（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业09：导数研究函数零点B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 09导数研究函数零点 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.函数的零点个数为（ ） ()= 22 A.B.C.D. 0123 2.设函数，若仅存在两个正整数，使得则 a 的取值范围是的取值范围是( ) ()= (1) + ( = 1,2)() 0, A.B.2ln2-2a 222 333 2 C.D. 222 0 2()+ () ()()1,1 A.没有零点B.恰有一个零点C.至少一个零点D.至多一个零点 二、多选题(共 10 分) 5.已知函数有两个零点，且，则下列说法正确的是( ) () = 121 1+ 2 2 C.D.有极小值点，且 12 1 () 01+ 2 D.对任意两个正实数，且，若，则. 121 2(1) = (2)1+ 2 4 三、填空题(共 10 分) 7.已知，则函数的零点个数为_. ()=| (0,1 ) = () 8.已知，若满足的 有四个，则 的取值范围为_. ()=| |()= 2()+ ()( )()= 1 四、解答题(共 36 分) 9.已知函数， ()= 1 2 2( + 1) + ()= 22 （1）当时，函数的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围； 2, + ) = () = () （2）若函数恰有 2 个不相等的零点，求实数的取值范围 () 10.已知函数. ()= ( ) （1）讨论在上的单调性； ()(1, + ) （2）当时，求在上的零点个数. = 1 ()= ()+ ( 2, 3 2) 11.已知函数. () = 2+ （1）求函数的最小值； () （2）若函数在上有两个零点 ，且，求证：. () = ()(0, + ) 1, 21 21+ 2 暑假作业 09导数研究函数零点 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.函数的零点个数为（ ） ()= 22 A.B.C.D. 0123 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数判断的单调性，再根据零点存在定理求零点的个数.求出，令，可得 ()()= 4()= 4, ()= 4 在上单调递减，在上单调递增，可求，有两个实数根，设为，可得 ()(,4)(4, + ) () 0 ()= 0 1,2 ， 1 2 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.再求的特殊值判断即可. ()(,1)(1,2)(2, + )() 【详解】 函数的定义域为 ，. ()= 22 ()= 4 令. ()= 4, ()= 4 令， ()= 0, = 4 时，；时，； 4 () 4 () 0 在上单调递减，在上单调递增， ()(,4)(4, + ) 即在上单调递减，在上单调递增，且. ()(,4)(4, + ) ()= (4)= 444 = 444 44 = 0 有两个实数根，设为，且. ()= 0 1,21 4 2 时，；时，；时， 0 1 2 () 2 () 0 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ()(,1)(1,2)(2, + ) 又， (1)= 12 0,(2)= 28 0 ， (1)(0) 0,(0)(2) 0,(2)(3) 0 在上各有一个零点，有 3 个零点. ()(1,0),(0,2),(2,3) () 故选： . 【点睛】 本题考查函数的零点和导数的应用，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题. 2.设函数，若仅存在两个正整数，使得则 a 的取值范围是的取值范围是( ) ()= (1) + ( = 1,2)() 0, A.B.2ln2-2a 222 333 2 C.D. 222 333 2 333 2 【答案】C 【解析】 【分析】 令，转化为仅有两个正整数使得成立，利用导数求得函数的单调性与最值，结合题 () = ,() = () () () 设条件列出不等式组，即可求解. 【详解】 由题意，令， () = ,() = 则由题设条件，可得仅有两个正整数使得成立， () () 又由 ，令，解得， () = () = 0 = 1 当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， 0 1() 1() 0 () 所以 ，且， ()= (1)= 1 (1) = 1 0(1) = 0 所以当时，恒成立，因此另一个满足条件的正整数必为 2， = 1() () 所以若仅存在两个正整数，使得成立， ( = 1,2)() 0 则满足，即，解得， (2) (2) (3) (3) 222 2 333 3 222 333 2 即实数 a 的取值范围是的取值范围是. 222 0 2()+ () ()()1,1 A.没有零点B.恰有一个零点C.至少一个零点D.至多一个零点 【答案】B 【解析】 【分析】 由时两边同时乘以 可得，构造函数可得，在构造可得出 0 2()+ 2() 2()()= 2()()() 0 ()= () 的单调性，再由利用单调性即可得出当时的取值范围，再利用奇函数的性质即可得出结论. () ()= 2() 0 () 【详解】 当时，两边同时乘以 可得 0 2()+ () () ，也即是， 2()+ 2() 2()2() 2() 所以，令，所以有， 2()2() 0()= 2()()() 0 令，所以，所以在上单调递增，所以当时有，又 ()= () ()= ()() 2 = ()() 0 ()(0， + ) 0 () (0)= 0 ，所以当时，所以，又因为函数的定义在 上的奇函数，所以， ()= () = 2() 0 ()= () = 2() 0 () 0() (0)= 0 当时有，综上可知在区间内有且只有一个零点. 0 () 0()1,1 故选：B 【点睛】 本题主要考查利用构造函数法判断零点个数的知识，合理构造函数是解决问题的关键. 二、多选题(共 10 分) 5.已知函数有两个零点，且，则下列说法正确的是( ) () = 121 1+ 2 2 C.D.有极小值点，且 12 1 () 01+ 2 0 () 当时，令，解得，令，解得， 0() = 0 () = 0 所以函数在上单调递减，在上单调递增， () (,)(, + ) 因为函数有两个零点且， () = 1,21 2 则，且， () = = = (1) 0 所以，解得，所以 A 项正确； 1 又由， 1+ 2= (212) = 2 + (12) 2 + (12) 取，则， = 2 2 (2) = 22 = 02= 2,(0) = 1 0 所以，所以，所以 B 正确； 0 1 2 由，则，但不能确定，所以 C 不正确； (0) = 1 0 0 1 1 由函数在上单调递减，在上单调递增， () (,)(, + ) 所以函数的极小值点为，且，所以 D 正确； 0= 1+ 2 D.对任意两个正实数，且，若，则. 121 2(1) = (2)1+ 2 4 【答案】BD 【解析】 【分析】 A.求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断 B.求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可 C.利用参数分离法，构造函数 g（x），求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可 = 2 2 + D.令 g（t）f（2+t）f（2t） ，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可 【详解】 A.函数的 的定义域为（0，+） ， 函数的导数 f（x），（0，2）上，f（x）0，函数单调递减， （2，+）上，f（x）0，函数单调递增， = 2 2 + 1 = 2 2 x2 是 f（x）的极小值点，即 A 错误； B.yf（x）xlnxx，y10， = 2 + = 2 2 + 1 = 2+ 2 2 函数在（0，+）上单调递减，且 f（1）1ln11=10，f（2）2ln22= ln210，函数 yf（x）x 有且只 = 2 += 1 + 有 1 个零点，即 B 正确； C.若 f（x）kx，可得 k，令 g（x），则 g（x）， 2 2 + = 2 2 + = 4 + 3 令 h（x）4+xxlnx，则 h（x）lnx， 在 x（0，1）上，函数 h（x）单调递增，x（1，+）上函数 h（x）单调递减， h（x）h（1）0，g（x）0， g（x）在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值， = 2 2 + 不存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立，即 C 不正确； D.令 t（0，2） ，则 2t（0，2） ，2+t2， 令 g（t）f（2+t）f（2t）ln（2+t）ln（2t）ln， = 2 2 + + 2 2 = 4 24 + 2 + 2 则 g（t）0， = 4(24)82 (24)2 + 2 2 + 2 + 2 + (2)2 = 4216 (24)2 + 4 42 = 82 (24)2 g（t）在（0，2）上单调递减， 则 g（t）g（0）0， 令 x12t， 由 f（x1）f（x2） ，得 x22+t， 则 x1+x22t+2+t4， 当 x24 时，x1+x24 显然成立， 对任意两个正实数 x1，x2，且 x2x1，若 f（x1）f（x2） ，则 x1+x24，故 D 正确 故正确的是 BD， 故选：BD 【点睛】 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量 较大，有一定的难度 三、填空题(共 10 分) 7.已知，则函数的零点个数为_. ()=| (0,1 ) = () 【答案】3 【解析】 【分析】 将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用导数得出单调性，画出图象，即可得出结论. 【详解】 ，则 = () = 0 () = 令() = | 当时， ， (0,1)() = () = 1 2 01 () 在区间上单调递增，在区间上单调递减 ()1,)(, + ) 画出函数与的图象，如下图所示 = () = 由图可知函数与的图象有三个交点，则函数的零点个数为 3 个 = () = = () 故答案为：3 【点睛】 本题主要考查了求函数零点的个数，属于中档题. 8.已知，若满足的 有四个，则 的取值范围为_. ()=| |()= 2()+ ()( )()= 1 【答案】(, 2+ 1 ) 【解析】 【分析】 满足的 有 个，等价于方程有 个根，设，利用导数得到函数的单调性和极值， ()= 1 4 2()+ ()+ 1 = 0 4 ()= = () 画出函数的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数的大致图象，要使方程有 个根，则 = () = ()2()+ ()+ 1 = 0 4 方程应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设，再利用二次函数根的分布列出 2+ + 1 = 0 ()= 2+ + 1 不等式，即可解出 的取值范围. 【详解】 满足的 有 个，方程有 4 个根， ()= 1 4 2()+ ()+ 1 = 0 设，则，令，得. ()= ()=( + 1)()= 0 = 1 当时，函数单调递减； (,1)() 0 = () ()= (1)= 1 画出函数的大致图象，如图所示： ()= ， ()=|=|()| 保留函数的 轴上方的图象，把 轴下方的图象关于 轴翻折到 轴上方， = () 即可得到函数的图象如下图所示： ()=| 令，则， = () 2+ + 1 = 0 所以要使方程有 个根， 2()+ ()+ 1 = 0 4 则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为 1，所以一个根在内，一个根在内， 2+ + 1 = 0(0, 1 ) ( 1 , + ) 设，因为，则只需，解得：， ()= 2+ + 1(0)= 1 0 (1 ) =(1 ) 2+ + 1 0 2+ 1 因此，实数 的取值范围是. (, 2+ 1 ) 故答案为：. (, 2+ 1 ) 【点睛】 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档 题. 四、解答题(共 36 分) 9.已知函数， ()= 1 2 2( + 1) + ()= 22 （1）当时，函数的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围； 2, + ) = () = () （2）若函数恰有 2 个不相等的零点，求实数的取值范围 () 【答案】 （1）；（2） 4 2 + 2 1 2 2 （2），分，四种情况，结合零点存在性定理讨论即可. ()= ()(1) 0 1 0 【详解】 （1）设函数， ()= ()()= 221 2 2+ ( + 1) = 1 2 2+ ( + ) 所以 ()= + 1(1 + 1 ) = ( + 1)() 当时，函数在上单调递增； 2 2, + )() 0()2, + ) 由题意所以 ()= (2)= 1 2 22+ 2(2 + 2) 0 2 (2,)() 0()(, + ) 由题意即 ()= ()= 1 2 2+ ( + ) 011 2 0 又因为，不成立。 2 11 2 0 综上，的取值范围为 4 2 + 2 （2） ()= ( + 1)+ = 2( + 1) + = ()(1) 当时，若，单调递增； 0 0() 若，单调递减； (,1)() 0() 所以的极大值为， () ()= 1 2 2( + 1) + = 2 2 + 1 (0,1)() 0() 若，单调递减； (1,)() 0() 所以的极大值为，的极小值为， () (1)= 1 2( + 1) = 1 2 0 ()() (1) 0 所以函数的图象与 轴至多有一个交点 () 当时，若，单调递减； 0 (0,1)() 0() 所以， ()= (1)= 1 2( + 1) = 1 2 （）当，即时，函数的图象与 轴至多有一个交点 ()= 1 2 0 1 2 () （）当，即时， ()= 1 2 01 2 0 ， () (1 2) = 3 2 1 2 + 1 + 1 2 = 1 42 0 所以当时，所以， (1 2,0) 3 2 + 1 + () 0 所以存在， 1(,1)(1)= 0 ， (2)= 1 2 4( + 1)2+ 2=1 2 422+ 2 = 2( 2 21) +(22) 0 所以存在， 2(1, + )(2)= 0 （）当时，只有一个零点， = 0 ()= 1 2 2( 0) 综上所述，实数的取值范围为 1 2 1 ()(1,1)(1, + ) 1 个零点 【解析】 【分析】 （1）求得的导函数，对 分成和两种情况，分类讨论的单调性. ()() 1 1 () （2）当时，利用的二阶导数判断出一阶导数的单调性，结合零点存在性定理求得的零点，由此判断出的 = 1 ()()()() 单调区间，再结合零点存在性定理，判断出在区间上的零点个数. () 【详解】 （1）因为，所以. ()= ()= + 1 因为，所以. (1, + ) 0 当，即时， 1 0 1 () 0 所以在上单调递增. ()(1, + ) 当，即时，令，得. 1 1 ()= + 1 = 0 = 1 当时，所以， (1,1) 0 1 () 1 () 0 所以在上单调递减，在上单调递增. ()(1,1)(1, + ) 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 1 ()(1, + ) 1 ()(1,1)(1, + ) （2）当时，则. = 1 ()= + ()= 设，则. ()= ()= 1 当时，所以在上单调递增. ( 2, 3 2) ()= 1 0 ()( 2, 3 2) 因为，所以存在，使得， (3 2) = 1 + 3 2 0( 2) = 21 0 0( 2, 3 2) (0)= 0 且在上，单调递减，在上，单调递增. ( 2,0) () 0() 所以为在上的最小值. (0) ()( 2, 3 2) 又因为， (3 2) = 3 2( 3 21) 0( 2) = 2( 21) 0 所以在上有 1 个零点. ()( 2, 3 2) 【点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零点，考查零点存在性定理，考查分类讨论的数学思想方 法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 11.已知函数. () = 2+ （1）求函数的最小值； () （2）若函数在上有两个零点 ，且，求证：. () = ()(0, + ) 1, 21 21+ 2 【答案】 （1） ；（2）证明见解析. 2 4 【解析】 【分析】 （1）由于函数为偶函数，故只需求，时的最小值，利用，对 分及， () 0+ )()() = 2 (0, 2) ( 2+ ) 两类讨论，即可求得函数的最小值； () （2）只需证，其中，构造函数，利用导数结合题意可证得 1+ 2 2 2 1 (0, 2) 2( 2, + )() = ()() (0, 2) 1+ 2 【详解】 解：（1）由于函数为偶函数，要求函数的最小值， () = 2+ () 只需求时的最小值即可. 0, + )() 因为, () = 2 所以，当时， (0, 2) 设 ， () = 2, () = 2 显然单调递增，而 ， ()(0) 0 由零点存在定理，存在唯一的，使得， 0(0, 2) (0)= 0 当 单减， (0,0),() 0, () 而， ， (0) = 0 ( 2) = 0, (0, 2),() 0 即，单减， (0, 2)() () 0() 所以； ()= ( 2) = 2 4 （2）只需证，其中， 1+ 2 2 0() 所以， () ( 2) = 0 即当时， (0, 2)() () 而，所以， 1(0, 2) (1) (1) 又，即， (1)= (2)(2) (1) 此时， 2( 2, + ) 1( 2,) 由第（1）问可知，在上单增， ()( 2, + ) 所以，即证. 2 11+ 2 【点睛】 本题考查 利用导数来求曲线某点的切线方程及利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思 想的综合运用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题