（2021新教材）人教A版高一数学（初升高）第8讲 基本不等式衔接讲义（原卷+解析）.zip

1 第第 8 8 讲讲 基本不等式基本不等式 1.基本不等式：对于任意的正实数，（当且仅当时，等号成立） , a b 2 ab ab ab 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. 2 ab , a bab, a b 2.使用原则： 一正一正：一般要求同为正； , a b 二定二定：或为定值； abab 三相等三相等：当且仅当时，不等式取得等号. ab 例 1. (1) 已知矩形周长为 8，则其面积最大值为多少？ (2) 已知某矩形的面积为 6，则其周长最小值为多少？ 例 2. (1) 已知，求的最小值； 0 x 1 x x (2) 若，有最大值还是有最小值？ 0 x 1 x x 变形： 2 2 ab ab 2 例 3.已知，则的大小关系为( ) 2 0,0, 2 abab abABab C ab , ,A B C A. B. C. D. ABCACBBCACBA 例 4. (1) 已知，则的最大值为 ； 1 0 3 x 13xx (2) 已知，则的最大值为 . 01x 2 1xx 例 5.某同学对求最小值，书写过程如下，请指出解法中的错误之处. 2 2 3 2 x y x 例 6.设，则的最小值为 . 0 x 2 3 1 xx x 例 7. (1) 已知，则的最小值为 ； ,0 x y 21xy 12 xy 解：令，则，故 2 2tx 22 2xt 2 111 22 t ytt ttt 3 (2) 已知，则的最小值为 ； ,0 x y 22xy 23 xy (3) 已知，则的最小值为 . ,0 x y 30 xyyx2xy 例 8. (1) 设，若，则的最小值为 ； 1,0ab2ab 12 1ab (2) 已知，则的最小值为 . 1,0 xy 21xy 12 1xy 例 9. (1) 已知，若，则的最大值为 ； ,0a b 22 6ababab (2) 已知，若，则的最小值为 . ,0 x y 3xyxyxy 例 10. (1) 已知，则的最小值为 ； ,0 x y 6xyxyxy (2) 已知，则的最小值为 . ,0 x y 26xyxy2xy 4 例 11. (1) 若，则的最小值为 ； 0ab 2 16 () a b ab (2) 已知，且，则的最小值为( ) ,0 x y 1xy 11 pxy xy A.3 B.4 C.5 D.6 例 12.证明下列不等式： (1)； 222 abcabbcac (2) 已知为正数且，求证：. , ,a b c1abc 1118abcabc 5 跟踪训练跟踪训练 1.已知，且，在下列四个数中最大的是( ) 0ab1ab A. B. C. D. 1 2b2ab 22 ab 2.已知，则的最小值为 . 1x 1 1 x x 3.已知点为直线第一象限上的点，则的最小值为 . ,P m n21yx 21 mn 4.已知，当且仅当时，取得最小值，则实数 . ,0 x a 2x 4 a x x a 5.已知，且，则的最小值为 . ,0 x y 19 1 xy xy 6.若实数满足，则的最小值为 . , x y1xy 22 2xy 7.已知，则的最小值为 . ,0a b 22ab 1b ab 8.已知，且，则的最小值为 . ,0a b 342ababab 9.已知正数满足，那么的最小值为 . , x y220 xyxy2xy 6 10. 已知，则的最大值为 . 1 2 x 1 2 21 x x 11. 当时，不等式的最小值为 . 1x 2 3 1 x x 12. 已知，且，则的最小值为( ) 1,0 xy 1xy 14 1xy A.3 B.4 C. D.5 2 9 13. 已知，则的最小值为 . ,0,1a bab 22 11 ab ab 14. 某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块 1800 平方米的矩形地 块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（空白部分）种植桑树， 鱼塘周围的基围宽均为 2 米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中 S . :1:2a b （1）试用表示； , x y S （2）若要使最大，则的值分别为多少？ S , x y 1 第第 8 8 讲讲 基本不等式基本不等式 1.基本不等式：对于任意的正实数，（当且仅当时，等号成立） , a b 2 ab ab ab 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. 2 ab , a bab, a b 2.使用原则： 一正一正：一般要求同为正； , a b 二定二定：或为定值； abab 三相等三相等：当且仅当时，不等式取得等号. ab 例 1. (1) 已知矩形周长为 8，则其面积最大值为多少？ (2) 已知某矩形的面积为 6，则其周长最小值为多少？ 【答案】 （1）4；（2）. 4 6 【解析】 （1）设矩形长和宽分别为，依题意， , x y 4 2 C xy 则， ，当且仅当时取等号， 2 4 2 xy Sxy 2xy 所以面积最大值为 4； （2）依题意， 6Sxy 则，当且仅当时取等号， 22 24 6Cxyxy6xy 所以周长最小值为. 4 6 变形： 2 2 ab ab 2 例 2. (1) 已知，求的最小值； 0 x 1 x x (2) 若，有最大值还是有最小值？ 0 x 1 x x 【答案】 （1）2；（2）最大值. 2 【解析】 （1），当且仅当，即取等号， 0 x 11 22xx xx 1 x x 1x 所以的最小值为 2； 1 x x （2）， 0 x 0 x 111 22xxx xxx 当且仅当，即取等号， 1 x x 1x 所以的最大值为. 1 x x 2 例 3.已知，则的大小关系为( ) 2 0,0, 2 abab abABab C ab , ,A B C A. B. C. D. ABCACBBCACBA 【答案】D 【解析】，当且仅当时取等号，即， ,0a b 2 ab ab abAB 又，当且仅当时取等号，即， 22 2 abab ab abab abCB 所以，选 D. CBA 3 例 4. (1) 已知，则的最大值为 ； 1 0 3 x 13xx (2) 已知，则的最大值为 . 01x 2 1xx 【答案】 （1）；（2）. 1 12 1 2 【解析】 （1）， 1 0 3 x 130 x ， 2 313111 13313 33212 xx xxxx 当且仅当，即时取等号， 313xx 1 6 x 所以的最大值为； 13xx 1 12 （2）， 01x 22 222 1 1 11 22 xx xxxx 当且仅当，即时取等号， 22 1xx 2 2 x 所以的最大值为. 2 1xx 1 2 例 5.某同学对求最小值，书写过程如下，请指出解法中的错误之处. 2 2 3 2 x y x 【答案】没有考虑取等号的条件，上述不等式当且仅当，即时取等号， 1 t t 1t 而，显然无法取等号. 2 22tx 解：令，则，故 2 2tx 22 2xt 2 111 22 t ytt ttt 4 例 6.设，则的最小值为 . 0 x 2 3 1 xx x 【答案】2 3 1 【解析】设，即， 11tx 1xt 则， 2 22 1133333 1212 31 1 ttxxtt tt xtttt 当且仅当，即时取等号， 3 t t 3,31tx 所以的最小值为. 2 3 1 xx x 2 31 例 7. (1) 已知，则的最小值为 ； ,0 x y 21xy 12 xy (2) 已知，则的最小值为 ； ,0 x y 22xy 23 xy (3) 已知，则的最小值为 . ,0 x y 30 xyyx2xy 【答案】 （1）8；（2）；（3）. 42 372 6 【解析】 （1）由已知得， 121244 24428 yxyx xy xyxyxyxy 当且仅当，即时取等号， 4 21 yx xy xy 1 4 1 2 x y 所以的最小值为 8； 12 xy （2）由已知得， 23123143143 288242 3 222 yxyx xy xyxyxyxy 5 当且仅当，即时取等号， 43 22 yx xy xy 31 33 2 x y 所以的最小值为； 23 xy 42 3 （3）由，得，即， ,0 x y 30 xyyx3xyxy 13 1 xy 所以， 132323 2277272 6 yxyx xyxy xyxyxy 当且仅当，即时取等号， 23 13 1 yx xy xy 61 6 3 2 x y 所以的最小值为. 2xy 72 6 例 8. (1) 设，若，则的最小值为 ； 1,0ab2ab 12 1ab (2) 已知，则的最小值为 . 1,0 xy 21xy 12 1xy 【答案】 （1）；（2）. 32 2 9 2 【解析】 （1）， 1,0ab2ab 10,11aab ， 21211212 =133232 2 1111 aabb ab abababab 当且仅当，即时取等号， 21 1 2 ab ab ab 2 22 a b 6 所以的最小值为； 12 1ab 32 2 （2）， 1,0 xy 21xy10,122xxy 21211211212129 12552 12121212 xxyy xy xyxyxyxy 当且仅当，即时取等号， 212 1 21 xy xy xy 1 3 2 3 x y 所以的最小值为. 12 1xy 9 2 例 9. (1) 已知，若，则的最大值为 ； ,0a b 22 6ababab (2) 已知，若，则的最小值为 . ,0 x y 3xyxyxy 【答案】 （1）2；（2）6. 【解析】 （1）， ,0a b 22 6abab ，当且仅当时取等号， 2222 622ababa bab 2ab 解得， 2ab 所以的最大值为 2. ab （2），当且仅当，即时取等号， ,0 x y 2 3 2 xy xyxy 3 xy xyxy 3 3 x y ， 2 4120 xyxy ， 260 xyxy ， ,0 x y 6xy 所以的最小值为 6. xy 7 例 10. (1) 已知，则的最小值为 ； ,0 x y 6xyxyxy (2) 已知，则的最小值为 . ,0 x y 26xyxy2xy 【答案】 （1）；（2）4. 22 7 【解析】 （1）， ,0 x y 6xyxy ，当且仅当，即时取等号， 2 6 2 xy xyxy 6 xy xyxy 17 17 x y ， 2 4240 xyxy ， ,0 x y 22 7xy 所以的最小值为. xy 22 7 （2）， ,0 x y 26xyxy ，当且仅当，即时取等号， 2 112 622 222 xy xyxyxy 2 26 xy xyxy 2 1 x y ， 2 282480 xyxy ， 242120 xyxy ， ,0 x y 24xy 所以的最小值为 4； 2xy 例 11. (1) 若，则的最小值为 ； 0ab 2 16 () a b ab (2) 已知，且，则的最小值为( ) ,0 x y 1xy 11 pxy xy A.3 B.4 C.5 D.6 8 【答案】 （1）16；（2）C. 【解析】， 0ab 2 2 24 baba b ab ， 2222 222 16166464 216 () 4 aaaa ab abaa 当且仅当，即时取等号， 2 2 64 bab a a 2 2 2 a b 所以的最小值为 16； 2 16 () a b ab （2），且， ,0 x y 1xy ， 111111 113325 yxyx pxyxy xyxyxyxyxy 当且仅当，即时取等号， 1 yx xy xy 1 2 1 2 x y 所以的最小值为 5，选 C. 11 pxy xy 例 12.证明下列不等式： (1)； 222 abcabbcac 9 (2) 已知为正数且，求证：. , ,a b c1abc 1118abcabc 【证明】 （1）， 222222222 11 222 22 abcabbcacabbcacabbcac 当且仅当时取等号； abc （2）为正数且， , ,a b c1abc ， 1112228abcbcacabbcacababc 当且仅当时取等号. 1 2 abc 10 跟踪训练跟踪训练 1.已知，且，在下列四个数中最大的是( ) 0ab1ab A. B. C. D. 1 2b2ab 22 ab 【答案】D 【解析】解法一：，且， 0ab1ab 1 01 2 ab 又，当且仅当时取等号， 2 1 22 22 ab ab 1 2 ab ， 2 22 1 212 2 abababab 最大，选 D. 22 ab 解法二：依题意可取，则，所以最大，选 D. 12 , 33 ab 22 45 2, 99 abab 22 ab 2.已知，则的最小值为 . 1x 1 1 x x 【答案】3 【解析】， 1x 10 x ， 111 112113 111 xxx xxx 当且仅当，即时取等号， 1 1 1 x x 2x 所以的最小值为 3. 1 1 x x 3.已知点为直线第一象限上的点，则的最小值为 . ,P m n21yx 21 mn 11 【答案】9 【解析】为直线第一象限上的点， ,P m n21yx 且，即， ,0m n21nm 21mn ， 21212222 25529 nmnm mn mnmnmnmn 当且仅当，即时取等号， 22 21 nm mn mn 1 3 1 3 m n 所以的最小值为 9. 21 mn 4.已知，当且仅当时，取得最小值，则实数 . ,0 x a 2x 4 a x x a 【答案】16 【解析】， ,0 x a 42 44 aa xxa xx 当且仅当，即时取等号， 4 a x x 2 a x 所以，解得. 2 2 a 16a 5.已知，且，则的最小值为 . ,0 x y 19 1 xy xy 【答案】36 【解析】， ,0 x y 199 1 xy xyxy 92 96xyxyx yxy 12 当且仅当，即时取等号， 9 19 1 xy xy 2 18 x y ，解得，即， 660 xyxyxyxy 6xy 36xy 所以的最小值为 36. xy 6.若实数满足，则的最小值为 . , x y1xy 22 2xy 【答案】2 2 【解析】， 1xy 1 y x ，当且仅当，即时取等号， 2222 22 22 222 2xyxx xx 2 2 2 x x 4 2x 所以的最小值为. 22 2xy 2 2 7.已知，则的最小值为 . ,0a b 22ab 1b ab 【答案】 21 【解析】， ,0a b 22ab 2 2 a b 1211111111121 23 222222 baba ab ababababab ， 121 3221 22 b a ab 当且仅当，即时取等号， 2 22 ba ab ab 2 22 22 a b 所以的最小值为. 1b ab 21 13 8.已知，且，则的最小值为 . ,0a b 342ababab 【答案】 74 3 2 【解析】，且， ,0a b 342abab 43 2 ab ， 1 4313413474 3 772 2222 abab abab abbaba 当且仅当，即时取等号， 34 43 2 ab ba ab 23 3 3 2 a b 所以的最小值为. ab 74 3 2 9.已知正数满足，那么的最小值为 . , x y220 xyxy2xy 【答案】 9 2 【解析】，即， ,0,220 x yxyxy22xyxy 21 2 xy ， 1 211221229 22552 2222 xyxy xyxy xyyxyx 当且仅当，即时取等号， 22 21 2 xy yx xy 3 2 3 2 x y 所以的最小值为. 2xy 9 2 14 10. 已知，则的最大值为 . 1 2 x 1 2 21 x x 【答案】 1 【解析】， 1 2 x 120 x ， 1111 221112121211 21211212 xxxx xxxx 当且仅当，即时取等号， 1 12 12 x x 0 x 所以的最呆滞为. 1 2 21 x x 1 11. 当时，不等式的最小值为 . 1x 2 3 1 x x 【答案】6 【解析】，设，则， 1x 10 x 10tx 1xt 所以， 2 22 1332444 2226 1 txtt tt xtttt 当且仅当，即时取等号， 4 t t 2,3tx 所以的最小值为 6. 2 3 1 x x 12. 已知，且，则的最小值为( ) 1,0 xy 1xy 14 1xy A.3 B.4 C. D.5 2 9 【答案】C 15 【解析】，且， 1,0 xy 1xy10,12xxy 414114114119 1552 12121212 xxyy xy xyxyxyxx ， 当且仅当，即时取等号， 41 1 1 xy xy xy 1 3 4 3 x y 所以的最小值为，选 C. 14 1xy 2 9 13. 已知，则的最小值为 . ,0,1a bab 22 11 ab ab 【答案】 25 2 【解析】，当且仅当时取等号， ,0,1a bab 2 1 24 ab ab 1 2 ab 2 22 212abababab 22 2222 2222 11111 414ababab ababa b ， 222 11125 12141214 42 1 4 ab a b 当且仅当时取等号， 1 2 ab 所以的最小值为. 22 11 ab ab 25 2 16 14. 某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块 1800 平方米的矩形地 块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（空白部分）种植桑树， 鱼塘周围的基围宽均为 2 米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中 S . :1:2a b （1）试用表示； , x y S （2）若要使最大，则的值分别为多少？ S , x y 【答案】 （1）；（2）. 16 183260 3 Sxy x 40,45xy 【解析】 （1）依题意可得， 1800,2xyba 则，即， 636yaba 6 3 y a ； 616 46316183260 33 y Sxaxbxxy x （2）， 1616 1832618322 61352 33 Sxyxy 当且仅当，即时取等号， 16 6 3 1800 xy xy 40 45 x y 所以时，取得最大值 1352. 40,45xy S