（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业07：导数研究函数的极值与最值B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 07导数研究函数的极值与最值 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数 a 的取值范围是（ ） ()= 32+(1 2) A.B.C.D. ( 1 2, 11 2) ( 1 2,5) ( 1 2, 11 2) ( 1 2,5) 2.已知函数，对任意，的最大值为 4，若在上恰有两个极值 ()=3 + ( 0, 0) 1,2 (1)+ (2) ()(0,) 点，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D. 4 3, 7 3 ( 4 3， 7 3 7 6, 13 6) 7 6, 13 6 3.已知函数 f(x)=x(lnx-ax)没有极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.B.a0C.D. 1 2 1 2 0 0) = ()() A.，B.，C.，D. ， (011+ )(0 4 3 4 3+ ) 二、多选题(共 10 分) 5.设的最大值为，则（ ） () = , 6, 3 A.当时，B.当时， = 1 3 = 2 3 2 = 3 1 2 6.已知函数，则下列结论正确的是（） ()= 2+ 1 A.函数存在两个不同的零点 () B.函数既存在极大值又存在极小值 () C.当时，方程有且只有两个实根 0) （1）当时，求函数的极值； = 1 4 () （2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求实数 的取值范围 (2,3) (0,()() 暑假作业 07导数研究函数的极值与最值 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数 a 的取值范围是（ ） ()= 32+(1 2) A.B.C.D. ( 1 2, 11 2) ( 1 2,5) ( 1 2, 11 2) ( 1 2,5) 【答案】A 【解析】 【分析】 先求导，令，由函数在区间（1，3）上有最大值，则 () = 22+(1 2) + 3 () = 22+(1 2) + 3 () = 32+(1 2) 在区间（1，3）上有零点，则必需，解出即可得出. () = 22+(1 2) + 3 (1) 0 (3) 0 (3) = 18 + 33 2 + 3 0 解得. 1 2 0, 0) 1,2 (1)+ (2) ()(0,) 点，则实数 的取值范围是（ ） A.B.C.D. 4 3, 7 3 ( 4 3， 7 3 7 6, 13 6) 7 6, 13 6 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得的最大值为 2，由此可求得，所以，求导后可知在上恰有两个零点， () = 1 () = 2( + 6) ( + 6) = 0(0,) 换元后可知在在上恰有两个零点，所以函数的图象与 轴恰有两个交点，所以，由此解 = 0 ( 6, + 6) = 3 2 0 = 1 所以，所以， () = 2( + 6) () = 2( + 6) 因为在上恰有两个极值点， ()(0,) 所以，即在上恰有两个零点， () = 2( + 6) = 0 ( + 6) = 0(0,) 设，则， = + 6 ( 6, + 6) 所以在在上恰有两个零点， = 0 ( 6, + 6) 所以函数的图象与 轴恰有两个交点， = 所以，解得. 3 2 + 6 5 2 4 3 1 2 0 0) 则， () = + (1 ) = 2 + 1 令得， () = 2 + 1 = 0 = 2 1 函数没有极值点， () = ( ) 等价于没有变号零点， () = 2 + 1 等价于函数与的图象不相交或相切， = = 2 1 在同一个坐标系中作出它们的图象, 当时，直线与的图象相切， = 1 2 = 2 1 = 由图可知，当时，与的图象不相交或相切 1 2 = = 2 1 则实数 a 的取值范围是 1 2. 故选：A 【点睛】 本题主要考查函数的导数，函数的极值，函数的零点，数形结合的思想，属于中档题. 4.已知函数的值域与函数的值域相同，则 的取值范围为 () = 21 2 2+ (2) + + 1( 0) = ()() A.，B.，C.，D. ， (011+ )(0 4 3 4 3+ ) 【答案】D 【解析】 【分析】 对函数求导，利用导数求得的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于 的不等式，解不等式即可得到 ()() 的取值范围 【详解】 解：因为() = 2 1 2 2+ (2) + + 1( 0) 所以， () = 2 + (2)( 0) 由于，故函数在上为减函数，又， 0()(0, + ) (1)= 0 故当时，当时， (0,1)() 0 (1, + )() 0 函数在上单调递增，在上单调递减， ()(0,1)(1, + ) ，且时， ()= (1) = 1 2 + 2 + + 1 = 3 21 + () 故函数的值域为， () (,3 21 作出函数的草图如下， () 由图可知，要使函数的值域与函数的值域相同，则需，解得， () = () 3 211 4 3 故选：D 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于 的不等式，考查转化思想，数形结合思想 及运算求解能力，属于中档题 二、多选题(共 10 分) 5.设的最大值为，则（ ） () = , 6, 3 A.当时，B.当时， = 1 3 = 2 3 2 = 3 1 2 【答案】AB 【解析】 【分析】 直接对各选项分析即可. 【详解】 对于选项 A，当时，在区间上递减， = 1 () = 6, 3 所以，故选项 A 正确. = 6 6 = 3 3 0 在区间上递增，即，故选项 B 正确. () 6, 3 = 2 18 3 3 对于选项 C，当时，当时，恒成立， = 1 (0, 2) 所以，所以，故选项 C 错误. () = = 3 2 0 在区间上递增，故选项 D 错误. () 6, 3 = 1 2 ( 3) 31 2 故选：AB. 【点睛】 本题考查三角函数与函数的导函数，利用导函数研究单调性，进而求最值，属于中档题. 6.已知函数，则下列结论正确的是（） ()= 2+ 1 A.函数存在两个不同的零点 () B.函数既存在极大值又存在极小值 () C.当时，方程有且只有两个实根 0 1 2 () 0 2 是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间， (,1),(2, + )(1,2) 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以 B 正确. (1)(2) C.当时，根据 B 可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有 + 0 (1)= 0 ()= 两个实根，所以 C 正确； D.由图像可知， 的最大值是 2，所以不正确. 故选 A,B,C 【点睛】 本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为 0，判断零点两侧的正负，得到函 数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，所以图像是无限接近 轴，如果这里判 (2, + ) + 0 断错了，那选项容易判断错了. 三、填空题(共 10 分) 7.若函数（ 为自然对数的底数）在的区间内有两个极值点，则实数 的取值范围为_. () = + 2(,0) 【答案】( 1 2,0) 【解析】 【分析】 由已知可得在的区间内有两个解，分离参数后转化为求解函数的交点问题，构造函数结合导数可 () = ( + 1) = 0(,0) 求 【详解】 在的区间内有两个极值点， () = + 2(,0) 则在的区间内有两个解，即在的区间内有两个解， () = ( + 1) = 0(,0) = ( + 1)(,0) 令，则， () = ( + 1)() = ( + 2) 易得，当，函数单调递减，当，函数单调递增， (,2)() 0 又时，且， ()0 (2) = 1 2(0) = 1 故， 1 2 0 故答案为：( 1 2,0) 【点睛】 本题主要考查了函数极值存在条件的应用，解题中体现了转化思想的应用 8.已知函数的一个极值点为 1，则函数的最小值为_ () = (2+ ) = () 【答案】0 【解析】 【分析】 由，求导得到，根据函数的一个极值点为 1，由，解 () = (2+ ) ()=(2 + ) + + () = (2+ ) (1)= 0 得，得到，再论证是函数的极小值点即可. = 1 ()=(21) + 1 = 1 【详解】 因为， () = (2+ ) 所以， ()=(2 + ) + + 因为函数的一个极值点为 1， () = (2+ ) 所以，故， (1)= 1 + = 0 = 1 ， ()=(2) = (1) ， ()=(21) + 1 设， ()= + 1 ， ()= 1 1 当时，当时， 0 0 1 () 0 所以当时，取得最大值， = 1()(1) = 0 所以恒成立， () (1)= 0 即， 1 当时， 0 1 ()(21)(1)+ 1 = 2(1) 1 ()(21) + = 2(1) 0 所以当时，取得最小值，最小值为 = 1 ()(1)= 0 故答案为：0 【点睛】 本题主要考查导数与函数的极值点与最值，还考查了运算求解的能力，属于难题. 四、解答题(共 36 分) 9.已知函数() = 2 （1）当时，求的最小值： = 0 () （2）求证：时，总有大于 0 的极大值 2 () 【答案】 （1）0；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）当时，利用导数研究其单调性，即可得到答案； = 0 () = 2 （2），因为，所以只需讨论，两种情况，利用单调性找到极大值即可得到证明. () = ( + 2) 2 2 00 2() 0 2 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， () (,0)(0,2)(2, + ) 注意到当时，且，所以的最小值为. 2 () = 2 0 (0) = 0 () (0) = 0 （2）证明： 由已知，因为， () = (2)(2) ()2 = ( + 2) 2 若时，则，令，得；令， 2 + 2 0() 00 + 2() 0 得或，所以在上单调递减，在上单调递增， + 2 () (,0)(0, + 2) 在上单调递减，所以得极大值为 ( + 2, + ) () ( + 2)= ( + 2)2( + 2) + 2 ； = + 4 + 2 0 若时，则，令，得；令， 2 + 2 0 + 2 0() 0 得或，所以在上单调递减，在上单调递增， 0 () (, + 2)( + 2,0) 在上单调递减，所以得极大值为. (0, + ) () (0)= 0 = 0 综上，时，总有大于 0 的极大值. 2 () 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的最值、极值，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题. 10.已知函数有两个极值点. ()= 1 2 2 （1）求实数 的范围； （2）设函数的两个极值点分别为，且，求实数 的取值范围. () 12 2 1 2 【答案】 （1）（2） 0 1 0 1 22 【解析】 【分析】 （1）求出导函数，令可得，令，只需直线与曲线有且只有两个交点，利用导 ()= ()= 0 = ()= = = () 数求出的最值，进而求出实数 的范围. () （2）由（1）根据题意可得，（） ，即，令，代入上式可得，令 1 = 1 2 = 20 1 1 2 21 = 2 1 2 1 = ( 2) 1= 1 ，利用导数求出函数的最值，进而可得，由，在单调递减，即可求解. ()= 1( 2) () 0 1 () 0() 当时， ，单调递增.且当时，； 0 0() () 当时，. + ()0 所以. 0 1 （2）依题意得：，（）. 1 = 1 2 = 20 1 1 2 两式相除可得：. 令，则. 21 = 2 1 2 1 = ( 2) 2= 1 所以，则. ( 1)1 = 1= 1 令，. ()= 1( 2) ()= 11 (1)2 令，. ()= 11 ( 2) ()= 1 2 0 所以在单调递减，所以， ()2, + ) () (2)= 1 22 0 即，因此在单调递减，所以，故. () 0()2, + )() (2)= 2 0 1 2 又因为，在单调递减，所以. = 1 1()= (0,2 0 0) （1）当时，求函数的极值； = 1 4 () （2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求实数 的取值范围 (2,3) (0,()() 【答案】 （1）极大值 0，极小值；（2） 23 412, + ) 【解析】 【分析】 （1）当时，然后利用导数得出其单调区间即可 = 1 4 () = + 1 4 23 2 + 5 4 （2），然后分，三种情况讨论. () = 1 + 2(2 + 1) = (1)(21) = 1 2 0 1 2 【详解】 （1）当时， = 1 4 () = + 1 4 23 2 + 5 4 且函数定义域为，所以， (0, + ) () = 1 + 1 2 3 2 = 23 + 2 2 = (1)(2) 2 令，得或 () = 0 = 1 = 2 ，随 的变化如下表： ()() (0,1) 1 (1,2) 2 (2, + ) () 00 () 0 23 4 当时，函数取得极大值； = 1()(1) = 0 当时，函数取得极小值 = 2() (2) = 23 4 （2）由条件得， () = 1 + 2(2 + 1) = (1)(21) 当时，令有或 0() = 0 = 1 = 1 2 当时，函数在上单调递增，显然符合题意 = 1 2()(0, + ) 当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减 1 2 10 1 2()(0,1) ( 1 2, + ) (1, 1 2) 此时由题意知，只需，解得， (2) (1) 12 又，所以实数 的取值范围是 12 1 2 12,1 2) 当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 1 2 1 2() (0, 1 2)(1, + ) ( 1 2,1) 对任意实数，当时，函数的最大值为， (2,3) (0,()() 则，代入化简得（*） ( 1 2) (2) 2 + 1 4 + 21 0 记，令，恒成立， 2 = () = + 1 2 + 21( 1) () = 1 1 22 = 21 22 0 故有， () (1) = 21 2 0 时， （*）式恒成立 1 2 综上，实数 的取值范围是 12, + ) 【点睛】 本题考查的是利用导数研究函数的单调性和最值，属于较难题.