（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册3.1函数的概念及其表示同步讲义.doc

1、3.1 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 知识梳理知识梳理 1、函数概念 函数 两集合 A，B设 A，B 是两个非空的数集 对应关系 f： AB 如果按照某种确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应 名称称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记法函数 yf(x)，xA 2、函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 yf(x)，xA 中，自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做函数的定义域；函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域 (3)相等函数：如果两个函数

2、的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数 (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法 (5)区间表示：设 a，b 是两个实数，而且ba ，规定： 满足不等式bxa的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为a,b； 满足不等式bxa的实数 x 的集合叫做开区间，表示为(a,b)； 满足不等式bxa或bxa的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a,b)，(a,b 这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点 3、一般函数中求解定义域的方法： (1)分式中的分母不为 0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)yx0要求 x0； (4)对数式中的真数大于 0，

3、底数大于 0 且不等于 1； (5)正切函数 ytan x，xk 2(kZ)； (6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求 4、抽象函数的定义域问题 (1)若已知函数 f(x)的定义域为a，b，其复合函数 f(g(x)的定义域由不等式 ag(x)b 求出； (2)若已知函数 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 xa，b上的值域 5、求函数解析式的常用方法 1待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. 2换元法：已知复合函数 fgx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 3构造法：已知关于 fx与)(xf或 fx的表达式，可根

4、据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 fx. 6、分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成， 但它表示的是一个函数 知识典例知识典例 题型一函数概念 例 1对于集合 Ax|0 x2，By|0y3，则由下列图形给出的对应 f 中，能构成从 A 到 B 的函数的是() 【答案】D 求解来源：函数概念 下列图象表示函数图象的是（ ） ABCD 【答案】C 题型二定义域求解 例 2函数 2 1 3)( x xxf的

5、定义域为 【答案】 ),(),223x 函数(1)yx xx的定义域为（ ） A|0 x x B|1x x C |10 x x D|01xx 【答案】C 题型三 抽象函数定义域 例 3已知函数 yf(x1)的定义域是2,3，则 yf(2x1)的定义域是() A3,7B1,4C5,5D. 0，5 2 【答案】D 已知函数 f(x+3)的定义域为-2,4),则函数 f(2x-3)的定义域为_. 【答案】2,5). 题型四值域求解 例 4（1）函数 y x26x5的值域；（2）函数 y3x1 x2的值域； 【答案】（1）|20 yy（2）|3yy 求函数21 2yxx的值域 【答案】 5 , 4 题

6、型五解析式求解 例 5（1）已知 f(x)是二次函数，且 f(0)0，f(x1)f(x)x1，则 f(x)_。 （2）已知 2 2 11 x x x xf)(，则 f(x)_。 【答案】（1）xx 2 1 2 1 2 （2）)(222 2 xxx或 已知 3 2 f xfx x ，则 f x _. 【答案】 3 x 题型六 函数相等 例 6 下列函数中，与函数 yx 相等的是() Ay( x)2By3x3Cy x2Dyx 2 x 【答案】B 下列各组函数表示同一函数的是（） A 22 ( ),( )()f xxg xx B 0 ( )1,( )f xg xx C 2 1 ( )1 ,( ) 1

7、 x f xxg x x D 33 ( ), ( )f xx g xx 【答案】D 题型七 参数问题 例 7 函数 2 23 1 mx f x mxmx 的定义域为R，则实数m的取值范围是（） A0,4B0,4C0,4D0,4 试题分析：由题意可知 2 10mxmx 恒成立，当0m 时10恒成立；当0m时需满足 0 0 m ，代入解不等式 可得04m，综上可知实数m的取值范围是0,4 已知函数 f（x）= 2 68mxmxm 的定义域为 R，则实数 m 取值范围为 Am|1m0Bm|1m0 Cm|m0Dm|m0 【答案】A 【分析】 函数 f（x）= 2 68mxmxm 的定义域为 R,只需要

8、满足函数 y=mx2+6mxm+8 的函数值非负即可，讨论二次项系 数和判别式,使得函数值大于等于在 R 上恒成立即可. 【详解】 函数 f（x）= 2 68mxmxm 的定义域为 R，函数 y=mx2+6mxm+8 的函数值非负，（1）当 m=0 时，y=8， 函数值非负，符合题意；（2）当 m0 时，要mx2+6mxm+8 恒为非负值，则 m0， 且关于 x 的方程mx2+6mxm+8=0 根的判别式0， 即m0， 且 （6m） 24 （m） （m+8） 0， 即 m0， 且 m2+m0， 解得1m0综上，1m0 故选 A 题型八 函数赋值 例 8 定义在R上的函数 ( )f x满足()(

9、 )( )2f xyf xf yxy （xyR，），(1)2f，则( 3)f 等于 （ ） A2B3C6D9 【答案】C 【解析】 试题分析：法一、根据条件给 , x y赋值得： (2)(1)(1)26,(3)(2)(1)412ffffff， (00)(0)(0)0(0)0,(33)(3)( 3) 18fffffff 所以.所以选C 函数 21, 13 ( ) (4),3 xx f x f xx ，则(9)f_ 【答案】1 【分析】 根据自变量范围代入对应解析式，即得结果. 【详解】 根据题意， 21, 13 ( ) (4),3 xx f x f xx ，则(9)(5)(1)2 1 11fff

10、 ； 故答案为 1 题型九 函数与不等式 例 9已知函数 2,0 ( ) 2,0 xx f x xx ，则不等式 2 ( )f xx的解集是（ ） A 1,1B 2,2C 2,1D 1,2 【答案】A 【解析】 依题意得 22 00 100111 22 xx xxx xxxx 或或，选 A 已知函数 2 2 ,2 ( ) 2,2 xx f x xx （1）若 0) (8f x，求 0 x的值； （2）解不等式( )8f x . 【答案】（1） 0 6x ；（2）|6x x. 【分析】 （1）当 0 2x 时，根据解析式求出 0 x，当 0 2x 时，求出对应的 0 x，判断 0 x是否符合要求

11、，进而即可求解. （2）根据分段函数对x进行分类讨论，分别求出2x 和2x 时的满足( )8f x 的范围，进而求解即可. 【详解】 （1）当 0 2x 时，由 0 2=8x，得 0 4x ，不符合题意； 当 0 2x 时，由 2 0 28x，得 0 6x 或 0 6x (舍去)，故 0 6x （2）( )8f x 等价于 2 28 x x 或 2 2 28 x x 解得x，解得 6x ， 综合知( )8f x 的解集为|6x x. 巩固提升巩固提升 1、若函数 ( ),yf x 的定义域是0,4，则函数 (2 ) ( ) 1 fx g x x 的定义域是（）。 A(1,8)B(1,2)C(1

12、,8D(1,2 【答案】D 【分析】 由题意 (2 ) ( ) 1 fx g x x 可知，根据复合函数定义域的求解方法，由 ( )f x的定义域求出(2 )fx的定义域，再根据分母不 为零、二次方根的被开方数非负求得使分母 1x 有意义的x的范围，最后取交集即可求得结果。 【详解】 由函数( )yf x的定义域是0,4，函数 (2 ) ( ) 1 fx g x x 得， 024 10 x x 解得(1,2x，故答案选 D。 2、函数 f（x） 2 3 1 x x (3x1)0的定义域是（） A 1 , 3 B 1 ,1 3 C 1 1 , 3 3 D 11 ,1 33 【答案】D 【分析】

13、根据函数解析式可知10 x且310 x ，解不等式组即可. 【详解】 由 10 310 x x 得 x1 且 x 1 3 ， 所以函数定义域为 11 ,1 33 ， 故选：D. 3、已知函数 ( )21f xxx ，则 ( )f x 的定义域是_, ( )f x 的值域是_ 【详解】 要使函数有意义，只需21x0，即x 1 2 ，所以定义域为 1 2 ，+）； 令 t21x，t0 则 x 1 2 （t2- -1） 由 f（x）x 21x 得 y 1 2 （t2- -1）t 1 2 （t1）21，t0 当 t1 时，函数取最小值1无最大值 故函数 f（x）x 21x 的值域是1，+）， 故答案为

14、 1 2 ，+）1，+） 4、已知 2 10 20 xx fx x x ，若 10ff a，则a _. 【答案】 3 2 【分析】 先解( )10f x ，设其解为 0 x，再解 0 ( )f xx 【详解】 0 x 时，( )20f xx ，由( )10f x 知0 x ， 2 1 10 x ，3x ， 而 2 ( )1 1f xx ，因此由( )3f a 知0a ，即23a ， 3 2 a 故答案为： 3 2 5、已知函数 2 1 23 y kxkx 的定义域为R，则实数k的取值范围是_ 【答案】0k . 【解析】 解： 当 k=0 时， 1 3 y ，满足条件 当k0时， 2 4120kk 综上：0k3