（2021新教材）北师大版高中数学必修第一册期末复习第8章数学建模活动（一）基础测试.doc

1、北师北师大新版数学必修第一册第大新版数学必修第一册第八章数学建模活动（一）基础测试题八章数学建模活动（一）基础测试题 一、单选题一、单选题 1某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为 L1=5.06x0.15 x2 和 L2=2x，其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得 的最大利润为 A45.606B45.6C45.56D45.51 2一种产品的成本是 a 元今后 m（mN*）年内，计划使成本平均每年比上一年降 低 p%，成本 y 是经过年数 x 的函数（0 xm，且 xN*） ，其关系式为 Ay=a（1+p%）xBy=a（1p%）xCy

2、=a（p%）xDy=a（p%）x 3某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4 000 辆次，存车费为：电动自行车 1 元/ 辆，普通自行车 0.5 元/辆若该天普通自行车存车 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（） Ay0.5x（0 x4 000）By1.5x（0 x4 000） Cy0.5x4 000（0 x4 000）Dy0.5x4 000（0 x4 000） 4某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4 000 辆次，存车费为：电动自行 车 0.3 元/辆，普通自行车 0.2 元/辆若该天普通自行车存车 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 与 x 的函数关系

3、式为() Ay0.2x(0 x4 000) By0.5x(0 x4 000) Cy0.1x1 200(0 x4 000) Dy0.1x1 200(0 x4 000) 5据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系最可 能是下图中的（） AB CD 6“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入 不超过800元， 免征个人所得税， 超过800元部分需征税， 设全月纳税所得额为x，x 全月总收入800元，税率见下表： 级数全月纳税所得额税率 1不超过500元部分5% 2超过500元至2000元部分10% 3超过2000元至5000元部分15% 9

4、超过10000元部分45% 某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于（） A800 900元B900 1200元 C1200 1500元D1500 2600元 7某研究小组在一项实验中获得一组关于 , y t之间的数据，将其整理得到如图所示的 散点图，下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是（） A 2 2ytB2ty C 2 logytD 3 yt 8某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d（每层玻璃的厚度相 同） 及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响， 利用热传导定律得到热传导量q满 足关系式 1 1 2 2 T q l d d ，其中玻璃的热传导系

5、数 3 1 4 10 焦耳/（厘米度） ， 不流通、干燥空气的热传导系数 4 2 2.5 10 焦耳/（厘米度） ，T为室内外温度差， q值越小，保温效果越好，现有 4 种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表： 型号每层玻璃厚度d（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度l（单位： 厘米） A型0.43 B型0.34 C型0.53 D型0.44 则保温效果最好的双层玻璃的型号是（） AA型BB型CC型DD型 9某工厂在某年 12 月份的产值是这年 1 月份的产值的 m 倍，则该厂在本年度的产值 的月平均增长率为（） A 11 m B 12 m C12 1m D11 1m 10为了保护水资源，提倡节约用水，

6、某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方 法如下： 每户每月用水量水价 不超过 12m3的部分3 元/m3 超过 12m3但不超过 18m3的部分6 元/m3 超过 18m3的部分9 元/m3 若某户居民本月交纳的水费为 54 元，则此户居民本月用水量为（） A20m3B18m3 C15m3D14m3 11如图是我国 2008 年2017 年GDP年增量统计图下列说法正确的是（） A2009 年GDP比 2008 年GDP少 B与上一年比，GDP年增量的增量最大的是 2017 年 C从 2011 年到 2015 年，GDP年增量逐年减少 D2016 年GDP年增长率比 2012 年GDP年

7、增长率小 12图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规 律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是（） A捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期 B由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少 C捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图 1 乙描述 D捕食者的数量在第25年和30年之间数量在急速减少 二、填空题二、填空题 132011 年 9 月 1 日起，我国实行新个人所得税率，起征点为 3500 元，超过部分实行 超额累进税率.如果月工资 20000 元，则应交税为_元. 应纳锐收入（元）税率（%） 不超过 1500 元3 超过 1500

8、 元至 4500 元10 超过 4500 元至 9000 元20 超过 9000 元至 35000 元25 14 建造一个容积为 8m 3、 深为 2m 的长方体形状的无盖水池， 已知池底和池壁的造价 别 为 100 元/m 2和 60 元/m2，总造价 y (单位：元）关于底面一边长 x (单位：m)的函数解 析式为_ 15某公司一年需要购买某种原材料 400 吨，计划每次购买x吨，已知每次的运费为 4 万元/次，一年总的库存费用为4x万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x为 _ ； 16大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 可以表示为函数 3 1 l

9、og 2100 O v ，单位是/m s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一 条鱼的耗氧量是 2700 个单位时，它的游速是_/m s. 三、解答题三、解答题 17工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为: 1 ,0 6 2 , 3 xc x p xc (c 为常数， 且 0c6).已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元， 每出现 1 件次品亏损 1.5 元. （1）将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？ 18为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知 该单位每月的处理量最多不超过 3

10、00 吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间 的函数关系式可近似的表示为： 2 20040000yxx，且每处理一吨二氧化碳得到 可利用的化工产品价值为 300 元 （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？ 19甲、乙两城相距 100，在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两 城供电，为保证城市安全，核电站距两地的距离不少于 10已知各城供电费用（元） 与供电距离 （） 的平方和供电量 （亿千瓦时） 之积都成正比， 比例系数均是=0 25， 若甲城供电量为 20 亿千瓦时/月，乙城供电量为 10 亿

11、千瓦时/月， （1）把月供电总费用（元）表示成（）的函数，并求其定义域； （2）求核电站建在距甲城多远处，才能使月供电总费用最小 2020 世纪 70 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡 量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们 常说的里氏震级 M，其计算公式为：Mlg Alg A0其中 A 是被测地震的最大振幅， A0是“标准地震”的振幅 （1）假设在一次地震中，一个距离震中 1 000 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20， 此时标准地震的振幅是 0.002，计算这次地震的震级； （2）5 级地震给人的震感已比较明显，我国发

12、生在汶川的 8 级地震的最大振幅是 5 级 地震的最大振幅的多少倍？ 21某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产 1 百台时又 需可变成本（即需另增加投入）0.25 万元，市场对此商品的需求量为 5 百台，销售收入 （单位：万元）的函数为 2 1 5(05) 2 Rxxx ，其中 x 是产品生产并售出的数量（单 位：百台） （1）把利润表示为年产量的函数 （2）年产量为多少时，企业所得利润最大？ （3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？ 22有研究表明，声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，当空气的温度变化，声 音的传播速度也将随着变化声音在空气中传播速度

13、与空气温度关系一些数据（如下表 格） 温度/ C20100102030 声速/m s318324330336342348 （1）指出在这个变化过程中的自变量和因变量； （2）当声音在空气中传播速度为 342m/s 时，此时空气的温度是多少？ （3）该数据表明：空气的温度每升高10 C，声音的传播速度将增大（或减少）多少？ （4）用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，根据（3）中你发现的规律， 直接写出y与x之间的关系式 参考答案参考答案 1B 【解析】 主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题 解：设甲地销售x辆，依题意 L1+L2=5.06x0.15 2 x +2（15x

14、） = 2 0.153.0630 xx = 2 0.15(10.2)45.606x，所以当x取整数 10 时，最大利润为 45.6，故选 B 2B 【分析】 根据题意，成本每年降低率相同，符合指数函数模型问题，利用指数函数即可解决问题 【详解】 根据题意，得 y=a（1p%）x，x 是年数，又由题意 0 xm，xN，因此所求关系式为 y=a （1p%）x（xN，1xm） 故选 B 【点睛】 本题考查了指数函数模型的应用问题，解题时应根据题意，建设指数函数模型，从而解决问 题，是基础题 3C 【分析】 普通自行车存车费为0.5x,电动自行车存车费用为1 (4000)x，两项相加即得y 【详解】

15、由题意，若该天普通自行车存车x辆次，则该天电动自行车存车 4 000 x辆次， 所以得 y1（4 000 x）0.5x0.5x4 000 故选 C 【点睛】 本题考查了函数的应用，属基础题 4C 【解析】 由题意知，普通自行车存车 x 辆时，电动自行车存车 4000-x 辆，则 y40000.30.20.11200 xxx , 0 x4 000 故选 C 5C 【分析】 先求得销售量关于价格的函数关系式，由此判断出正确选项. 【详解】 销售收入不变，不妨设xy c （定值） ， c y x 为反比例函数. 故选 C. 【点睛】 本小题主要考查根据题目条件求函数关系式，考查反比例函数图像的识别，

16、属于基础题. 6C 【分析】 根据表格数据可计算得到超过500元的工资收入为17.8元，从而计算得到当月工资. 【详解】 500 5%2526.78，又200050010%150 26.782510%17.8，即超过500元的部分为17.8元 当月工资为：800500 17.81317.8元 本题正确选项：C 【点睛】 本题考查函数模型的实际应用问题，属于基础题. 7C 【分析】 根据图中的特殊点（2,1） ， （4,2）即可得解. 【详解】 根据图中的特殊点（2,1） ， （4,2）,通过选项可知只有 C： 2 logyt满足题意.故选 C. 【点睛】 本题考查了由函数图象写解析式，可以进行

17、选项验证，属于基础题. 8D 【分析】 依题意可得 3 4 10| 162 T q ld ，所以转化为求162ld的最大值即可得到答案. 【详解】 1 1 2 2 T q l d d 3 3 4 4 10| 4 10 2 2.5 10 T ld 3 4 10| 162 T ld ，固定|T，可知162ld最大 时，q最小，保温效果最好， 对于A型玻璃，16216 32 0.448.8ld ， 对于B型玻璃，16216216 42 0.364.6ldld ， 对于C型玻璃，16216 32 0.549ld ， 对于D型玻璃，16216 42 0.464.8ld ， 经过比较可知，D型玻璃保温效果

18、最好. 故选：D. 【点睛】 本题考查了函数的应用，考查了求函数的最值，属于基础题. 9D 【分析】 先假设增长率为p，再根据条件可得 11 1pm，从而可解 【详解】 由题意，该厂去年产值的月平均增长率为p，则 11 1pm. 解得： 11 1pm 故选：D 【点睛】 本题考查函数模型的选择，利用了有关增长率问题的函数模型，属于基础题 10C 【分析】 利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得. 【详解】 设此户居民本月用水量为x 3 m,缴纳的水费为y元, 则当0,12x时,336yx元,不符合题意; 当(12,18x时,12 3(12) 6636yxx ,令63654x,解得15

19、x ,符合题意; 当(18,)x时,12 36 6(18) 999072yxx ,不符合题意. 综上所述: 此户居民本月用水量为 15 3 m. 故选:C 【点睛】 本题考查了分段函数由函数值求自变量,解题关键是仔细阅读,搞清题意,本题属于基础题. 11D 【详解】 对于选项A，2009 年GDP比 2008 年GDP多 29565 亿元，故A错误， 对于选项B，由GDP增量图可知：与上一年比，GDP年增量的增量最大的是 2010 年，故 B错误， 对于选项C，从 2011 年到 2015 年，除 2013 年外，GDP年增量逐年减少，故C错误， 对于选项D，因为增长率等于增长量除以上一年产量

20、值，由于上一年产值不确定， 所以 2016 年的产值年增长率可能比 2012 年的产值年增长率低，故D正确 故选：D 12C 【解析】 分析：由题意可知：捕食者和被捕食者数量与时间以 10 年为周期呈周期性变化，故捕食者 和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案 详解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律 可得捕食者和被捕食者数量与时间以 10 年为周期呈周期性变化， 捕食者的数量在第 25 年和 30 年之间数量在急速减少，正确； 由图可知，当捕食者数量增多的过程中，被捕食者数量先增多后减少， 故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状， 捕食者和被捕食者数量之间的关

21、系可以用图 1 乙描述，显然不正确； 故选 C 点睛：本题考查的知识点是函数的图象的识别，本题比较抽象，属于中档题 133120 【分析】 由表格和题意求出月工资20000元应交的税即可 【详解】 由表格得，月工资20000元， 则应交税为1500 3%3000 10%4500 20%7500 25% 45300900 18753120（元）. 故答案为：3120 【点睛】 本题考查分段函数的实际应用，属于基础题 14y400240(x 4 x ) 【分析】 由题得池子的底面积为 4，所以底面另外一边的长度为 4 x ，再根据已知写出 y 的表达式即得 解. 【详解】 由题得池子的底面积为 4

22、，所以底面另外一边的长度为 4 x ， 所以总造价为 44 4 1004602 260400240()yxx xx . 故答案为 y400240(x 4 x ) 【点睛】 本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 1520 吨 【分析】 依题意写出yx与 的函数表达式，均值不等式求最小值 【详解】 由题意，总的费用 400400 444160yxx xx ，当20 x=时取“=”，所以答案 为 20 吨 【点睛】 实际问题一定注意实际问题中自变量的取值，取等号的条件 16 3 2 【分析】 依据题意,将2700O 代入 3 1 log 2100 O v 即

23、可得出答案. 【详解】 当2700O 时, 333 11270013 logloglog 27 2100210022 O v , 故答案为: 3 2 . 【点睛】 本题主要考查对数运算,属于基础题. 17 （1） 9 3,0 6 0, x xxc yx xc ； （2）当03c时，日产量为c万件，当36c时， 日产量为 3 万件时，日盈利额最大 【分析】 （1）由题意日产量为x万件时，次品为px（万件）正品为x px （万件） ，由此可得利润 函数； （2）由（1）知要使利润最大，则0 xc，把函数进行常数分离，然后根据基本不等式 或函数的单调性得出最大值 【详解】 （1）当0 xc时， 39

24、 3()3 62 62(6) xxx yxx xxx ， 当xc时， 23 2 3()0 32 3 yxxx， 9 3,0 6 0, x xxc yx xc （2）由（1）知要使利润最大，则0 xc， 此时， 9945 33(6) 2(6)62 x yxx xx ， 又06c，666cx ， 若36c，则 9459459 363 26 62622 yxx xx ， 当且仅当3x 时取等号； 若03c，函数在(6,6)c上为单调减函数，x c 时取最大值 当03c时，日产量为c万件，当36c时，日产量为 3 万件时，日盈利额最大 【点睛】 本题考查函数的应用， 解题关键是根据题意列出函数关系式本

25、题中要注意次品率这个概念 的理解 18 （1）200 x 时，才能使每吨的平均处理成本最低； （2）当100300 x时，该单位每月 不亏损. 【分析】 (1) 二氧化碳的每吨平均处理成本为 40000 200, y x xx ,由均值不等式求得结果； （2） 2 500400000Sxx 结合二次函数的性质以及题意得到结果. 【详解】 （1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为 40000 200,0,300 y xx xx 因为 4000040000 2002200200 xx xx ，当且仅当 40000 x x ，即200 x 时， 才能使每吨的平均处理成本最低; （2）设该单位每

26、月获利为 S（元） ，则 22 30030020040000500400000Sxyxxxxx 即100400 x, 由题意可知0300 x，所以当100300 x时，该单位每月不亏损. 【点睛】 本题考查函数模型的构建，考查学生的阅读能力，考查解不等式，同时考查基本不等式的运 用，建立函数模型是关键 19 （1）（2） 100 3 km 【解析】 试题分析： （）甲城供电费用 y1=02520 x2，乙城供电费用 y2=02510（100-x）2，总 费用 y=y1+y2， 整理即可； 因为核电站距甲城 xkm， 则距乙城 （100-x） km， 由 x10， 且 100-x10， 得 x

27、的范围； （）因为函数 y=75x2-500 x+25000 是二次函数，由二次函数的性质可得， x=- 2 b a 时，函数 y 取得最小值 试题解析： （1）由题意知： 经化简，为定义域为10,90- -5 分 （2）将（1）中函数配方为 ， 所以当月供电总费用最小， 为元-10 分 考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值 20 （1）4 级； （2）1000 倍 【分析】 （1）将最大振幅A和最小振幅 0 A代入 0 lglgMAA即可求得 （2）将里氏震级8M 和5M 分别代入 0 lglgMAA后，两式相减变形即可求得 【详解】 （1）MlgAlgA0 0 lg A A

28、 20 lg 0.002 4即这次地震的震级为 4 级 （2） 50 80 5lglg 8lglg AA AA ， 8 5 lg A A 3， 8 5 A A 1 000， 即我国发生在汶川的 8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 1000 倍 【点睛】 本题考查了函数的应用，属基础题 21 （1） 2 1 4.750.5(05, 2 120.25 (5). xxx y x x ； （2）475 台； （3）年产量在 11 台到 4800 台 之间时，企业不亏本 【分析】 （1）根据利润函数销售收入函数成本函数，由此即可求出结果； （2） 由利润函数是二次函数， 可以利用二次函数的性

29、质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值； （3）要使企业不亏本，则利润0y，根据分段函数，分类解不等式，即可求出结果 【详解】 （1）设利润为 y 万元， 得 2 2 1 50.50.25 (05), 2 1 5 550.50.25 (5). 2 xxxx y x x 即 2 1 4.750.5 05 , 2 120.25 (5). xxx y x x （2）显然当05x时，企业会获得最大利润， 此时， 2 1 (4.75)10.78125 2 yx ， 4.75x ，即年产量为 475 台时，企业所得利润最大 （3）要使企业不亏本，则0y 即 2 05, 1 4.750.50 2 x xx

30、 或 5, 120.250, x x 得0.115x或548x，即0.1148x 即年产量在 11 台到 4800 台之间时，企业不亏本 【点睛】 本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题. 22 （1）自变量是温度，因变量是声速； （2）20 C； （3）6/m s； （4）0.6330yx 【分析】 （1）由题设关于变量的表述可得温度为自变量，声速为因变量； （2）根据表中数据可得传播速度为 342m/s 时，空气的温度为20 C； （3）根据数据表中的数据可得声音的传播速度将增大6/m s； （4）根据散点图可得出y与x之间的关系为y kxb ，代入表中两组数据后可求函数关系 式. 【详

31、解】 （1）由题设可得：当空气的温度变化，声音的传播速度也将随着变化 因此自变量是温度，因变量是声速. （2）根据题设中给出的数据表可知：当传播速度为 342m/s 时，空气的温度为20 C. （3）因为324318330324336330342336348 3426， 所以空气的温度每升高10 C，声音的传播速度将增大6/m s. （4）数据表对应的散点图如图所示： 故y与x之间的关系为y kxb ，所以 330 10336 b kb ，解得 0.6 330 k b ， 所以0.6330yx. 【点睛】 本题考查根据数据寻找拟合函数， 还考查了对数据的分析与整理，注意函数形式的确定应依 据散点图的形状来确定，本题属于基础题.