（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业03：数列求通项公式A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 03数列求通项公式 A 卷 一、单选题(共 48 分) 1.设数列的前 项和为,若,则( ) + 1= 2+ 1 3= A.B.C.D. 3210 2.已知非零数列的递推公式为,则( ) 1= 1= 1 1( 1) 4= A.3B.2C.4D.1 3.若数列满足，则（ ） 1= 1 + 1= 2+ 111= A.512B.1023C.2047D.4096 4.公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算 数和几何的纽带.图为五角形数的前 4 个，则第 10 个五角形数为（ ） A.120B.145C.270D.285 二、多选题(共 24 分) 5.已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( ) A.B. 1 2 C.D. + 1+ + 1+ + 2 6.已知数列的首项为 4，且满足，则（ ） 2( + 1) + 1= 0( ) A.为等差数列 B.为递增数列 C.的前 项和 = (1) 2 + 1+ 4 D.的前 项和 2 + 1 = 2+ 2 三、填空题(共 24 分) 7.已知数列根据规律，应该是该数列的第_项. 2, 5,2 2,2 5 8.设数列的前 项和为，已知，且，则数列的通项公式是_. 1= 1 = 4(1 + 2 )( ) = 四、解答题(共 27 分) 9.已知正项数列的前 项和满足， 2= + 22 （1）若数列为等比数列，求公比 的值； （2）若，设，求数列的通项公式 2= 1= 1= + 1+ 10.已知各项均为正数的数列满足，数列满足，. + 13= 21= 12= 9 + 1= （1）求证：数列是等比数列； + 1 （2）求数列的通项公式. 11.已知是递增的数列，是等比数列.满足，且对任意，. 1= 1= 1(32)2= 3+ 4 2 + 12 + 1+ 2 = 2 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式. 暑假作业 03数列求通项公式 A 卷 一、单选题(共 48 分) 1.设数列的前 项和为,若,则( ) + 1= 2+ 1 3= A.B.C.D. 3210 【答案】B 【解析】 【分析】 因为,当时,可得,当时,即可求得答案. + 1= 2+ 1 = 1 1+ 2= 21+ 1 = 2 1+ 2+ 3= 22+ 1 【详解】 + 1= 2+ 1 当时.可得 = 1 2= 21+ 1 即1 + 2= 21+ 1 21= 1 当时,可得 = 2 3= 22+ 1 即1 + 2+ 3= 22+ 1 3= 21+ 1 = 1 + 1 = 2 故选:B. 【点睛】 本题主要考查了根据前 项和公式求数列中的项,解题关键是掌握数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 2.已知非零数列的递推公式为,则( ) 1= 1= 1 1( 1) 4= A.3B.2C.4D.1 【答案】C 【解析】 【分析】 根据，代入计算得到答案. 4= 4 3 3 2 2 1 1 【详解】 ，则. = 1 1( 1) 4= 4 3 3 2 2 1 1= 4 3 3 2 2 1 1 = 4 故选： 【点睛】 本题考查了数列的累乘法，意在考查学生对于数列方法的灵活运用. 3.若数列满足，则（ ） 1= 1 + 1= 2+ 111= A.512B.1023C.2047D.4096 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意把构造成的形式，然后依据等比数列的知识求出数列的通项公式，进而求 + 1= 2+ 1 + 1+ 1 = 2(+ 1)+ 1 出的值. 11 【详解】 ， + 1= 2+ 1 ， + 1+ 1 = 2(+ 1)1+ 1 = 2 数列是以 为首项， 为公比的等比数列， + 1 22 ， + 1 = 2 = 21 . 11= 2111 = 2047 故选：C 【点睛】 本题考查了由递推关系式求数列中的项，涉及构造法求数列的通项公式以及等比数列的通项公式，属于中档题. 4.公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算 数和几何的纽带.图为五角形数的前 4 个，则第 10 个五角形数为（ ） A.120B.145C.270D.285 【答案】B 【解析】 【分析】 记第 个五角形数为，由题意知：可得，根据累加法，即可求 1= 1,21= 4,32= 7,43= 10 1= 3(1) + 1 得答案. 【详解】 记第 个五角形数为， 由题意知：1 = 1,21= 4,32= 7,43= 10 可得， 1= 3(1) + 1 由累加法得， = (31) 2 . 10= 145 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了根据累加法其数列通项公式，解题关键是掌握数列基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 二、多选题(共 24 分) 5.已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( ) A.B. 1 2 C.D. + 1+ + 1+ + 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】 先假设等比数列的通项公式，然后利用等比数列的通项公式逐项判断即可. 【详解】 设， = 11 A，此时为首项为 ，公比为 的等比数列； 1 = 1 11 = 1 1 (1 ) 1 1 1 1 1 B因为，此时是首项为，公差为的等差数列； 2= 2(11)= 21+(1)2(1 0, 0)2212 C因为，所以是首项为，公比为的等比数列； + 1=(11)(1)= 2 1 21= (21)(2)1 + 1 2 12 D因为， + + 1+ + 2= + + 2=(2+ + 1)=1(2+ + 1) 1 所以是首项为，公比为 的等比数列. + + 1+ + 2 1(2+ + 1) 故选：ACD. 【点睛】 本题考查等比数列的判断，对学生的分析证明能力要求较高，难度一般.常用的判断等比数列的方法：通项公式法、定义法、等 比中项法. 6.已知数列的首项为 4，且满足，则（ ） 2( + 1) + 1= 0( ) A.为等差数列 B.为递增数列 C.的前 项和 = (1) 2 + 1+ 4 D.的前 项和 2 + 1 = 2+ 2 【答案】BD 【解析】 【分析】 由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列， 2( + 1) + 1= 0 + 1 + 1 = 2 = 2 + 1 利用错位相减法可求得的前 项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前 项和. 2 + 1 = 2 + 1 2 + 1 = 2 + 1 【详解】 由得，所以是以为首项，2 为公比的 2( + 1) + 1= 0 + 1 + 1 = 2 1 1 = 1= 4 等比数列，故 A 错误；因为，所以，显然递增，故 B 正确； = 4 21= 2 + 1 = 2 + 1 因为，所以 = 1 22+ 2 23+ + 2 + 12= 1 23+ 2 24+ + 2 + 2 ，故， = 1 22+ 23+ + 2 + 1 2 + 2= 22(12) 12 2 + 2 = (1) 2 + 2+ 4 故 C 错误；因为，所以的前 项和， 2 + 1 = 2 + 1 2 + 1 = 2 + 1 = (1 + ) 2 = 2+ 2 故 D 正确. 故选：BD 【点晴】 本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前 n 项和等，考查学生的 数学运算能力，是一道中档题. 三、填空题(共 24 分) 7.已知数列根据规律，应该是该数列的第_项. 2, 5,2 2,2 5 【答案】7 【解析】 【分析】 可改写为，猜想数列通项公式，再设其等于，即可求出 2, 5,2 2,2, 5, 8,2 5 【详解】 观察可改写为， 2, 5,2 2,2, 5, 8, 故数列的通项公式为，设，解得，故答案为 7. =31 31 =20 = 7 【点睛】 本题考查观察法确定通项公式，并根据已知项求项数，是基础题 8.设数列的前 项和为，已知，且，则数列的通项公式是_. 1= 1 = 4(1 + 2 )( ) = 【答案】 21( ) 【解析】 【分析】 利用得到数列是首项为 ，公比为 的等比数列，即得数列的通项公式. = 1=(1 + 2 1)1(1 + 2 ) 1 2 1 2 【详解】 当时， 2 = 1=(1 + 2 1)1(1 + 2 ) 则， (1 + 2 1)1 =(2 + 2 ) 即，所以数列是首项为 ，公比为 的等比数列， = 1 2(1) 1 2 1 2 则，即，对成立， =(1 2) 1 = 21 1= 1 故答案为：. 21( ) 【点睛】 本题主要考查根据的关系求数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. , 四、解答题(共 27 分) 9.已知正项数列的前 项和满足， 2= + 22 （1）若数列为等比数列，求公比 的值； （2）若，设，求数列的通项公式 2= 1= 1= + 1+ 【答案】 （1）2；（2）. = 2 = 1 5 22 2 【解析】 【分析】 本题第一题主要抓住数列的前 项和与数列通项列的关系式，通过，可得到等比数列等比数列的 1= 1= 1 公比；第二题要根据第一题求出的算式，然后根据数列判断为等比数列即可求出的通项公式 【详解】 解：（1）由， 21= 32 22= 42 -：， 22= 43 ， 22 = 0 （舍） = 2 = 1 （2）由， ， 2= + 22 ， ， 21= + 12 2 -：， 2= + 2 + 1 2 ， + 2+ + 1= 2( + 1+ ) 2 即，且， + 1= 2 2 1= 1+ 2= 22= 5 = 2, = 1 5 22, 2 【点睛】 本题考查数列的递推公式，涉及等比数列的性质，属于中档题 10.已知各项均为正数的数列满足，数列满足，. + 13= 21= 12= 9 + 1= （1）求证：数列是等比数列； + 1 （2）求数列的通项公式. 【答案】 （1）证明见解析；（2）. = 3 + 1 2 5 2 【解析】 【分析】 （1）根据递推关系式可得，利用等比数列的定义即可证出. + 1+ 1 = 3(+ 1) （2）由（1）求出，利用累加法即可求解. = 3 + 11 【详解】 （1）由题意得，所以， + 1= 3+ 2 + 1+ 1 = 3(+ 1) + 1+ 1 + 1 = 3 又 ， 1+ 1 = 21+ 1 = 91 + 1 = 9 所以数列是首项为 9，公比为 3 的等比数列. + 1 （2）由（1）知， = 3 + 11 所以， 21= 32132= 3311= 31 由累加法得. 1= 9 (131) 13 (1)= 3 + 1 2 5 2 【点睛】 本题考查了等比数列的定义、累加法求通项公式，属于基础题. 11.已知是递增的数列，是等比数列.满足，且对任意，. 1= 1= 1(32)2= 3+ 4 2 + 12 + 1+ 2 = 2 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式. 【答案】 （1）；（2） = 31 = 31+ 1 2 【解析】 【分析】 （1）根据得解方程即可得解； (32)2= 3+ 4 (2)2= 2+ 3 （2）由题根据单调性求出，利用累加法即可求得通项公式. ( + 1)2= (31)2 + 1= 31 【详解】 （1）设的公比为， ( 0) 由已知得， (32)2= 3+ 4 (2)2= 2+ 3 化简得，解得. 23 = 0 = 3 故. = 11= 31 （2）由，得， 2 + 12 + 1+ 2 = 2 ( + 1)2= (31)2 因为单调递增，即，所以. + 1 + 1= 31 ， 1= 121= 3032= 3143= 321= 32( 2) 累加得 = 1 + 1 + 3 + 32+ 33+ + 32 . = 1 + 131 13 = 31+ 1 2 因为也符合该式，所以. 1= 1 = 31+ 1 2 【点睛】 此题考查求数列通项公式，根据题目所给递推关系求解通项公式，涉及公式法和累加法求通项公式.