（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册2.2 基本不等式同步讲义.doc

1、2.2 基本不等式基本不等式 知识梳理知识梳理 1、两类平均数 两个正数的算术平均数与几何平均数设 a，b 是任意两个正数，称ab 2 为 a，b 的算术平均数；称 ab为 a，b 的 几何平均数 如：1 和 9 的算术平均数是 5，而 1 和 9 的几何平均数是 3 2、重要不等式 设 a，bR，a2b22ab(ab)20， a2b22ab. 当且仅当 ab 时，等号成立 3、基本不等式 设 a，b 是任意两个正数，那么 aba b 2 . 当且仅当 ab 时，等号成立基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 如果把ab 2 看做是正数 a，b 的等差中项， ab看做是

2、正数 a，b 的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个 正数的等差中项不小于它们的等比中项 基本不等式的几何意义是“半径不小于半弦” 4、基本不等式的应用 已知 x，y 都是正数， (1)如果积 xy 是定值 P，那么当 xy 时，和 xy 有最小值 2 P； (2)如果和 xy 是定值 S，那么当 xy 时，积 xy 有最大值 1 4S 2 知识典例知识典例 题型一基本不等式求解 例 1 若 x0，求 f(x)12 x 3x 的最小值 x0，由基本不等式得 f(x)12 x 3x2 12 x 3x2 3612. 当且仅当 3x12 x ，即 x2 时， f(x)取最小值 12. 巩固练习

3、巩固练习 1、函数 4 20yxx x 的最小值为_ 【答案】6 2、若0n ，则 9 n n 的最小值为（） A2B4 C6D8 【答案】C 题型二构造基本不等式 例 2 已知 x2，求 x 4 x2的最小值 x2，x20， x 4 x2x2 4 x22 2x2 4 x226. 当且仅当 x2 4 x2， 即 x4 时，等号成立 所以 x 4 x2的最小值为 6. 巩固练习巩固练习 1、若2a ，则 16 2 a a 的最小值为（） A8B6 C4D2 【答案】B 2、若1x ，求 1 1 x x 的最小值. 【答案】3 题型三“1”的妙用 例 3 已知正数 , x y满足 1xy,则 14

4、 xy 的最小值是_. 【答案】 巩固练习巩固练习 1、已知 x0，y0，1 x 6 y1，求 2x3y 的最小值 2x3y1(2x3y) 1 x 6 y (2x3y) 23y x 12x y 1822 36182121832， 当且仅当 y2x 时取等号，且1 x 6 y1， 即 x4，y8 时成立， 2x3y 的最小值为 32. 2、已知0m ，0n ，且2mn，则 nm 12 的最小值为_. 【答案】 2 223 题型四最大值求解 例 4 已知 5 2 0 x，求)(xx52的最大值 【答案】 1 5 巩固练习巩固练习 1、已知21xy求xy的最大值； 【答案】（1） 1 8 ； 2、已

5、知 1x ，求 1 1 x x的最大值； 【解析】 题型五基本不等式的实际应用 例 5 某公司印刷广告，广告正文排成矩形版面，其中矩形面积为S，其左右两边都留有宽为2cm的空白，其上、下 两边都留有宽为1cm的空白，问如何确定版面纸张的尺寸，才能使纸张的用量最少？ 【答案】长为 2S，宽为 2 2 S 巩固练习巩固练习 1、如图所示，用总长为定值 l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开. （1）设场地面积为 y，垂直于墙的边长为 x，试用解析式将 y 表示成 x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少? 【答案】（1）y=

6、x(l3x)；(0， 3 l )（2）当垂直于墙的边长为 6 l 时，这块长方形场地的面积最大，最大面积为 2 12 l . 巩固提升巩固提升 1、设0a ，1b ，若2ab，则 91 1ab 的最小值为_ 【答案】16 2、正实数 , x y 满足：21xy，则 21 xy 的最小值为_. 【答案】9 3、已知 a，b 均为正数，1ab，则 11 4ab 的最小值为_ 【答案】 9 4 4、已知正实数a，b满足 4 1a b ，则 1 b a 的最小值为（） A4 B6 C9 D10 【答案】C 5、若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是() A 24 5 B 2

7、8 5 C5D6 【答案】C 6、已知 5 4 x ，求 1 42 45 x x 的最大值. 【答案】1 7、若0 x ，0y ，且 28 1 xy ，求xy的最小值 【答案】 8、已知0 x ，0y 满足21xy，求 11 xy 的最小值 【答案】（1）64；（2）3 2 2 9、 建造一个容积为8立方米， 深为2米的无盖长方体蓄水池， 池壁的造价为每平方米100元， 池底的造价为每平方米300 元. （1）把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数； （2）当x为何值时，总造价最小，并求出最小值. 【答案】（1） 1600 4001200yx x (0,)（2）2x 时，总造价最小，最小值为2800元. 10、合肥一中、六中为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣 传画，要求画面面积为 2 4000cm，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白. （1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小? （2）设画面的高与宽的比为t，且 29 510 t ，求t为何值时，宣传画所用纸张面积最小? 【答案】（1）画面的高80cm，宽50cm时所用纸张面积最小；（2） 9 10 t .