（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册4.4对数函数同步讲义.doc

1、4.4 对数函数对数函数 知识梳理知识梳理 1、对数函数及其性质 (1)概念：函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，). (2)对数函数的图象与性质 a10a1 时，y0； 当 0 x1 时，y1 时，y0； 当 0 x0 在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数 2、反函数 指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称. 知识典例知识典例 题型一 图象问题 例 1 在同一直角坐标系中，函数 1 x ya ，log (1) a yx（0a ，且1a ）的图象可能是（）

2、A.B.C.D. 【答案】D 巩固练习巩固练习 函数 y2log4(1x)的图象大致是() 【解析】函数 y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除 A，B；又函数 y2log4(1x)在定义域内单调递减，排除 D. 【答案】C 题型二 比较大小 例 2 三个数 0.2 3 ， 3 0.2， 0.2 log3的大小顺序是（） A. 0.23 0.2 30.2log3B. 0.23 0.2 3log30.2 C. 0.23 0.2 log330.2D. 30.2 0.2 log30.23 【答案】D 巩固练习巩固练习 已知 alog23.6，blog43.2，clog43.6，则() Aabc

3、BacbCbacDcab 【解析】alog23.6log43.62log412.96，ylog4x 是单调递增函数，而 3.23.6cb.故选 B. 【答案】B 题型三 对数函数与不等式 例 3 若关于x的不等式 2 2 log230axx的解集为R，则a的取值范围是（） A 1 0, 3 B 1 0, 2 C 1 , 2 D 1 , 3 【答案】C 巩固练习巩固练习 已知函数 f(x)loga(3ax)，当 x0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围 解a0 且 a1，设 t(x)3ax， 则 t(x)3ax 为减函数， x0,2时，t(x)的最小值为 32a， 当 x0,2

4、时，f(x)恒有意义， 即 x0,2时，3ax0 恒成立 32a0.a0 且 a1，a(0,1) 1，3 2 . 题型四 定义域与值域 例 4 （1）若函数 y=log2（ax2+2x+1）的定义域为 R，则 a 的范围为_ （2）若函数 y=log2（ax2+2x+1）的值域为 R，则 a 的范围为_ 【答案】（1）（1，+）； （2）0，1 巩固练习巩固练习 函数 f(x)log2(3x1)的值域为() A、(0，)B、0，)C、(1，)D、1，) 解析本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题 3x03x11log2(3x1)log210，选 A 题型五 复合函数单调性 例 5

5、已知函数 3 1 log2 ,1 2,1 ax xx f x x 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围为（） A.0,B.,1C.0,1D.0,1 【答案】D 巩固练习巩固练习 若函数)(log)(54 2 2 1 xxxf在区间(3m2，m2)内单调递增，则实数 m 的取值范围为() A、,3 3 4 B、,2 3 4 C、),2 3 4 D、), 3 4 【解析】先保证对数有意义， 即x24x50， 解得1x5. 又可得二次函数 yx24x5 的对称轴为 x 4 2（1）2， 由复合函数单调性可得函数 f(x)log 1 2 (x24x5)的单调递增区间为(2，5)， 要使函数 f(x)

6、log 1 2 (x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增， 只需 3m22， m25， 3m2m2， 解得4 3m2.故选 C. 【答案】C 题型六 最值问题 例 6 已知函数 2 ( )log (1) a f xxx在区间1,2上的最大值比最小值大 2，则a的值为。 【答案】： 5或 5 5 巩固练习巩固练习 已知log 3log 2 aa （0a 且1a ），若函数 logaf xx在区间,3aa上的最大值与最小值之差为 1 (1)求实数a的值； (2)若13x，求函数 2 loglog2 aa yxx的值域 【答案】（1）3a ；（2） 31 5 , 16 2 题型七 恒成立问题

7、例 7 设 log (2 )log (3 ) aa f xxaxa，其中0a ，1a ，若在区间3,4aa上， 1f x 恒成立，求 实数a的取值范围 【答案】(0,1) 巩固练习巩固练习 已知奇函数 1 ln 1 ax fx x (1)求实数 a 的值； (2)判断函数 f (x)在1,上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)当 x2，5，时，ln(1+x)mln(x1) 恒成立，求实数 m 的取值范围 【答案】(1) a1; (2) f(x)在(1，)上为减函数;(3) 3 ln 2 m 题型八 综合问题 例 8 已知函数( )log (21) a f xx，( )log (1 2

8、 ) a g xx，其中0a 且1a ， F xf xg x (1)求函数 F x的定义域； (2)判断函数 F x的奇偶性，并说明理由； (3)求关于x的不等式 0F x 的解集 【答案】(1) 11 | 22 xx ；(2) 函数 F x为奇函数，理由见解析； 巩固提升巩固提升 1、已知lnx， 1 3 ye ， 1 3 logz ，则（） Ax yz Bz xy Cz yx Dy zx 【答案】C 2、比较 0.5 0.4 ， 0.4 0.5 ， 0.5 log0.4的大小关系为() A 0.50.4 0.5 0.40.5log0.4B 0.40.5 0.5 0.50.4log0.4 C

9、 0.50.4 0.5 log0.40.40.5D 0.40.5 0.5 log0.40.50.4 【答案】A 3、已知 ( )log (32) a f xax 在 1,2 上是增函数，则实数a的取值范围是（） A.(0,1)B. 3 0, 2 C. 3 0, 4 D. 3 3 , 4 2 【答案】C 4、函数 2 ( )lg 76f xxx的定义域是_. 【答案】( 1,7) 5、已知函数 2 3 ( )log (3)f xxax，若函数( )f x的值域为R，则a的取值范围是。 【答案】B, 2 32 3, 6、若函数( )log (4)(0 a f xax a且1a ）在区间（0,2）上

10、为减函数，则实数a的取值范围为。 【答案】1a2 7、已知函数 2 ( )lg3f xmxmxm的定义域为R，则实数m的取值范围为_ 【答案】 12 0, 5 8、已知函数 f（x）=lg（x2+2ax-5a）在2，+）上是增函数，则 a 的取值范围为_ 【答案】2,4 9、已知函数 2 ( )ln21f xaxx （1）若 fx的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若 fx的值域为R，求实数a的取值范围。 【答案】（1）(1,)（2）0,1 10、已知函数 2 1 ( )log 1 ax f x x （a为常数）是奇函数 （1）求a的值与函数 ( )f x的定义域； （2）若当(1,)x时， 2 ( )log (1)f xxm恒成立求实数m的取值范围 【答案】（1）1a ，11x xx 或；（2）(,1