为5, 分为7组. 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 频率分布直方图如下图所示: 频率折线图如下图所示: 探究一探究二探究三素养形成当堂检测 (2)候车时间不低于15分钟的百分比为0.275+0.125+0.100+0.037 5=0.537 5=53.75%, 公交公司可以适当增加公交车的数量.