（2021新教材）人教A版高一数学（初升高）第2讲 集合间的基本关系衔接讲义（原卷+解析）.zip

1 第第 2 2 讲讲 集合间的基本关系集合间的基本关系 你能发现下面这两个集合之间的关系么？ ， 1,2,3,A 1,2,3,4,5B 1. 子集子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素， ,A B AB 就称集合是集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包 AB ABBA ABB 含”）.（反面：与） A 我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图（如下图所示）: Venn 2. 集合相等集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合和集合 ABBAA 中的元素是一样的，因此集合与集合相等，记作. BABAB 3. 真子集真子集：若集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集， ABxBxA AB 记作 （或 ），读作“真包含于”（或“真包含”）. ABBAABBA 4. 空集空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 例 1.用适当的符号填空： 0 ； ； ； 0,1 2 10 xR x 1,8 Z 0,2 ；0 ； ； ； 2 2x xx N x x是正数 1 1,2 . 2,1 例 2.下列表述正确的是（ ） 2 A. B. C. D. 0 0 0 0 例 3.写出下列集合的所有子集： （1）； 1A （2）； 1,2B （3）； 1,2,3C （4）. 1,2,3,4D 结论：若结论：若一个集合包含个元素，则其子集数为 个，其真子集数为 个. n 例 4.已知集合满足，写出集合的所有可能情况. M 1,21,2,3,4,5M M 例 5. (1) 已知集合，试用列举法写出集合，并指出与的关系； 1,2A Bx xA BAB (2) 已知集合，试用列举法写出集合，并指出与，与 1,2A Bx xA BBA 的关系. B 3 例 6. (1) 若集合，是的真子集，求的值. 2 60Ax xx10Bx mx BAm （2）设集合，若，求实数的 2 40Ax xx 22 2110Bx xaxa BAa 取值范围. 例 7. (1) 己知集合，且，则实数的取值范 15Axx 51Bx mxm ABm 围为_. 4 (2) 已知集合，且，则实数的取值范围 15Axx 523x mxm ABm 为_. (3) 已知集合，且，则实数的取值 15Axx 523Bx mxm ABm 范围为_. 跟踪训练跟踪训练 1.已知集合，则使成立的实数的取值 12Ax axa 35Bxx ABa 范围为（ ） A. B. C. D. 34aa34ax34aa 2.对于集合，“”不成立的含义是（ ） ,A BAB A.是的子集 B.中的元素都不是的元素 BAAB C.中最少有一个元素不属于 D.中至少有一个元素不属于 ABBA 5 3.若集合中只有一个元素，则实数（ ） 2 320Ax axx a A. B. C.0 D.0 或 9 2 9 8 9 8 4.集合的真子集个数为_. 2 6,Ax xyxN yN 5.设集合，若，则实数的取值范围_. 12AxxBx xa ABa 6.设集合，若，求实数的值. 1,2,Aa 2 1,Baa BAa 7.已知集合，若,求实数的取值范 27Axx121Bx mxm BAm 围. 6 8.集合，则下列关系中，正确的 2 1,Mx xaaN 2 45,Px xaaaN 是（ ） A. B. C. D.无法确定两者关系 MPPMPM 9.已知，则下列关系中，正确的 21,Ax xnnZ41,By ykkZ 是（ ） A. B. C. D.无法确定两者关系 ABABBA 10. 设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个 AkA1kA 1kA kA “孤立元”，给定，由的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤 1,2,3,4,5,6,7,8,9S S 立元”的集合共有 个. 11. 已知集合，.若且 ，试求实数的值. 1,2A 2 20Bx xaxb B BA, a b 1 第第 2 2 讲讲 集合间的基本关系集合间的基本关系 你能发现下面这两个集合之间的关系么？ ， 1,2,3,A 1,2,3,4,5B 1. 子集子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素， ,A B AB 就称集合是集合的子集，记作（或） ，读作“包含于” （或“包含 AB ABBA ABB ” ）.（反面：与） A 我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图（如下图所示）: Venn 2. 集合相等集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合和集合 ABBAA 中的元素是一样的，因此集合与集合相等，记作. BABAB 3. 真子集真子集：若集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集， ABxBxA AB 记作 （或 ） ，读作“真包含于” （或“真包含” ）. ABBAABBA 4. 空集空集：不含任何元素的集合称为空集，记作. 规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 例 1.用适当的符号填空： 0 ； ； ； 0,1 2 10 xR x 1,8 Z 0,2 ；0 ； ； ； 2 2x xx N x x是正数 1 1,2 . 2,1 【答案】；. 【解析】元素与集合间的关系分为“属于”与“不属于”两种，集合间的关系分为 2 “包含于”与“相等”两种. 例 2.下列表述正确的是（ ） A. B. C. D. 0 0 0 0 【答案】B 【解析】空集是任何集合的子集，所以 A、D 错误，B 正确；集合之间不存在“属于”关 系，C 错误. 例 3.写出下列集合的所有子集： （1）； 1A （2）； 1,2B （3）； 1,2,3C （4）. 1,2,3,4D 【答案】 （1）；（2）；（3）； , 1 , 1 , 2 , 1,2 , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3 （4） , 1 , 2 , 3 , 4 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,3,4 , 2,3,4 , 1,2,3,4 结论：若结论：若一个集合包含个元素，则其子集数为 个，其真子集数为 个. n 【答案】. 2 ,21 nn 例 4.已知集合满足，写出集合的所有可能情况. M 1,21,2,3,4,5M M 【答案】. 1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,5 , 1,2,3,4 , 1,2,3,5 , 1,2,4,5 , 1,2,3,4,5 3 例 5. (1) 已知集合，试用列举法写出集合，并指出与的关系； 1,2A Bx xA BAB (2) 已知集合，试用列举法写出集合，并指出与，与 1,2A Bx xA BBA 的关系. B 【答案】 （1），；（2），且，. 1,2B AB , 1 , 2 , 1,2B BB AB 【解析】 （1）由于中的元素都是中的元素，所以，； BxA 1,2,3B AB （2）由于中的元素是且，所以中的元素是集合，并且是的子集，所以 Bx xA BA .，因为是中的元素；同时，因为空集是任何集合 , 1 , 2 , 1,2B BBB 的子集.是中的元素，所以. ABAB 例 6. (1) 若集合，是的真子集，求的值. 2 60Ax xx10Bx mx BAm （2）设集合，若，求实数的 2 40Ax xx 22 2110Bx xaxa BAa 取值范围. 【答案】 （1）；（2）. 11 0 23 m 或或 11a aa 或 【解析】 （1）， 2 603,2Ax xx ，的解为或 2 或无解. BA10mx 3 当的解为时，由得； 10mx 3 310m 1 3 m 当的解为 2 时，由得； 10mx 210m 1 2 m 当无解时，. 10mx 0m 4 综上所述，； 11 0 23 m 或或 （2）， 2 404,0Ax xx ，或 . BA BABA 当，即时，则，0 是方程的两根， BA 4,0B 4 22 2110 xaxa 由韦达定理得，解得； 2 4021 401 a a 1a 当 时，分两种情况： BA 若，则，解得； B 2 2 41410aa 1a 若，则方程有两个相等的实数根， B 22 2110 xaxa ，解得，此时，满足题意. 2 2 41410aa 1a 2 00Bx x 综上所述，的取值范围为. a 11a aa 或 例 7. (1) 己知集合，且，则实数的取值范 15Axx 51Bx mxm ABm 围为_. (2) 已知集合，且，则实数的取值范围 15Axx 523x mxm ABm 为_. (3) 已知集合，且，则实数的取值 15Axx 523Bx mxm ABm 范围为_. 【答案】 （1）；（2）；（3）. 4 14mm8m m 【解析】 （1）由已知条件得，解得，所以的取值范围为； 51 15 m m 4m m 4 5 （2）由已知条件得，解得，所以的取值范围为； 51 235 m m 14mm 14mm （3），且， 15Axx 523Bx mxm AB 当时，解得； B 523mm8m 当时，无解； B 523 51 235 mm m m 综上所述，的取值范围为. m 8m m 跟踪训练跟踪训练 1.已知集合，则使成立的实数的取值 12Ax axa 35Bxx ABa 范围为（ ） A. B. C. D. 34aa34ax34aa 【答案】C 【解析】由已知条件得，解得，故选 C. 13 25 a a 34m 2.对于集合， “”不成立的含义是（ ） ,A BAB A.是的子集 B.中的元素都不是的元素 BAAB C.中最少有一个元素不属于 D.中至少有一个元素不属于 ABBA 【答案】C 【解析】“”成立的含义是集合中的任何一个元素都是的元素，不成立的 AB AB 含义是中至少有一个元素不属于. AB 6 3.若集合中只有一个元素，则实数（ ） 2 320Ax axx a A. B. C.0 D.0 或 9 2 9 8 9 8 【答案】D 【解析】依题意方程只有一个解， 2 320axx 当时，方程为，只有一个解，满足题意； 0a 320 x 2 3 x 当时，则，. 0a 980a 9 8 a 综上所述，故选 D. 9 0 8 a 或 4.集合的真子集个数为_. 2 6,Ax xyxN yN 【答案】7 【解析】，所以其真子集个数为 7. 2 6,6,5,2Ax xyxN yN 5.设集合，若，则实数的取值范围_. 12AxxBx xa ABa 【答案】 1a a 6.设集合，若，求实数的值. 1,2,Aa 2 1,Baa BAa 【答案】或 0 1 【解析】依题意或， 2 2aaa 7 当时，解得或 2； 2 2aa1a 当时，解得或 2， 2 aaa0a ，且，或 0. 1,2,Aa 1a2a 1a 7.已知集合，若,求实数的取值范 27Axx121Bx mxm BAm 围. 【答案】. 4m m 【解析】，且， 27Axx121Bx mxm BA 当时，解得； B 121mm 2m 当时，解得， B 121 12 217 mm m m 24m 综上所述，的取值范围为. m 4m m 8.集合，则下列关系中，正确的 2 1,Mx xaaN 2 45,Px xaaaN 是（ ） A. B. C. D.无法确定两者关系 MPPMPM 【答案】A 【解析】， 22 1,1,1Mx xaaNx xaaaZ 且 ， 2 22 45,21,1,1Px xaaaNx xaaNx xbbbZ 且 所以 ，选 A. MP 8 9.已知，则下列关系中，正确的 21,Ax xnnZ41,By ykkZ 是（ ） A. B. C. D.无法确定两者关系 ABABBA 【答案】B 【解析】若，则， xA 21,xnnZ 当时，； 2 ,nk kZ 41xkB 当时， 21,xkkZ 41xkB 所以. AB 若，则， xB 41,xkkZ 当时，所以； 41xk21,2xnnkZ xA 当时，所以， 41xk21,21xnnkZ xA 所以. BA 综上所述，故选 B. AB 10. 设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个 AkA1kA 1kA kA “孤立元” ，给定，由的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立 1,2,3,4,5,6,7,8,9S S 元”的集合共有 个. 【答案】7 【解析】依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元” ，不含“孤立元”说明中的三 SS 个数必须连在一起，所以符合题意的集合是， 1,2,3 ，共 7 个. 2,3,43,4,54,5,65,6,76,7,87,8,9 11. 已知集合，.若且 ，试求实数的值. 1,2A 2 20Bx xaxb B BA, a b 9 【答案】或. 1 1 a b 2 4 a b 【解析】，且 ，或. 1,2A B BA 1B 2B 当时，解得； 1B 2 2 240 1210 ab ab 1 1 a b 当时，解得. 2B 2 2 240 2220 ab ab 2 4 a b 综上所述，或. 1 1 a b 2 4 a b