（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业01：等差数列及其前n项和B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 01等差数列及其前 n 项和 B 卷 一、单选题（共 20 分） 1.设公差不为 0 的等差数列的前 项和为.若，则在，这四个值中，恒等于 0 的个数是 17= 18183517191916 （ ） A.1B.2C.3D.4 2.周髀算经是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳 照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸 （注：一丈等于十尺，一尺等于十寸） ，则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（ ） A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸 3.在等差数列中，为其前 项和.若，且，则等于（ ） 2020= 2020 2020 2020 20 20 = 2000 1 A.B.C.D. 2021202020192018 4.已知数列的各项均为正数，其前 项和满足，设，为数列的前 项和， 4= 2 + 2( ) = (1) + 1 则（ ） 20= A.B.C.D. 110220440880 二、多选题（共 10 分） 5.已知两个等差数列和的前 项和分别为和，且，则使得 为整数的正整数 的值为（ ） = 3 + 39 + 3 A.B.C.D. 23414 6.下列命题中，其中错误命题有（ ） A.单位向量都相等 B.在中，若，则 一定大于 ； C.若数列的前 项和为（ 、 、 均为常数） ，则数列一定为等差数列； = 2+ + D.若数列是等比数列，则数列也是等比数列 ,2,32, 三、填空题（共 10 分） 7.若两个等差数列，的前 项和分别为，若对于任意的都有，则_ = 2 + 3 4 + 3 9 5+ 7 + 3 8+ 4 = 8.设等差数列的各项都是正数，公差为 d，前 n 项和为若数列也是公差为 d 的等差数列，则的前 6 项和为_ , 四、解答题（共 36 分） 9.设等差数列的前 项和为，且，. 5= 534= 223 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，证明： 1 1 + 2 2 + + = 1 21, 3 8 10.设各项为正项的数列，其前 项和为，. 1= 2 + 1= 62 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前 项和. = 2 11.已知公差大于 0 的等差数列的前 n 项和为，且满足，. 3 8= 95+ 6= 8 （1）求数列的通项公式； （2）若，求的表达式； =|1|+|2|+|3|+ +| （3）若，存在非零常数 ，使得数列是等差数列，存在，不等式成立，求 k 的取值范围. = + 0 暑假作业 01等差数列及其前 n 项和 B 卷 一、单选题（共 20 分） 1.设公差不为 0 的等差数列的前 项和为.若，则在，这四个值中，恒等于 0 的个数是 17= 18183517191916 （ ） A.1B.2C.3D.4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意计算得到，依次验证每个选项得到答案. =(18) = (35) 2 【详解】 设的首项为，公差为 ，由， 1 17= 18 即，得，所以， 171+ 17 16 2 = 181+ 18 17 2 1= 17=(18) = (17)+ (1) 2 = (35) 2 所以， 18= 035= 01719= = 2 . 1916= 19 (16) 2 16 (19) 2 = 0 故选：C. 【点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2.周髀算经是我国古代的天文学和数学著作.其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳 照射物体影子的长度增加和减少大小相同）.二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸 （注：一丈等于十尺，一尺等于十寸） ，则夏至后的那个节气（小暑）晷长为（ ） A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知，从夏至到冬至，冕长组成了等差数列，其中，结合等差数列的通项公式，可求公差， 1= 1513= 135 = 10 进而可求小暑晷长. 【详解】 解：设从夏至到冬至，每个节气冕长为，即夏至时冕长为，冬至时冕长为， 1= 1513= 135 由每个节气晷长损益相同可知，常数，所以 为等差数列，设公差为 ， + 1= 由题意知，解得，则. 13= 1+ 12 = 15 + 12 = 135 = 10 2= 1+ = 15 + 10 = 25 故选:B. 【点睛】 本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的求解及应用.本题的关键是将各个节气的冕长抽象成等差数列. 3.在等差数列中，为其前 项和.若，且，则等于（ ） 2020= 2020 2020 2020 20 20 = 2000 1 A.B.C.D. 2021202020192018 【答案】D 【解析】 【分析】 先证明数列是以为首项以 为公差的等差数列，再求出 的值，再利用等差数列的通项即可求出的值. 1 2 1 【详解】 是等差数列，为其前 项和，设公差为 ， = 1+ 2(1), ， = 1+(1) 2 + 1 + 1 = 2 所以数列是以为首项以 为公差的等差数列， 1 2 则 ， 2020 2020 20 20 = 1+(20201) 21 +(201) 2 = 1000 = 2000 解得. = 2 又， 2020= 2020 ， 2020 2020 = 2020 2020 = 1 = 1+(20201) 2 2 . 1= 2018 故选： 【点睛】 本题主要考查等差数列的通项和前 项和的应用，考查等差数列通项的基本量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 和分析推理能力. 4.已知数列的各项均为正数，其前 项和满足，设，为数列的前 项和， 4= 2 + 2( ) = (1) + 1 则（ ） 20= A.B.C.D. 110220440880 【答案】D 【解析】 【分析】 利用之间的关系，即可容易求得，则得解，再用并项求和法即可求得结果. , 【详解】 由得，作差可得： 4= 2 + 2 41= 2 1+ 21(2) ，又得， 1= 21= 2= 2 则所以 ， = (1) 2 2( + 1) = 4(1) ( + 1)1+ 2= 4(1) 1 2 + 2 3 = 8 2 ， 3+ 4= 4(1) 3 4 + 4 5 = 8 4, 5+ 6= 4(1) 5 6 + 6 7 = 8 6,19+ 20= 4(1) 19 20 + 20 21 = 8 20, 所以. 20= 8 (2 + 20) 10 2 = 880 故选：D. 【点睛】 本题考查利用的关系求数列的通项公式，涉及等差数列前 项和的求解，属综合中档题. , 二、多选题（共 10 分） 5.已知两个等差数列和的前 项和分别为和，且，则使得 为整数的正整数 的值为（ ） = 3 + 39 + 3 A.B.C.D. 23414 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数 的可能 = 3 + 18 + 1 = 3 + 15 + 1 + 115 取值. 【详解】 由题意可得，则， 21 21 = (21)(1+ 21) 2 (21)(1+ 21) 2 = (21) (21) = = 21 21 = 3(21)+ 39 (21)+ 3 = 3 + 18 + 1 = 3 + 15 + 1 由于 为整数，则为的正约数，则的可能取值有 、 、， + 115 + 13515 因此，正整数 的可能取值有 、 、. 2414 故选：ACD. 【点睛】 本题考查两个等差数列前 项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 6.下列命题中，其中错误命题有（ ） A.单位向量都相等 B.在中，若，则 一定大于 ； C.若数列的前 项和为（ 、 、 均为常数） ，则数列一定为等差数列； = 2+ + D.若数列是等比数列，则数列也是等比数列 ,2,32, 【答案】ACD 【解析】 【分析】 A，利用单位向量的定义分析判断；B，利用正弦定理分析判断得解；C，利用等差数列的性质分析判断得解；D，利用等比数列 的性质分析判断得解. 【详解】 A. 单位向量不一定相等，因为向量既有大小，又有方向，所以该命题错误； B. 在中，若，所以所以，则 一定大于 ，所以该命题正确； 2 2, C. 若数列的前 项和为（ 、 、 均为常数） ，由等差数列性质得，当时，数列一定为等差数列； = 2+ + = 0 当时，数列从第二项起，是等差数列，所以该命题错误； 0 D. 若数列是等比数列，则数列不一定是等比数列，如当公比时， 为偶数， ,2,32, = 1 均为零，所以该命题错误. ,2,32, 故选：ACD 【点睛】 本题主要考查单位向量的定义，考查正弦定理，考查等差数列的前 项和的性质，考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平. 三、填空题（共 10 分） 7.若两个等差数列，的前 项和分别为，若对于任意的都有，则_ = 2 + 3 4 + 3 9 5+ 7 + 3 8+ 4 = 【答案】 25 47 【解析】 【分析】 由等差数列的性质可得：再利用已知即可得出 9 5+ 7 + 3 8+ 4 = 9+ 3 5+ 7 = 1+ 11 1+ 11 = 11 11 【详解】 由等差数列的性质可得： 9 5+ 7 + 3 8+ 4 = 9+ 3 5+ 7 = 1+ 11 1+ 11 = 11 11 对于任意的都有， = 2 + 3 4 + 3 则 9 5+ 7 + 3 8+ 4 = 11 11 = 2 11 + 3 4 11 + 3 = 25 47 故答案为： 25 47 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8.设等差数列的各项都是正数，公差为 d，前 n 项和为若数列也是公差为 d 的等差数列，则的前 6 项和为_ , 【答案】9 【解析】 【分析】 由题意，等差数列的前 项和公式，由数列为等差数列，表示出数列的通项公式， = 1+ (1) 2 =1+ (1) 联立两式求解出和 ，即可计算的前 6 项和. 1 【详解】 由题意，等差数列的前 项和公式， = 1+ (1) 2 又数列为等差数列，则， =1+ (1) 所以， = 1+ 21(1) + (1)22 所以， 1+ 21(1) + (1)22= 1+ (1) 2 解得， 1= (1)2+ 21 2 当时， = 2 1= 2+ 21 当时， = 3 1= 22+ 213 2 联立两式，解得， 1= 1 4 = 1 2 所以的前 6 项和 6= 6 1 4 + 6 5 2 1 2 = 9 故答案为：9 【点睛】 本题主要考查等差数列通项公式的应用和前 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题. 四、解答题（共 36 分） 9.设等差数列的前 项和为，且，. 5= 534= 223 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，证明： 1 1 + 2 2 + + = 1 21, 3 8 【答案】 （1）（2）证明见解析 = 2 + 3 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列的求和公式及通项公式列出方程组求解即可； （2）由递推关系式可得，做差比较大小即可证明结论. = (23) 1 2 【详解】 （1）设等差数列的公差为 ， ， 5= 534= 223 51+ 10 = 5(31+ 3), 1+ 3 = 2(1+ )3, ， 1= 1 = 2 . = 1 + (1) (2) = 2 + 3 （2）， 1 1 + 2 2 + 3 3 + + = 1 21, 时， = 1 1 1 = 1 21 ， 1= 1 2 时， 2 1 1 + 2 2 + 3 3 + + 1 1 = 1 211, -得：， = 1 21( 1 211) = 1 2 = (23) 1 2 又也符合上式， 1= 1 2 ， = (23) 1 2 又， + 1= (21) 1 2 1(23) 1 2 = 2 + 5 2 1 当时，；当时， 2 + 1 0 3 1 0 可得， + 11= 6 可得数列的奇数项和偶数项均为公差为 6 的等差数列， 可得正项的数列为 2，5，8，11，14，17， ， 所以当 为奇数时， = 2 + (1) 6 = 64 = 3 (2 + 1)1 当 为偶数时， = 5 + (1) 6 = 61 = 3 21 综合得有正项的数列的通项公式为； = 2 + 3(1) = 31 （2）， |=|312| 当时，前 项和 1 3 = (2 + + 31)(2 + + 2)= 1 2(3 + 1) 2(12) 12 ； = 1 2(3 + 1)2 + 1+ 2 当时，前 项和 4, = 1 + (16 + + 2)(11 + + 31)= 1 1 2(3)(3 + 10) + 16(123) 12 . = 2 + 11 2(3 + 1) 综上可得数列的前 项和. = 1 2(3 + 1)2 + 1+ 2,1 3 2 + 11 2(3 + 1), 4, 【点睛】 本题主要考查数列通项的求法，考查数列的求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 11.已知公差大于 0 的等差数列的前 n 项和为，且满足，. 3 8= 95+ 6= 8 （1）求数列的通项公式； （2）若，求的表达式； =|1|+|2|+|3|+ +| （3）若，存在非零常数 ，使得数列是等差数列，存在，不等式成立，求 k 的取值范围. = + 7 15 2 【解析】 【分析】 （1）根据数列的基本量，结合下标和性质，列出方程，求得首项和公差，则问题得解； （2）讨论的正负，分类讨论，即可求得； （3）根据（1）中所求可得，根据其为等差数列，求得 ，将问题转化为存在性问题，即可求得 的取值范围. 【详解】 （1）因为数列是等差数列，故可得， 3+ 8= 5+ 6= 8 结合，容易得或， 3 8= 93= 1,8= 93= 9,8= 1 因为，故可得，则， 0 3= 9,8= 15 = 8 3= 10 解得，故. = 2 3= 1+ 2 = 91= 13 故. = 2 15 （2）根据（1）中所求，令，解得， = 2 15 0 7.5 故数列的前 项均为负数，从第 8 项开始都为正数. 7 当时，； 7 = (1+ 2+ ) = 2+ 14 当时， 7 = (1+ 2+ 7) + 8+ . = 27= 2 14 98 综上所述：. = 2+ 14, 7 2 14 98, 7 （3）由（1）中所求，可知， = 2 14 故可得，因为存在非零常数，使得其为等差数列， = 2 14 + 故可得，即， 1+ 3= 22 13 + 1 + 33 + 3 = 48 + 2 整理得，解得，舍去. 2+ 14 = 0 = 14 = 0 故. = 2 14 + = 则存在，不等式成立 + 14 则只需， ( + 14 ) 根据对勾函数的单调性，且当时，； = 3 = + 14 = 23 3 当时， = 4 = + 14 = 15 2 故的最小值为 . = + 14 15 2 则即可. 15 2 【点睛】 本题考查等差数列通项公式和前 项和的求解，涉及含绝对值的数列前 项和的求解，由数列类型求参数值，以及用函数思想求 数列的最值，属综合中档题.