（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册1.5.1全称量词与存在量词ppt课件.ppt

1、第一章集合与常用第一章集合与常用 逻辑用语逻辑用语 1.5.1全称量词与存在量词 哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任意任意大大的的于于2偶数偶数 都可写成两个质数之和都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明，于是就写信请教赫赫有 名的大数学家 欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。 因现今数学 界已经不使用1也是素数这个约定，原初猜想的现代陈述为:任意任意大于大于5的整数的整数 都可写成三个质数之和都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任意任意大于大于2的的 偶数都可写成两个质数之和偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把

2、命题任一 充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子 不超过b个的数之和记作a+b。1966年陈景润证明了1+2成立，即任意任意充充 分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一任一大于大于2的偶数都可写成两个素的偶数都可写成两个素 数之和数之和，亦称为强哥德巴赫猜想或关于偶数的哥德巴赫猜想。 从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出:任一任一大于大于7的奇数都可写成三个质数的奇数都可写成三个质数 之和的猜想之和的猜想。后者称为弱哥德巴赫猜想或关于奇数

3、的哥德巴赫猜想。若关于 偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德 巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分 大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理或三 素数定理。 哥德巴赫猜想 - 世界近代三大数学难题之一 思考 （）x； （）x是整数. （）对所有的xR，x； （）对任意一个xZ，x是 整数. 下列语句是命题吗？ 下列语句是命题吗？比较 （）和 （3）， （2）和 （），它们之间有什么关系？ 短语 “所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词 ，并用符号 “”表示 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题

4、通常，将含有变量x的语句用p（x），q（x）， r（x），表示，变量x的取值范围用M 表示 那么，全称量词命题 “对M 中任意一个x， p（x）成立”可用符号简记为 xM，p（x） 概念 注意：常见的全称量 词还有 “一切” “每 一个” “任 给”等 思考1：怎样判断一个命题是 全称量词命题？ 判断一个命题是否为全称量词命题，一是看该命题是否含有全称量词； 二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，我们可以先把全 称量词补充出来再判断 下列命题： (1)今天有人请假； (2)中国所有的江河都流入太平洋； (3)中国公民都有受教育的权利； (4)每一个中学生都要接受爱国主义教育； (5)有

5、人既能写小说，也能搞发明创造； (6)任何一个数除0都等于0. 其中是全称量词命题的个数是() A1 B2 C3 D4 D 思考2：全称量词命题的真假判断 要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集合M中的每个元素x， 证明p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举 出一个x0M，使得p(x0)不成立即可 例1： 判断下列全称量词命题的真假： （）所有的素数都是奇数； （）xR，x； （）对任意一个无理数x，x也是无 理数 假 真 假 素数（即质数) 的故事 人们一般把整数看作最基本的数，其他的数都由整数衍生出来。然而 专门研究整数的人却不是这样看，他们认為质数才是最基本的数，因為

6、任 何大於1的正整数，若它不是质数，便是若干质数的积。中国古代的数学 家把质数叫做数根，意思是数的根本。 研究质数，首先得设法找出质数。大约在二千多年前，古代希腊数学家 爱拉托散尼（Eratosthenes）把一张写著自然数列的羊皮纸紧在一个框上， 然后用刀子逐一挖掉2的倍数、3的倍数、5的倍数等等，从而列出了首几个 质数。由於挖去了合成数后，羊皮纸上留下了一个一个的洞眼，使整个羊皮 纸犹如一个筛子，合成数好像都通过筛子筛掉了，而质数则保留了下来，因 此后人就称这种寻找质数的方法叫爱拉托散尼筛法。不过，用这样的方 法找出质数毕竟不是一件容易的事。研究质数，首先得设法找出质数。 在爱拉托散尼发明

7、筛法不久，希腊数学界出现了一场关於质数是有限还 是无限的辩论。 一天，亚歷山大里亚大学数学教授欧几里得(Euclid)发现了一个质数 有无限多个的証明，而且十分简单。如果质数只有有限个，那麼我们就 可以把它们一一写出来，比如P1、P1、Pn，但看P1P2.Pn+1这 个数，它显然不能被P1、P2、Pn任何一个整除。如果 P1P2.Pn+1是质数，那麼P1P2.Pn+1是除P1、P2、Pn外的另 一个更大的质数；如果P1P2.Pn+1是合成数，那麼它必定被另一个质 数整除，而这个质数却不是在P1、P2、Pn之内。以上无论那个 可能性，都是自相矛盾的。换句话说，质数有无限多个。 下列语句是命题吗？

8、比较 （）和 （），（） 和 （），它们之间有什么关系？ （）x； （）x能被和整除； （）存在一个xR，使x； （）至少有一个xZ，x能被和整除 思考 （）（）不是命题语句 （）在 （）的 基础上，用短语 “存在一个”对变量狓的取值进 行限定；语句（）在 （）的基础上，用 “至 少有一个”对变量狓的取值 进行限定，从而使 （）（）变成了可以判断 真假的陈述句， 因此 （）（）是命题 概念 短语短语 “存在一个存在一个”“至少有一个至少有一个”在逻在逻 辑中通常叫做辑中通常叫做存在量词存在量词，并用符号并用符号 “” 表示表示 含有存在量词的命题，叫做含有存在量词的命题，叫做存在量词存在量词

9、命题命题 “存在存在M中的一个中的一个x，使，使p(x)成立成立”， 可用符号记为可用符号记为 “xM，p(x)” 常见的存在量词还常见的存在量词还 有有 “有些有些” “有有 一个一个” “对某对某 些些”“”“有的有的”等等 下列命题中存在量词命题的个数是() 至少有一个偶数是质数； xR，x20； 有的奇数能被2整除 提示：常见的存在量词除了“存 在一个”“至少有一个”，还有“有 些”“有一个”“对某个”“有的” 等 3个 思考1：怎样判断一个命题是全称量词命题？ 要判定存在量词命题“xM，p(x)”是真命题，只需在集 合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)

10、成 立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题 思考2如何判断存在量词命题的真假呢？ 例 判断下列存在量词命题的真假： （）有一个实数x，使xx； （）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （）有些平行四边形是菱形 假 真 假 练习 2 判断下列语句是全称量词命题， 还是存在量词命题 (1)对任意的nZ,2n1是奇数； (2)有些三角形不是等腰三角形； (3)有的实数是无限不循环小数； (4)所有的正方形都是矩形 练习 解析 (1)含有全称量词“任意”，故为全称量词命题 (2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题 (3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题 (4)含有全称量词“所有

11、”，故为全称量词命题 练习 3判断下列命题的真假 (1)xR，x21； (2)，R，()2()2； (3)存在一个数既是偶数又是负数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x，使等式x2x80成 立 练习 4用量词符号“”“”表述下列命题，并判 断真假 (1)一定有整数x0，y0，使得3x02y010成立 (2)所有的有理数x都能使 x2 x1是有理数 (3)存在一对实数(x，y)，使2xy10成立 练习 3 1 2 1 练习 解： (1)x0，y0Z,3x02y010；真命题 (2)xQ， x2 x1是有理数； 真命题 (3)(x，y)，xR，yR,2xy10， 是真命题 如x0，y2时，2xy1021 10；x1，1,0,2x10； x0N，x0 x0； x0N*，x0为29的约数 其中真命题的个数为() A1B2C3 D4 练习 解析：，这是全称量词命题，932 230是真命题； ，这是全称量词命题，当x1时，2x10，故 该命题为假命题； ，这是存在量词命题，当x00时，x0 x0成立， 该命题为真命题； ，这是存在量词命题，当x01时，x0为29的约数， 该命题为真命题故选C. 小结 谢谢 观赏