（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.7三角函数的应用同步讲义.doc

1、5.7 三角函数的应用三角函数的应用 知识梳理知识梳理 1、三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立 数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题 2、利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用函 数模型来解决相应的实际问题 知识典例知识典例 题型一 模型求解 例 1一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面 2m，已知水轮每分钟按逆时针方向转动 3 圈，当水轮上点P从水 中浮现时开始计时，即从图中点 0 P开始计算时间.将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数

2、， 则此函数表达式为（） A 4sin()2 106 h tt B 4sin()2 106 h tt C 4cos()2 106 h tt D 4cos()2 106 h tt 【答案】A 【分析】 由图可知将水轮放入平面直角坐标系中,由三角函数的定义即可得到结果. 【详解】 由图, 0 4PO ,则 0 2 3, 2P,所以 6 , 由水轮每分钟按逆时针方向转动 3 圈,可得 60 20 3 T ,则 20 2 10 , 设 4sin 106 h ttk , 由题(0)2h 代入可得2k , 故选:A 巩固练习巩固练习 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置

3、P(x，y).若初始位置为 P0 3 1 , 22 ， 当秒针从 P0(注：此时 t0)正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式为（） Aysin 306 t Bysin 606 t Cysin 306 t Dysin 303 t 【答案】C 【分析】 根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择. 【详解】 由题意可得，初始位置为 P0 3 1 , 22 ，不妨设初相为， 故可得 1 sin 2 ， 3 cos 2 ，则 6 .排除 B、D. 又函数周期是 60(秒)且秒针按顺时针旋转，即 T 2 | 60， 所以| 30 ，即 30 . 故满足题意的函数解析式为：

4、sint 306 y . 故选：C. 题型二 实际应用 例 2据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)Asin(x)B 0,0, 2 A ，x 为月份.已知 3 月份该商品的价格首次达到最高，为 9 万元，7 月份该商品的价格首次达到最低，为 5 万元. （1）求 f(x)的解析式； （2）求此商品的价格超过 8 万元的月份. 【答案】（1）f(x)2sin 44 x 7；（2）2 月份、3 月份、4 月份、10 月份、11 月份、12 月份此商品的价格超过 8 万元. 【分析】 （1）由最大值和最小值求得,A B，由周期求得，再用最高点坐标(3,9)代入可得，从而得解析式

5、； （2）解不等式 2sin 44 x 78 中在1,12上的整数解即得 【详解】 解（1）由题意可知 2 T 734，T8， 2 4T . 又 95 2 95 2 B A ， 2 7 A B ， 即 f(x)2sin 4 x 7.(*) 又 f(x)过点(3，9)，代入(*)式得 2sin 3 4 79， sin 3 4 1， 3 2 42 k ，kZ. 又|8， sin 44 x 1 2 ， 5 22 6446 kxk ，kZ， 可得 5 3 8kx 13 3 8k，kZ. 又 1x12，xN*，x2，3，4，10，11，12. 即 2 月份、3 月份、4 月份、10 月份、11 月份、1

6、2 月份此商品的价格超过 8 万元. 巩固练习巩固练习 某班级欲在半径为 1 米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的 形状，其中正方形 ABCD 的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为 10 元/米，宣传画价格为 20 元 /平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和 （1）设OPA，将展板所需总费用表示成的函数； （2）若班级预算为 100 元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？ 【答案】（1） 2 80cos80sin0 2 y ；（2）上述设计方案是不会超出班级预算 【分析】 （1）过点 O 作OHAB，垂足为 H

7、，用表示出 OH 和 PH，从而可得铜条长度和正方形的面积，进而得出函数式； （2）利用同角三角函数的关系和二次函数的性质求出预算的最大值即可得出结论 【详解】 （1）过点 O 作OHAB，垂足为 H，则cosPH，sinOH， 正方形 ABCD 的中心在展板圆心，铜条长为相等，每根铜条长2cos， 22sinADOH，展板所需总费用为 2 80cos80sin0 2 y （2） 22 80cos80sin80cos80cos80y 2 1 80 cos100100 2 ，当 1 cos 2 时等号成立. 上述设计方案是不会超出班级预算 巩固提升巩固提升 1、如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心

8、O距水面2m，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离 y m与 时间 x s满足关系式sin2yAx，则有（） A 5 12 ，3A B 2 15 ，3A C 5 12 ，5A D 2 15 ，5A 【答案】B 【分析】 根据题意可得出A的值，以及该函数的最小正周期，利用周期公式可求得的值，进而得出结论. 【详解】 由题意可知 max 25yA，可得3A ，该函数的周期为 60 15 4 Ts， 22 15T . 故选：B. 2、 （多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载， 水车发明于隋而盛于唐， 距今已有 1000 多年的

9、历史， 是人类的一项古老的发明， 也是人类利用自然和改造自然的象征， 如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点3, 3 3A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 120 秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为, x y，其纵坐标满足 sinyf tRt（0t ，0， 2 ），则下列叙述正确的是（）. A 3 B当0,60t时，函数( )yf t单调递增 C当0,60t时，( )f t的最大值为3 3 D当100t 时，6PA . 【答案】AD 【分析】 求出圆的半径R，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可 【详解】 解：由题意， 22

10、3( 3 3)6R ， 120T ，所以 2 60T ； 又点(3, 3 3)A代入 ( )f x可得 3 36sin，解得 3 sin 2 ； 又| 2 ，所以 3 A正确； 所以( )6sin() 603 f tt ，当0t，60时， 6036 t ， 2 3 ，所以函数 ( )f x先增后减，B错误； 0t，60时，点P到x轴的距离的最大值为 6，C错误； 当100t 时， 4 6033 t ，P的纵坐标为 3 3y ，横坐标为3x ，所以| | 6PA ，D正确 故选：AD 3、如图所示，一个摩天轮半径为 10m，轮子的底部在距离地面 2m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每 300s

11、转一圈， 且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时 （1）求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； （2）在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m. 【答案】（1）h10sin 150 t12(t0)；（2）100s. 【分析】 （1）求出 t s 时，所转过的角度，然后由正弦函数性质可得； （2）由（1）的解析式，解不等式17h 即得 【详解】 解：（1）设在 t s 时，摩天轮上某人在高 h m 处这时此人所转过的角为 2 300 t 150 t，故在 t s 时，此人相对于地 面的高度为 h10sin 150 t12(t0)

12、 （2）由 10sin 150 t1217，得 sin 150 t 1 2 ， 则 25t125，12525100 故此人有 100 s 相对于地面的高度不小于 17m. 4、交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用220 2 sin 100 6 Et 来表示，求： （1）开始时的电压； （2）电压值重复出现一次的最短时间间隔； （3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间. 【答案】（1）110 2V（2）0.02s.（3） 1 300 s 【解析】 【分析】 (1)代入0t 求解即可. (2)电压值重复出现一次的最短时间间隔即为求解最小正周期. (3)由题意令100 62 t

13、 再求解即可. 【详解】 （1）当0t 时, 110 2E ,即开始时的电压为110 2V. （2）最小正周期 21 10050 T ,即时间间隔为0.02s. （3）电压的最大值为220 2V,当100 62 t 时, 1 300 t ,即第一次取得最大值的时间为第 1 300 s. 5、如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径为40米,如果你从最低 处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题: (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数解析式. (2)当你第4次距离地面60.

14、5米时,用了多长时间? 【答案】（1）40.540cos(0) 6 yt t （2）20分钟. 【分析】 (1)由已知可设40.540cos,0yt t由周期为12分钟可知,当6t 时,摩天轮第1次到达最高点,即此函数第1次 取得最大值,即可求得答案; (2)设转第1圈时,第 0 t分钟时距地面60.5米,由 0 60.540.540cos 6 t ,得 0 1 cos 62 t ,即可求得答案. 【详解】 (1)由已知可设40.540cos,0yt t, 由周期为12分钟可知,当6t 时,摩天轮第1次到达最高点, 即此函数第1次取得最大值, 6,即 6 . 所求的函数关系式为40.540cos(0) 6 yt t . (2)设转第1圈时,第 0 t分钟时距地面60.5米, 由 0 60.540.540cos 6 t , 得 0 1 cos 62 t , 0 2 63 t 或 0 4 63 t , 解得 0 4t 或 0 8t , 8t 时,第2次距地面60.5米, 故第4次距离地面60.5米时,用了12820(分钟).