（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册期末复习第4章指数函数和对数函数复习测试题（2）.doc

1、指数函数和对数函数复习测试题二指数函数和对数函数复习测试题二 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1已知 0.5 2021a ， 2021 0.5b ， 2021 log0.5c ，则() AcbaBcabCabcDacb 2已知函数 1 2xy 的图象与函数( )yf x的图象关于直线0 xy对称，则函数( )yf x 的反函数是() A 2 1log ()yx B 2 log (1)yx C 1 2 x y D 1 2 x y 3 设函数 2 66,0 ( ) 34,0 xxx f x xx ， 若互不相等的实数 1 x， 2 x， 3 x满足 123 ()()()f xf xf

2、 x， 则 123 xxx的取值范围是() A 11 ( 3 ，6)B 1 8 (, ) 3 3 C 11 ( 3 ，6D 1 8 (, 3 3 4已知函数 2 |2 |,0 ( ) ,0 xxx f x lnx x ，则函数( )2 ( ( )1)1g xf f x的零点个数为() A7B8C10D11 5已知函数 2 |log (1)|,( 1,3) ( ) 4 ,3,) 1 xx f x x x ，则 2( ) 4 ( )30fxf x的解个数是() A4B3C6D1 6如图所示，曲线是对数函数( )logaf xx的图象，已知a取3， 4 3 ， 3 5 ， 1 2 ，则对应于 1 C

3、， 2 C， 3 C， 4 C的a值依次为() A3， 4 3 ， 3 5 ， 1 2 B3， 4 3 ， 1 2 ， 3 5 C 4 3 ，3， 3 5 ， 1 2 D 4 3 ，3， 1 2 ， 3 5 7 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵记鲑鱼的游速为v（单 位：/ )m s， 鲑鱼的耗氧量的单位数为Q 科学研究发现v与 3 log 100 Q 成正比 当1/vm s时， 鲑鱼的耗氧量的单位数为 890则当2/vm s时，其耗氧量的单位数为() A2670B7120C7921D8010 8函数 32 1, ( ) 3(2)1, lnxaxx b f x xxa x

4、xb ，恒有零点的条件不可能是() A0a ，3b B0a ，2b C0a ，1bD0a ，be 二多选题（共二多选题（共 6 小题）小题） 9已知 3 alog， 3 blog， 1 3 clog，则() AababbcBacbcbcCacbcbcDbcabab 10已知函数 2 3 ,0 ( ) (3),0 xx x f x f xx ，以下结论正确的是() A( )f x在区间4，6上是增函数 B( 2)(2020)4ff C若函数( )yf xb在(,6)上有 6 个零点(1 i x i ，2，3，4，5，6)，则 6 1 9 i i x D若方程( )1f xkx恰有 3 个实根，则

5、 1 ( 1,)1 3 k 11已知函数 | ( ) 1 x f x x ，则() A( )f x是奇函数 B( )f x在0，)上单调递增 C函数( )f x的值域是(, 1)0 ，) D方程 2 ( )10f xx 有两个实数根 12下列计算正确的是() A 43 12( 3) 3 B 211511 336622 1 ()( 3)()9 3 a ba ba ba ，0a ，0b C 33 93 D已知 22 2xx，则 1 2xx 三填空题（共三填空题（共 7 小题）小题） 13已知6lga，15lgb，试用a，b表示48lg 14函数( )g x对一切实数x，yR都有()( )(22)g

6、 xyg yx xy成立，且g（1）0， ( ) ( ) g x f x x ， 若关于x的方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk 有三个不同的实数解， 则实数k的 取值范围是 15已知函数 (1),1, ( ) ,1 x xex f x lnx x x 其中e为自然对数的底数若函数( )( )g xf xkx有 3 个不同的零点，则实数k的取值范围是 16若关于x的方程 2 () xx emx ex恰有一个实根，则实数m的取值范围是 四解答题（共四解答题（共 10 小题）小题） 17已知函数( )23 m f xxm x ，其中m为实数 （1）当1m 时，若( )0f xn在

7、区间1，2上恒成立，求实数n的取值范围； （2）是否存在实数m，使得关于x的方程(|31|)0 x f有三个不同的实数解？若存在，求 实数m的取值范围；若不存在，请说明理由 18某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件） ，经市场调查测算，花费t （万元）进行促销后，商品的剩余量3x与促销费t之间的关系为3 1 x t k （其中k为常 数） ，如果不搞促销活动，只能售出 1（万件）商品 （1）要使促销后商品的利余量不大于 0.1（万件） ，促销费t至少为多少（万元）？ （2）已知商品的进价为 32（元/件） ，另有固定成本 3（万元） ，定义每件售出商品的平均 成本为 3 32

8、x （元)，若将商品售价定位： “每件售出商品平均成本的 1.5 倍“与“每件售出 商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润 最大？此时商品的剩余量为多少？ 19已知函数 2 ( )21g xaxxb ，函数( )g x有两个零点分别是1和 3 （1）若存在 0 1x ，3，使不等式 00 ()0g xmx成立，求实数m的取值范围； （2）记( )( )32f xg xkxk，若方程(|21|)0 x f有三个不同的实数解，求实数k的取值 范围 20已知函数 (2 ), ( ) (1), x xa x a f x a xxa ，其中a为实数，且0a （1

9、）当1a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）若方程( )0f x 仅有一个实数根，求实数a的取值范围 21已知函数 2 ( )29f xxax （）当0a时，设( )(2 ) x g xf，证明：函数( )g x在R上单调递增； （）若1x ，2，(2 ) 0 x f成立，求实数a的取值范围； （）若函数( )f x在( 3,9)有两个零点，求实数a的取值范围 22已知函数 41 ( ) 2 ax x f x （1）若( )f x是偶函数，求a的值； （2）当4a 时，若关于x的方程 2 ( 243)2fxxa在 1，2上恰有两个不同的实 数解，求a的取值范围 指数函数和对数函数复习测

10、试题二指数函数和对数函数复习测试题二 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 11 小题）小题） 1已知 0.5 2021a ， 2021 0.5b ， 2021 log0.5c ，则() AcbaBcabCabcDacb 【分析】利用指数与对数函数的单调性，即可得出大小关系 【解答】解： 0.5 20211a ， 2021 0.5(0,1)b ， 2021 log0.50c ， abc 故选：C 【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2已知函数 1 2xy 的图象与函数( )yf x的图象关于直线0 xy对称，则函数( )yf

11、 x 的反函数是() A 2 1log ()yx B 2 log (1)yx C 1 2 x y D 1 2 x y 【分析】 设( , )P x y为( )yf x的反函数图象上的任意一点， 则P关于yx的对称点( , )P y x 一点在( )yf x的图象上， ( , )P y x关于直线0 xy的对称点(,)Pxy 在函数 1 2xy 的图象上，代入解析式变形可 得 【解答】解：设( , )P x y为( )yf x的反函数图象上的任意一点， 则P关于yx的对称点( , )P y x一点在( )yf x的图象上， 又函数( )yf x的图象与函数 1 2xy 的图象关于直线0 xy对称

12、， ( , )P y x 关于直线0 xy的对称点(,)Pxy 在函数 1 2xy 的图象上， 必有 1 2 x y ，即 1 2 x y ，( )yf x的反函数为： 1 2 x y ； 故选：C 【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题 3 设函数 2 66,0 ( ) 34,0 xxx f x xx ， 若互不相等的实数 1 x， 2 x， 3 x满足 123 ()()()f xf xf x， 则 123 xxx的取值范围是() A 11 ( 3 ，6)B 1 8 (, ) 3 3 C 11 ( 3 ，6D 1 8 (, 3 3 【分析】根据二次函数性质，一次函数性质，得出 123

13、 xxx的取值范围即可 【解答】解：函数 2 66,0 ( ) 34,0 xxx f x xx ， 根据二次函数性质得出 23 6xx， 利用函数34yx得出： 1 0 x 时， 123 6xxx， 2 (3)3yx， 1 343x ， 1 7 3 x ， 123 711 6 33 xxx ， 123 xxx的取值范围是 11 ( 3 ，6)， 故选：A 【点评】本题考查了函数性质，解析式的运用，关键理解 123 ()()()f xf xf x，含义，属 于中档题 4已知函数 2 |2 |,0 ( ) ,0 xxx f x lnx x ，则函数( )2 ( ( )1)1g xf f x的零点个

14、数为() A7B8C10D11 【分析】画出函数图象，结合图象求出函数的零点个数即可 【解答】解：令( )0g x ，得 1 ( ( )1) 2 f f x ， 令( )1f xt ，则 1 ( ) 2 f t ， 作出函数( )f x的大致图象如图示： 则 1 ( ) 2 f t 有 4 个实数根 1 t，2t，3t，4t， 其中 1 ( 3, 2)t ，2( 2, 1)t ，3( 1,0)t ，4(1,2)t ， 若( 3, 2)t ，则( )1f xt 有 1 个实数根， 若( 2, 1)t ，则( )1f xt 有 1 个实数根， 若( 1,0)t ，则( )1f xt 有 4 个实数

15、根， 若(1,2)t，则( )1f xt 有 2 个实数根， 故( )1f xt 共有 8 个实数根， 即函数( )g x有 8 个零点， 故选：B 【点评】本题考查函数的零点，考查推理能力与计算能力，是一道常规题 5已知函数 2 |log (1)|,( 1,3) ( ) 4 ,3,) 1 xx f x x x ，则 2( ) 4 ( )30fxf x的解个数是() A4B3C6D1 【分析】画出函数( )f x的图象，结合图象判断即可 【解答】解：画出( )f x的图象，如图示： 2( ) 4 ( )30fxf x， ( )1 ( )30f xf x， 解得( )1f x 或( )3f x

16、， 结合图象方程解的个数是 4 个 故选：A 【点评】本题考查了函数的零点问题，考查反比例函数，对数函数的性质以及图象，考查数 形结合思想，是一道常规题 6如图所示，曲线是对数函数( )logaf xx的图象，已知a取3， 4 3 ， 3 5 ， 1 2 ，则对应于 1 C， 2 C， 3 C， 4 C的a值依次为() A3， 4 3 ， 3 5 ， 1 2 B3， 4 3 ， 1 2 ， 3 5 C 4 3 ，3， 3 5 ， 1 2 D 4 3 ，3， 1 2 ， 3 5 【分析】利用log1 aa ，在图象上画出1y 的直线，与各个曲线的交点的横坐标即为对应 的对数函数的底数 【解答】解

17、：在图象上画出1y 的直线，与各个曲线的交点的横坐标即为对应的对数函数 的底数，如图所示： ， 所以对应于 1 C， 2 C， 3 C， 4 C的a值依次3， 4 3 ， 3 5 ， 1 2 ， 故选：A 【点评】本题主要考查了对数函数的性质，是基础题 7 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵记鲑鱼的游速为v（单 位：/ )m s， 鲑鱼的耗氧量的单位数为Q 科学研究发现v与 3 log 100 Q 成正比 当1/vm s时， 鲑鱼的耗氧量的单位数为 890则当2/vm s时，其耗氧量的单位数为() A2670B7120C7921D8010 【分析】由题意可设 3 log

18、100 Q vk，当1v 时，890Q ，求得k，再由2v ，结合对数的 换底公式和对数的定义，计算可得所求值 【解答】解：v与 3 log 100 Q 成正比，比例系数设为k， 可得 3 log 100 Q vk， 当1v 时，890Q ， 即有 3 1log 8.9k， 即 8.9 log3k ， 则当2v 时， 3 2log 100 Q k， 即 8.938.9 2log3 loglog 100100 QQ ， 则 2 8.9 100 Q ， 可得7921Q ， 故选：C 【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查对数的换底公式和对数的定义，考查运算 能力，属于基础题 8函数 32 1

19、, ( ) 3(2)1, lnxaxx b f x xxa xxb ，恒有零点的条件不可能是() A0a ，3b B0a ，2b C0a ，1bD0a ，be 【分析】问题等价为 32 , 1 32 , lnx x b ax xxx xb ，再结合选项分类讨论判断即可 【解答】解：( )0f x 等价为 32 , 1 32 , lnx x b ax xxx xb ， 当3b 时，如图所示， 若0a 时，则1yax为减函数，其图象显然与函数 32 32yxxx至少有一个交点，排 除选项A； 当be时，0a ，1yax与函数ylnx的交点为( ,1)e，排除选项D； 当2b 且b靠近 2 时，图象

20、如图所示， 此时存在0a 使得直线1yax与函数ylnx和 32 32yxxx都没有交点； 故选：B 【点评】本题考查分段函数的零点问题，考查分类讨论思想及数形结合思想的运用，属于中 档题 二多选题（共二多选题（共 6 小题）小题） 9已知 3 alog， 3 blog， 1 3 clog，则() AababbcBacbcbcCacbcbcDbcabab 【分析】可得出01ba ，0c ，然后可得出0acbc，并得出0bc，从而可判断 选项C正确，B错误；可得出1ab ，1ab，从而得出选项D正确，A错误 【解答】解： 3 0log 31log ， 01ba ，且 1 0 3 clog， 0a

21、cbc， 1 30 3 bcloglog ， acbcbc，即C正确，B错误； 3 loglog 31ab ， 3 loglog 31ab ， bcabab ，即D正确，A错误 故选：CD 【点评】本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能 力，属于基础题 10已知函数 2 3 ,0 ( ) (3),0 xx x f x f xx ，以下结论正确的是() A( )f x在区间4，6上是增函数 B( 2)(2020)4ff C若函数( )yf xb在(,6)上有 6 个零点(1 i x i ，2，3，4，5，6)，则 6 1 9 i i x D若方程( )1f xk

22、x恰有 3 个实根，则 1 ( 1,)1 3 k 【分析】根据( )f x在 2，0上的单调性判断A，根据(2020)( 2)ff判断B，根据图象 的对称性判断C，根据直线1ykx与( )yf x的图象有 3 个交点判断D 【解答】解： （1）由题意可知当3x时，( )f x是以 3 为周期的函数， 故( )f x在4，6上的单调性与( )f x在 2，0上的单调性相同， 而当0 x 时， 2 39 ( )() 24 f xx ， ( )f x在 2，0上不单调，故A错误； （2）又(2020)( 2)2ff，故( 2)(2020)4ff，故B正确； （3）作出( )yf x的函数图象如图所示

23、： 由于( )yf xb在(,6)上有 6 个零点，故直线yb与( )yf x在(,6)上有 6 个交点， 不妨设 1ii xx ，1i ，2，3，4，5， 由图象可知 1 x， 2 x关于直线 3 2 x 对称， 3 x， 4 x关于直线 3 2 x 对称， 5 x， 6 x关于直线 9 2 x 对称， 6 1 339 2229 222 i i x ，故C正确； （4）若直线1ykx经过点(3,0)，则 1 3 k ， 若直线1ykx与 2 3 (0)yxx x 相切，则消元可得： 2 (3)10 xk x ， 令0可得 2 (3)40k，解得1k 或5k ， 当1k 时，1x ，当5k 时

24、，1x （舍)，故1k 若直线1ykx与( )yf x在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k 因为方程( )1f xkx恰有 3 个实根，故直线1ykx与( )yf x的图象有 3 个交点， 1 1 3 k 或1k ，故D正确 故选：BCD 【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中 档题 11已知函数 | ( ) 1 x f x x ，则() A( )f x是奇函数 B( )f x在0，)上单调递增 C函数( )f x的值域是(, 1)0 ，) D方程 2 ( )10f xx 有两个实数根 【分析】根据函数的奇偶性判断A，根据函数的单调性判断B，结合

25、图象判断C，D即可 【解答】解：对于 | :()( ) 1 x A fxf x x ，( )f x不是奇函数，故A错误； 对于:0B x时， 1 ( )1 11 x f x xx 在0，)递增，故B正确； 对于C，D，画出函数( )f x和 2 1yx 的图象，如图示： ， 显然函数( )f x的值域是(, 1)0 ，)，故C正确， ( )f x和 2 1yx 的图象有 3 个交点，故D错误； 故选：BC 【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中 档题 12下列计算正确的是() A 43 12( 3) 3 B 211511 336622 1 ()( 3)

26、()9 3 a ba ba ba ，0a ，0b C 33 93 D已知 22 2xx，则 1 2xx 【分析】选项A，B，C利用有理数指数幂的运算性质化简，即可判断出正误，选项D利 用完全平方公式得到 1 ()4xx，所以 1 2xx ，从而判断出错误 【解答】解：对于选项 14 12443 12312 :( 3)3333A，所以选项A错误， 对于选项 211521111511 336632623 622 1 :()( 3)()99 3 Ba ba ba baba ，(0,0)ab，所以选项B正 确， 对于选项 111 33 363 :99933C，所以选项C正确， 对于选项 1 222 :

27、 ()24Dxxxx ， 1 2xx ，所以选项D错误， 故选：BC 【点评】 本题主要考查了有理数指数幂的运算性质， 考查了完全平方公式的应用， 是基础题 三填空题（共三填空题（共 7 小题）小题） 13已知6lga，15lgb，试用a，b表示48lg 1 (533) 2 ab 【分析】由已知列式求得2lg与3lg的值，把48lg用2lg与3lg表示，则答案可求 【解答】解：6lga，15lgb， 23 321 lglga lglgb ，解得 1 2 2 1 3 2 ab lg ab lg 1 48342(533) 2 lglglgab 故答案为： 1 (533) 2 ab 【点评】本题考查

28、对数的运算性质，考查数学转化思想方法，是基础题 14函数( )g x对一切实数x，yR都有()( )(22)g xyg yx xy成立，且g（1）0， ( ) ( ) g x f x x ， 若关于x的方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk 有三个不同的实数解， 则实数k的 取值范围是(0,) 【分析】利用赋值法，求得( )g x和( )f x的解析式，代入方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk ， 化简后利用换元转化为一元二次方程形式， 根据一元二次方程根的分布特征， 建立不等式组， 解出即可得到k的取值范围 【解答】解：函数( )g x对一切x，yR，都有(

29、)( )(22)g xyg yx xy， 令1x ，0y ，代入()( )(22)g xyg yx xy可得，g（1）(0)1g ， 而g（1）0， (0)1g， 令0y ，代入可得( )(0)(2)g xgx x，故 2 ( )21g xxx，则 ( )1 ( )2 g x f xx xx ， 代入方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk 可得， 12 |21|230 |21|21| x xx k k ， 化简变形可得 2 |21|(23 )|21| 120 xx kk ，|21| 0 x ， 令|21| x t，则上式可化为 2 (23 )120tk tk ，0t ， 关于x

30、的方程 2 (|21|)30 |21| x x k fk 有三个不同的实数解，|21| x t 的图象如下图 所示， 结合|21| x t 的图象可知， 2 (23 )120tk tk 有两个不等实数根，设为 1 t， 2 t，且 12 01tt 或 1 01t， 2 1t ， 令 2 ( )(23 )12h ttk tk ，则满足 (0)120 (1)0 hk hk ，解得0k ， 或满足 (0)120 (1)0 (23 ) 01 2 hk hk k ，此时无解 综上，实数k的取值范围为(0,) 故答案为：(0,) 【点评】 本题考查了赋值法求解析式的应用， 将复杂的方程形式利用换元法转化为

31、简洁的一 元二次方程形式，再根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，属于难题 15已知函数 (1),1, ( ) ,1 x xex f x lnx x x 其中e为自然对数的底数若函数( )( )g xf xkx有 3 个不同的零点，则实数k的取值范围是 1 (0,) 2e 【分析】 先把函数( )( )g xf xkx有 3 个不同的零点转化为函数( )f x的图象与直线ykx有 3 个交点，利用导数求函数( )g x，( )h x的单调性，再作出函数( )f x的图象与直线ykx的 图象，再数形结合分析临界位置即可得到答案 【解答】解：令( )(1)(1) x g xxex，则( ) x

32、 g xxe， 所以当(,0)x 时，( )0g x；当(0,1)x时，( )0g x， 于是函数( )g x在区间(,0)上单调递减，在区间(0,1)上单调递增， 当x 时，( )0g x ，(0)1g ，g（1）0 令( )(1) lnx h xx x ，则 2 1 ( ) lnx h x x ， 所以当(1, )xe时，( )0h x；当( ,)xe时，( )0h x， 于是函数( )h x在区间(1, ) e上单调递增，在区间( ,)e 上单调递减， h（1）0，h（e） 1 e ，当x 时，( )0h x 函数( )( )g xf xkx有 3 个不同的零点， 等价于方程( )f x

33、kx有 3 个解， 即函数( )f x的图象与直线ykx有 3 个交点，作出函数( )f x与直线ykx的图象，如下图 所示 当直线ykx与函数( )h x相切时，设切点坐标为 0 0 0 (,) lnx x x ， 根据导数的几何意义可得： 0 00 2 00 0 1 0 lnx xlnx k xx ， 解得： 0 1 , 2 kxe e ， 要使得函数( )f x的图象与直线ykx有 3 个交点， 数形结合可知k的取值范围为 1 (0,) 2e 故答案为： 1 (0,) 2e 【点评】本题考查了数形结合的思想解决函数零点的问题，把函数零点转化为方程的根，再 转化为两函数图象的交点是解题的关

34、键，属于中档题 16若关于x的方程 2 () xx emx ex恰有一个实根，则实数m的取值范围是 1 (,)e e 【分析】由题意知0 x 不满足方程 2 () xx emx ex，利用参变量分离法得出 x x ex m xe ， 构造函数( ) x x ex f x xe ，利用导数分析出函数( )yf x的单调性与极值，数形结合可求得 实数m的取值范围 【解答】解：由题意知0 x 不满足方程 2 () xx emx ex， 由参变量分离法得出 x x ex m xe ，其中0 x ， 构造函数( ) x x ex f x xe ，其中0 x ， 则 22 (1)11 ( )(1)() x

35、x xx exxe fxx xexe ， 当0 x 或01x时，( )0fx；当1x 时，( )0fx， 所以，函数( )yf x的单调递减区间为(,0)和(0,1)， 单调递增区间为(1,)， 函数( )yf x在1x 处取得极小值为 1 (1)fe e ， 当0 x 或x 时，( )f x ，当0 x 时,( )f x ， 作出函数( )yf x和ym的图象如下图所示： 如上图可知，当 1 me e 时，直线ym与函数( )yf x的图象有一个交点， 因此，实数m的取值范围是 1 (,)e e ， 故答案为： 1 (,)e e 【点评】 本题考查利用导数研究函数的零点个数问题， 常用参变量

36、法转化为两个函数的交点 个数问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题 四解答题（共四解答题（共 10 小题）小题） 17已知函数( )23 m f xxm x ，其中m为实数 （1）当1m 时，若( )0f xn在区间1，2上恒成立，求实数n的取值范围； （2）是否存在实数m，使得关于x的方程(|31|)0 x f有三个不同的实数解？若存在，求 实数m的取值范围；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）当1m 时，利用函数的单调性，求解函数的最小值转化求解即可 （2）通过化简|31|230 |31| x x m m ，可化为， 2 |31|(32 )|31|0(|31| 0) xxx mm

37、，设|31| x t ，则方程化为 2 (32 )0(0)tm tmt，利用(|31|)0 x f有三个不同的实数解，利用函数的图象，通 过记 2 ( )(32 )h ttm tm，则 (0)0, (1)40, hm hm 或 (0)0, (1)40, 23 01, 2 hm hm m 求解即可 【解答】解： （1）当1m 时， 1 ( )5f xx x ，因为yx， 1 5y x 在区间1，2上 均为递增函数，所以 1 ( )5f xx x 在区间1，2上是递增函数， 故( )f x在区间1，2上的最小值为f（1）5，因为( )0f xn，所以( )nf x，故只需 5n ， 所以实数n的取

38、值范围是(,5) （ 2 ） 方 程(|31|)0 x f即 为|31|230 |31| x x m m ， 可 化 为 ， 2 |31|(32 )|31|0(|31| 0) xxx mm， 设|31| x t ，则方程化为 2 (32 )0(0)tm tmt， 因为方程(|31|)0 x f有三个不同的实数解，所以由|31| x t 的图象可知， 2 (32 )0(0)tm tmt有两个不同的实数根 1 t， 2 t，且满足 12 01tt ，或 1 01t， 2 1t 记 2 ( )(32 )h ttm tm，则 (0)0, (1)40, hm hm 或 (0)0, (1)40, 23 0

39、1, 2 hm hm m 解得4m ，所以实数m的取值范围是(4,) 【点评】本题考查函数的零点个数的求解与应用，函数的单调性，函数的最值的求法，考查 转化思想以及计算能力，是中档题 18某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品x（万件） ，经市场调查测算，花费t （万元）进行促销后，商品的剩余量3x与促销费t之间的关系为3 1 x t k （其中k为常 数） ，如果不搞促销活动，只能售出 1（万件）商品 （1）要使促销后商品的利余量不大于 0.1（万件） ，促销费t至少为多少（万元）？ （2）已知商品的进价为 32（元/件） ，另有固定成本 3（万元） ，定义每件售出商品的平均 成本为

40、3 32 x （元)，若将商品售价定位： “每件售出商品平均成本的 1.5 倍“与“每件售出 商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润 最大？此时商品的剩余量为多少？ 【分析】 （1）在已知等式中，取0t ，1x 求得k值，可得 2 3 1 x t ，由 2 0.1 1t 求解t 的范围得答案； （2）由题意写出网店的利润为y关于t的函数，再由基本不等式求最值即可 【解答】解： （1）由3 1 x t k ，当0t ，1x 时，得2k， 2 3 1 x t ，由 2 0.1 1t ，得19t， 故要使促销后商品的剩余量不大于 0.1（万件） ，促销费t至

41、少为 19（万元） ； （2）设网店的利润为y（万元） ，由题意可得， 332 (1.5)(332) 2 xt yxxt xx 9932321321 50() 50242 2121212 ttt ttt 当且仅当 321 12 t t ，即7t 时取等号，此时30.25x 当促销费t为 7（万元）时，该网店售出商品的总利润最大为 42 万元，此时商品的剩余量 为 0.25（万件） 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题 19已知函数 2 ( )21g xaxxb ，函数( )g x有两个零点分别是1和 3 （1）若存在 0 1x ，3，使不等式 00 (

42、)0g xmx成立，求实数m的取值范围； （2）记( )( )32f xg xkxk，若方程(|21|)0 x f有三个不同的实数解，求实数k的取值 范围 【分析】 （1）根据题意可得1，3 是方程 2 210axxb 的两个根，求出a，b，进而得 ( )g x的解析式，然后将问题转化为 3 2xm x ，在 0 1x ，3上有解，再求出m的范围； （2）结合（1） ，可得原方程转化为 2 |21|(32)|21| 230 xx kk，令|21|(0) x tt， 则方程 2 (32)230tktk，有两个不同的实数根 1 0t ， 2 01t，列出不等式，解得 实数k的取值范围 【解答】解：

43、 （1）因为( 1)0g ，g（3）0， 所以1x ，3x 是方程 2 210axxb 的两个根， 所以 12 12 2 2 1 3 xx a b x x a ，解得 1 4 a b ， 所以 2 ( )23g xxx 因为存在 0 1x ，3，使得不等式 00 ()g xmx成立， 等价于 3 2xm x ，在 0 1x ，3上有解， 而记 3 ( )2u xx x ， 因为( )u x在1，3上单调递增， 所以( )maxu xu（3）0， 所以m的取值范围(，0 （2）( )( )32f xg xkxk， 所以 2 ( )(23 )23f xxk xk， 原方程转化为 2 |21|(32

44、)|21| 230 xx kk， 令|21|(0) x tt， 2 (32)230tktk，有两个不同的实数根 1 0t ， 2 01t， 记 2 ( )(32)23h ttktk， 则 (0)230 (1)40 hk hk 或 (0)23 (1)40 32 01 2 hk hk k 或 (0)230 (1)40 hk hk ，解得 3 2 k ， 所以实数k的取值范围为 3 ( 2 ，) 【点评】本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题 20已知函数 (2 ), ( ) (1), x xa x a f x a xxa ，其中a为实数，且0a （1）当1a 时，求函数( )f

45、x的单调区间； （2）若方程( )0f x 仅有一个实数根，求实数a的取值范围 【分析】 （1）根据分段函数，结合一次函数和二次函数的可得单调性 （2）分段讨论零点问题即可得实数a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时，1x，则( )(2)f xx x，可得单调增区间为 1，)； 1x ，( )(1)f xx ，可得单调减区间为(，1； 故函数( )f x的单调增区间为 1，)；单调减区间为(，1 （2）方程( )0f x 仅有一个实数根， 当1a 时，可得( )(1)0f xa x，存在一个实数根 1， 那么( )(2 )0f xx xa，存在一个实数根2a， 故1a 不符合题意； 当1

46、0a 时，可得( )(1)0f xa x，不存在一个实数根， 那么( )(2 )0f xx xa，对称轴xa，存在一个实数根2a， 当0a 时，可得( )(1)0f xa x，不存在一个实数根， 那么( )(2 )0f xx xa，对称轴xa，存在一个实数根 0 综上可得实数a的取值范围是(，0)(0，1 【点评】本题考查了分段函数的零点，同时考查了分类讨论思想的应用，属于中档题 21已知函数 2 ( )29f xxax （）当0a时，设( )(2 ) x g xf，证明：函数( )g x在R上单调递增； （）若1x ，2，(2 ) 0 x f成立，求实数a的取值范围； （）若函数( )f x

47、在( 3,9)有两个零点，求实数a的取值范围 【分析】 （）由( )(2 ) x g xf求得( )g x的解析式，然后利用函数单调性的定义证明； （）设2 (12) x tx，则24t ，由(2 ) 0 x f成立，得 9 2a t t ，令 9 ( )h tt t ，利用 函数单调性求得( )h t的最大值，则a的范围可求； （）由函数( )f x在( 3,9)有两个零点，利用一元二次方程根的分布与系数的关系可得关 于a的不等式组，求解得答案 【解答】证明： （）( )(2 )4229 xxx g xfa， 设 21 xxR， 则 2211 21 ()( )4229(4229) xxxx

48、g xg xaa 2121212121 442 (22 )(22 )(22 )2 (22 ) xxxxxxxxxx aa 2121 (22 )(22 )2 xxxx a， 函数2xy 在R上单调递增， 21 22 xx ，即 21 220 xx ， 又 21 (22 )0,0 xx a， 21 (22 )20 xx a， 2121 (22 )(22 )2 0 xxxx a， 得 21 ()()g xg x， 函数( )g x在R上单调递增； 解： （）设2 (12) x tx，则24t ， (2 ) 0 x f成立，即对任意24t ，都有 2 29 0tat 成立， 即 9 2a t t ，令

49、 9 ( )h tt t ， 由对勾函数的单调性，可得( )h t在(2,3)单调递减，在(3,4)单调递增， 又 1325 (2), (4) 24 hh，( )h t最大值为 13 2 ， 则 13 2 2 a，即 13 4 a， 实数a的取值范围为 13 2 ，)； （）函数( )f x在( 3,9)有两个零点且对称轴为xa， 2 39 4360 ( 3)0 (9)0 a a f f ，解得35a 故实数a的取值范围为(3,5) 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中 档题 22已知函数 41 ( ) 2 ax x f x （1）若( )f x是偶

50、函数，求a的值； （2）当4a 时，若关于x的方程 2 ( 243)2fxxa在 1，2上恰有两个不同的实 数解，求a的取值范围 【分析】 （1）直接由偶函数的定义列式求得a的值； （ 2 ） 由(0)2f结 合 方 程 2 ( 243)2fxxa， 得 2 243axx， 作 出 函 数 2 243yxx的图象，数形结合得答案 【解答】解： （1）若函数 41 ( ) 2 ax x f x 偶函数，则()( )fxf x， 即 414144 222 axaxx axx xxx ，变形可得 (1) 4144 axa xx ， 则有1a ； （2） (21) 41 ( )22 2 ax axx