(2021新教材)北师大版高中数学必修第一册第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质ppt课件.pptx
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1、4.2简单幂函数的图象和性质 激趣诱思知识点拨 幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用.那么幂 函数如何定义?它的图象和性质是怎样的呢? 激趣诱思知识点拨 一、幂函数的定义 一般地,形如(为常数)的函数,即是自变量、 是常数的函数称为幂函数. 名师点析1.幂的指数是一个常数,它可以取任意实数; 2.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数y=5 就不是幂函 数. 3.幂函数的定义域是使x有意义的所有x的集合,因的不同,定义域 也不同. y=x 底数 指数 激趣诱思知识点拨 微练习 在函数y= ,y=3x2,y=x2+2x中,幂函数的序号为 .(填序号) 答案: 解析:函数y= =
2、x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它 不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=x(R)的形式,所以它不是幂函 数. 激趣诱思知识点拨 二、幂函数的图象和性质 1.常见的五种幂函数的图象 可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内无图象. 激趣诱思知识点拨 2.幂函数的性质 0,+) 0,+) 0,+) 奇函数 偶函数 既不是奇 函数,也不 是偶函数 奇函数 增函数 单调递增 单调递减 增函数 单调递减 (1,1) 单调递减 激趣诱思知识点拨 名师点析幂函数y=x的上述性质可归纳如下: (1)当0时,图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增. (
3、2)当0时单调递增,可先利用幂 函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值. 解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在(0,+)上单调递增; 当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+)上单调递减,不符合要求.故m=3. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y=x(为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任 何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3) 的
4、图象不过原点,求实 数m的取值. 解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 幂函数的图象幂函数的图象 例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( ) A.cba B.abc C.bca D.cab 分析利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分 析并判断a,b,c的大小关系. 答案:A 解析:由幂函数的图
5、象特征,知c1,0b1.故cb2b2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是abc. 2.对于函数y=x(为常数)而言,其图象有以下特点: (1)恒过点(1,1). (2)当x(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图 低”);当x(1,+)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指 大图高”). (3)由幂函数的图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在 第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= ,y=x3)来判断. (4)当0时,幂函数在区间(0,+)上都是增函数;当0时,幂函数在 区间(0,+)上都是减函数. 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测 变式训练
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