（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业09：导数研究函数零点A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 09导数研究函数零点 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.若函数，的零点分别为，则（ ） () = 1 2 () = + () = + 123 A.B. 2 3 12 1 3 C.D. 1 2 33 1 2 2.函数的极值点一定在区间（ ） ()= 1 2 2+ 3 A.B.C.D. (0,1)(1,2)(2,3)(3,4) 3.函数的零点个数为（ ） () = 24 + 3 A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 4.若函数在上有 2 个零点，则 的取值范围为（ ） ()= 33 + 0,2) A.B.C.D. (2,2)(0,2(2,00,2) 二、多选题(共 10 分) 5.已知函数，其中 ， ，则下列选项中的条件使得仅有一个零点的有（ ） () = 3+ + () A.为奇函数B. 0)() = 2+ ( + ) 四、解答题(共 34 分) 9.已知函数. ()= 2 （）求曲线在处的切线方程； = () = 1 （）函数在区间（）上有零点，求 k 的值. = ()(, + 1) 10.已知函数. () = 22,() = 2 + （1）求函数的极值； () （2）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围. () = ()()()1,3 11.已知 为实数，x=4 是函数 f(x)=alnx+x2-12x 的一个极值点. （1）求 的值； （2）求函数的单调区间； () （3）若直线与函数的图象有 3 个交点，求 的取值范围. = = () 暑假作业 09导数研究函数零点 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.若函数，的零点分别为，则（ ） () = 1 2 () = + () = + 123 A.B. 2 3 12 1 3 C.D. 1 2 33 1 2 【答案】A 【解析】 的零点为 1 ()= 1 2 的零点必定小于零 () = + 的零点必位于内 () = + (0，1) 2 3 1 故答案选 2.函数的极值点一定在区间（ ） ()= 1 2 2+ 3 A.B.C.D. (0,1)(1,2)(2,3)(3,4) 【答案】B 【解析】 函数的极值点即导函数的零点， ，由零点存在定理得到： ，故 () = + + 13 = + 2(1) = 1 0 零点在上 (1,2) 故答案为 B 3.函数的零点个数为（ ） () = 24 + 3 A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个 【答案】B 【解析】 【分析】 求出导函数，根据导函数判定原函数单调递增，结合，即可得到零点个数. (0) = 0 【详解】 由题：， () = 24 + 3 ， () = 224 + 3 = 424 + 1 = (21)2 0 当且仅当时导函数等于 0， = 1 2, = 3 + 2, 所以在 R 上单调递增， () = 24 + 3 又因为(0) = 0 所以函数有且仅有一个零点. () = 24 + 3 故选：B 【点睛】 此题考查函数零点问题，根据导函数判断单调性，结合特殊值，判断函数零点的个数. 4.若函数在上有 2 个零点，则 的取值范围为（ ） ()= 33 + 0,2) A.B.C.D. (2,2)(0,2(2,00,2) 【答案】D 【解析】 【分析】 先设，则函数在上有 2 个零点等价于直线与函数的图像有两个交点， ()= 3+ 3 0 2 ()= 33 + 0,2) = () 再求函数的单调性判断即可得解. () 【详解】 解：由得， ()= 0 = 3+ 3 设， ()= 3+ 3 0 2 则函数在上有 2 个零点等价于直线与函数的图像有两个交点， ()= 33 + 0,2) = () 又， ()= 32+ 3 当时，；当时，. 0 0 1 2 () 0 则函数在为增函数，在为减函数， ()0,1)(1,2) ， ()= (1)= 2 又， (0)= 0(2)= 2 又函数在上有 2 个零点， ()= 33 + 0,2) 则 的取值范围为. 0,2) 故选：D. 【点睛】 本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的零点个数与函数图像交点的个数问题，属基础题。 二、多选题(共 10 分) 5.已知函数，其中 ， ，则下列选项中的条件使得仅有一个零点的有（ ） () = 3+ + () A.为奇函数B. ,() = (2+ 1) C.，D.， = 3240 = 1 = 1 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用导数得出函数的极值点结合奇函数的性质，即可得出有三个零点， 错误； () 由，得出，从而得出函数单调递增，则 B 正确； 2+ 1 1 0() 取，利用导数得出的极大值为，极小值为，从而得出有两个零点， 错误； = 2()(1) = 4(1) = 0() 得出函数的极大值和极小值，并判断其正负，即可得出仅有一个零点， 正确. ()() 【详解】 由题知. () = 32+ 对于 ，由是奇函数，知，因为，所以存在两个极值点，由知，有三个零点， 错误； () = 0 0( 3 3) = 2 3 9 + 1 0 可知仅有一个零点， 正确. () 故选：BD 【点睛】 本题考查利用导数研究函数性质，属于中等题. 6.已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值可以是（ ） = = + 2 A.B.C.D. 1123 【答案】BCD 【解析】 【分析】 将函数的图象与直线有两个交点，转化为函数有两个零点，导函数为，当 = = + 2 ()= 2()= 1 时，恒成立，函数在 上单调递减，不可能有两个零点；当时，令，可得，函数在 0 () 0 ()= 0 = 上单调递减，在上单调递增，的最小值为，再令求解即可. (,)(, + )()()= 1 + 2() 0 【详解】 因为函数的图象与直线有两个交点， = = + 2 所以函数有两个零点， ()= 2 求导得：，当时，恒成立， ()= 1 0 () 0 ()= 0 = 当时，当时， (,)() 0 所以函数在上单调递减，在上单调递增， (,)(, + ) 所以的最小值为. ()()= 1 + 2 令，则， ()= 1 + 2( 0) ()= 1 2 当时，当时， (0,1 2) () 0 (1 2, + ) () 0 所以在上单调递增，在上单调递减. ()(0, 1 2) ( 1 2, + ) 所以， ()= (1 2) = 2 0 所以的最小值， ()() 0)() = 2+ ( + ) 【答案】( , + ) 【解析】 【分析】 设 x0，g（x）x2+ln（x+a）图象上一点 P（x，y） ，则 P（x，y）在函数 f（x）上，得， （）2+ 1 2 = 2+ ( + ) 化简可得：在 x0 有解即可，构造函数求其范围则 a 的范围可求 = 1 2 【详解】 设 x0，g（x）x2+ln（x+a）图象上一点 P（x，y） ， 则 P（x，y）在函数 f（x）上， 故：， （）2+ 1 2 = 2+ ( + ) 化简可得：在 x (0)= 故答案为( , + ) 【点睛】 本题考查了导函数研究函数的性质，函数图象的对称性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题 四、解答题(共 34 分) 9.已知函数. ()= 2 （）求曲线在处的切线方程； = () = 1 （）函数在区间（）上有零点，求 k 的值. = ()(, + 1) 【答案】(1)；(2)0 或 3. = 1 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，解得，利用点斜式即可求得切线方程； (1) （2）利用导数判断函数单调性，根据零点存在定理，即可求得零点所在区间， 值得解. 【详解】 （1）因为，故可得， ()= 2 ()= 1 1 则， (1)= 1,(1)= 0 切线方程为，整理得. ( 1)= 0 = 1 故曲线在处的切线方程为. = () = 1 = 1 （2）令，解得， ()= 0 = 1 容易知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ()(0,1)(1, + ) 且， (1)= 1 0 故在区间上有一个零点； ()(0,1) 在区间上，因为， (3,4) (3)= 1 3 0 故在区间上有一个零点； ()(3,4) 综上所述，满足题意的区间为， (0,1)(3,4) 故 的可取值为 或 . 03 【点睛】 本题考查根据导数的几何意义求切线的斜率，以及利用导数讨论函数的零点分布，涉及零点存在定理，属综合基础题. 10.已知函数. () = 22,() = 2 + （1）求函数的极值； () （2）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围. () = ()()()1,3 【答案】 （1）极小值为，无极大值；（2）. (1) = 1222 0,() = 22 令得 () = 0 = 1, = 1 当时，单调递增；当时，单调递减； 1() 0()0 1() 2() 0()0 2() 0 (2) 0 222 332 所以. 222 0() 0 （3）由（2）知，的单调增区间是，的单调减区间是， ()(0,2),(4, + )()(2,4) 所以的极大值为，极小值为，结合函数图象，可得，即可求解. ()(2)(4) (4) 0 当时，； (2,4)() 0 所以的单调增区间是；的单调减区间是. ()(0,2),(4, + )()(2,4) （3）由（2）知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，. ()(0,2)(2,4)(4, + ) = 2 = 4 ()= 0 所以的极大值为，极小值为， ()(2)= 16220(4)= 32232 画出的草图： () 直线 y=b 与函数的图象有且仅有 3 个交点， = () 直线 y=b 必须在直线 l 和直线 n 之间， 即，直线与的图象有 3 个交点. (4) (2) = = () 所以 的取值范围为. (32232,16220) 【点睛】 本题主要考查考查了根据极值求参数、利用导数求单调区间以及函数图象的交点问题，在解决第三问函数交点问题时，转化成判 断函数单调性以及极值的问题，属于中档题.