（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册1.4.2充要条件ppt课件.ppt

1、第一章集合与常用第一章集合与常用 逻辑用语逻辑用语 1.4.2充要条件充要条件 一般地，“若p则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可 推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件， q是p的必要必要条件。 复习回顾 记忆方法：箭尾是箭头的充分条件箭尾是箭头的充分条件 箭头是箭尾的必要条件箭头是箭尾的必要条件 如何理解如何理解: : (1) p(1) p是是q q的充分条件的充分条件 问题问题: 由由条件条件p p 结论结论q q, , (2) p(2) p是是q q的必要条件的必要条件 由由结论结论q q 条件条件p p, , 则则条件条件p p是结论是结论q q成立

2、的成立的充分条件充分条件; ; 则则条件条件p p是结论成立的是结论成立的必要条件必要条件 问题问题: :指出下列各命题中指出下列各命题中,p,p是是q q的什么条件的什么条件? ? (1) p:两个角是对顶角, q:两个角相等 充分不必要条件充分不必要条件 (2) p: xy=0, q: x=0 必要不充分条件必要不充分条件 (3) p:内错角相等, q:两直线平行 充分、必要条件充分、必要条件 (4) p:偶数, q:能被2整除 充分、必要条件充分、必要条件 p q p q p q p q 思考 当pq , qp同时成立，p与q是什么 关系？ 概念 将命题 “若p，则q” 中 的条件p 和

3、结论q 互 换，就得到 一个新的命题 “若q，则p”， 称这个命题为原命题的逆命题 下列 “若p，则q”形式的命题中，哪些命 题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对 的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若AB是空集，则A与B均是空集 （1）（2）原命题，逆命题 都是真命题 思考 pq 充分必要充要 充要条件定义充要条件定义 “若若p，则，则q”和它的逆命题和它的逆命题 “若若q， 则则p”均是真命题，即既有均是真命题，即既有pq，又，又 有有qp，就记作，就记作pq 此时，p既是q的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p是q的充分必 要条件，简称为充要条件

4、显然，如果p是q的充要条件，那么 q也 是p的充要条件 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”) (1)两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.() (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”表达的意义相同.() (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件.() 【练习】 辨析(对的打“”，错的打“”) (1)两个三角形相似的充要条件是两个三角形 的三边对应成比例.() (2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q” 表达的意义相同.() (3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p 是r的充要条件. () 如何判断命题中的条件是结论的

5、充要条件如何判断命题中的条件是结论的充要条件? ? 思考 方法方法：若：若p，则，则q”和它的逆命题和它的逆命题 “若若q，则，则p”均是真命题均是真命题 例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂 直且平分； （）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （）p：xy，q：x，y； （）p：x是一元二次方程axbxc的一个 根，q：abc （a） 例题讲解例题讲解 （）p q 充分不必要条件充分不必要条件 （） 充要条件充要条件 (3)必要不充分条件必要不充分条件(4)充要条件充要条件 练习 1点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是()

6、 Ax0，y0Bx0 Cx0，y0Dx0，y0 解析P(x，y)在第二象限，等价于x0.选B 2设p：x3，q：1x3，则p是q的() A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 解析因为x|1x3x|x3，所以p是q的必要不充分条件 p：x3 q：1x0”是“x2 0200”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析解析:当x0时,可以推得x2 0200;但当x2 0200时,推 不出x0,故“x0”是“x2 0200”的充分不必要条件.故 选A. 练习 练习 4.设A、B为两个互不相同的集合命题p：x(A B

7、)；命 题q：xA或xB则p是q的_条件() A充分必要 B充分不必要 C必要不充分D既不充分又不必要 解析若命题p：x(AB)成立，命题q：xA或 xB一定成立；若命题q：xA或xB成立，但是x不 一定是AB中的元素，所以p是q的充分不必要条件， 选B p： x(AB) q：xA或xB 例例2.2.已知已知: :圆圆O O的半径的半径r,r,圆心圆心O O到直线到直线l l 的距离为的距离为d,d, 求证求证: :d=rd=r是是直线直线l l 与圆与圆O O相切相切的充要条件的充要条件 需分别证明（）充分性（需分别证明（）充分性（p pq q）；）； （）必要性（）必要性（q qp p）

8、证明：证明：如图，作如图，作OP lOP l于点于点P P，则，则OPOPd d 设设p:d=r, q:p:d=r, q:直线直线l l 与圆与圆O O相切相切分析分析: : l l Q P 0 d d 例题讲解例题讲解 (1)(1)充分性（充分性（p p q q）: : 若若d=r,d=r,则点则点P P在圆在圆O O上。在直线上。在直线l l上任取一点上任取一点 Q(Q(异于点异于点P),P),连接连接OQOQ。在。在RtRtOPQOPQ中中, OQOP=r, OQOP=r。 所以所以, ,除点除点P P外外, ,直线直线l l 上的点都在圆上的点都在圆O O的外部。即的外部。即 直线直线

9、l l 与圆与圆O O仅有一个公共点仅有一个公共点P P。因此。因此, ,直线直线l l 与圆与圆 O O相切。相切。 (2)(2)必要性必要性（q pq p） 若直线若直线l l 与圆与圆O O相切相切, ,不妨设切点为不妨设切点为P,P,则则OP OP l l. .因此因此,d=OP=r,d=OP=r。 故故d=rd=r是直线是直线l l 与圆与圆O O相切的相切的充要条件充要条件。 方法归纳方法归纳 一般地，证明“p成立的充要条件 为q”时，在证充分性时应以q为“已 知条件”，p是该步中要证明的“结 论”，即qp；证明必要性时则是以 p为“已知条件”，q为该步中要证明 的“结论”，即pq. 条件条件p 结论结论q 条件条件p p是是结论结论q q成立的成立的充分不必要条件充分不必要条件 条件条件p p结论结论q q 条件条件p p是是结论结论q q成立的成立的必要不充分条件必要不充分条件 条件条件p p结论结论q q 条件条件p p是是结论结论q q成立的成立的充要条件充要条件 小结小结 能力提升 谢谢 观看